1、江苏省启东市2020-2021学年高二数学上学期期中试题(考试时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 已知命题p：$xR，则p为（ ）AxR， BxR，C$xR， D$xR，2 椭圆的长轴长为（ ）A2 B4 C8 D163 已知关于x的不等式ax2bx10的解集为(3,4)，则实数a，b的值是（ ）Aa12，b84 Ba12，b84 Ca，b Da，b4 已知1，a，x，b，16这五个实数成等比数列，则x的值为（ ）A4 B4 C4 D不确定5 已知正数a、b满足ab2，则有（ ）A最小值1
2、 B最小值2 C最大值1 D最大值26 “a1，b1”是“logablogba2”的（ ）条件A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要7 在等差数列an中，已知前21项和S2163，则a2a5a8a20的值为（ ）A7 B9 C21 D428 x，使得ax22x10 成立，则实数a的取值范围为（ ）A3,) B(3,) C1,) D(1,)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9 下列命题的否定中，是全称命题且为假命题的有（ ）A中国所有的江河都流入太平洋 B有的四边形既是
3、矩形，又是菱形C存在xR，有x2x10 D有的数比它的倒数小10已知，则（ ）Am |n| Cmnmn Dmnn2 11意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列an称为“斐波那契数列”，记Sn为数列an的前n项和，则下列结论正确的是（ ）Aa834 BS854 CS2020a20221 Da1a3a5a2021a202212椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点F1，F2是它的焦点，长轴
4、长为2a，焦距为2c，静放在点F1的小球（小球的半径不计），从点F1沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点F1时，小球经过的路程可以是（ ）A4a B4c C2(ac) D2(ac)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应 位置上。13不等式的解集是 14若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是 15已知a，b是正实数，且ab2，则的最大值是 16一个正方形被等分成九个相等的小正方形，将中间的一个小正方形挖掉(如图（1）)；再将剩余的每个小正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个小正方形挖掉得图（2）；如此继续下去设原正方形的边长为1，则第3
5、个图中共挖掉 个正方形，第n个图中所有挖掉的正方形的面积和为 （本题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(本小题满分10分) 已知椭圆C：1(ab0)的两个焦点分别为F1、F2，短轴的一个端点为P（1）若F1PF2为直角，焦距长为2，求椭圆C的标准方程；（2）若F1PF2为钝角，求椭圆C的离心率的取值范围18(本小题满分12分)已知命题p：关于x的方程x2(3m2)x2m2m30有两个大于1的实数根（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）命题q：3am3a，是否存在实数a使得p是q的必要不
6、充分条件，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由19(本小题满分12分)已知数列an是递增的等比数列，前3项和为13，且a13，3a2，a35成等差数列，（1）求数列an的通项公式；（2）数列bn的首项b11，其前n项和为Sn，且 ，若数列cn满足cnanbn，cn的前n项和为Tn，求Tn的最小值在如下三个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题3Snbn4；bnbn12(n2)；5bnbn1(n2)注：如果选择多个条件分别解答，只按第一个解答计分20(本小题满分12分)已知数列an的前n项和Sn3n+1t ，求证：数列an是等比数列的充要条件为t321(本小题满分12
7、分)为了丰富市民的文化生活，市政府决定在A、B两个新村之间建一个市民广场C若A、B两个新村间的直线距离是3百米，建设部门在确定市民广场位置时，要充分考虑市民广场的噪音对新村居民的影响，经论证发现每个新村的噪音能量与离噪音点的距离x成反比，由于两个新村的绿化等原因的差异，新村A，B的反比例系数分别为k和1k(0k0的解集为(3,4)，则实数a，b的值是（ ）Aa12，b84 Ba12，b84 Ca，b Da，b【答案】D4 已知1，a，x，b，16这五个实数成等比数列，则x的值为（ ）A4 B4 C4 D不确定【答案】A5 已知正数a、b满足ab2，则有（ ）A最小值1 B最小值2 C最大值1
8、D最大值2【答案】D6 “a1，b1”是“logablogba2”的（ ）条件A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要【答案】A7 在等差数列an中，已知前21项和S2163，则a2a5a8a20的值为（ ）A7 B9 C21 D42【答案】C8 x，使得ax22x10 成立，则实数a的取值范围为（ ）A3,) B(3,) C1,) D(1,)【答案】B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9 下列命题的否定中，是全称命题且为假命题的有（ ）A中国所有的江河都流入太平洋 B
9、有的四边形既是矩形，又是菱形C存在xR，有x2x10 D有的数比它的倒数小【答案】BD10已知，则（ ）Am |n| Cmnmn Dmnn2 【答案】CD11意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列an称为“斐波那契数列”，记Sn为数列an的前n项和，则下列结论正确的是（ ）Aa834 BS854 CS2020a20221 Da1a3a5a2021a2022【答案】BCD12椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个
10、水平放置的椭圆形台球盘，点F1，F2是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点F1的小球（小球的半径不计），从点F1沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点F1时，小球经过的路程可以是（ ）A4a B4c C2(ac) D2(ac)【答案】ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应 位置上。13不等式的解集是 【答案】(4，1)14若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是 【答案】(2，5)15已知a，b是正实数，且ab2，则的最大值是 【答案】16一个正方形被等分成九个相等的小正方形，将中间的一个小正方形挖掉(如图（1）)；再将剩余的每个小
11、正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个小正方形挖掉得图（2）；如此继续下去设原正方形的边长为1，则第3个图中共挖掉 个正方形，第n个图中所有挖掉的正方形的面积和为 （本题第一空2分，第二空3分）【答案】73，四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(本小题满分10分) 已知椭圆C：1(ab0)的两个焦点分别为F1、F2，短轴的一个端点为P（1）若F1PF2为直角，焦距长为2，求椭圆C的标准方程；（2）若F1PF2为钝角，求椭圆C的离心率的取值范围【解】（1）因为椭圆短轴的一个端点为P，且F1PF2为直角，所以bc，ac
12、，2分因为焦距长为2，所以c1，3分所以a，b1，所以椭圆C的标准方程为5分（2）因为椭圆短轴的一个端点为P，且F1PF2为钝角，所以45OPF290，7分所以sinOPF2，又因为椭圆的离心率e(0,1)，所以椭圆C的离心率的取值范围为10分18(本小题满分12分)已知命题p：关于x的方程x2(3m2)x2m2m30有两个大于1的实数根（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）命题q：3am1且2m31，得m2 4分 （2）设集合A，集合B，因为p是q的必要不充分条件，所以， 6分 当B时，解得a0； 8分 当B时，解得 10分 综上所述：存在a1，满足条件 12分19(本小题满分1
13、2分)已知数列an是递增的等比数列，前3项和为13，且a13，3a2，a35成等差数列，（1）求数列an的通项公式；（2）数列bn的首项b11，其前n项和为Sn，且 ，若数列cn满足cnanbn，cn的前n项和为Tn，求Tn的最小值在如下三个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题3Snbn4；bnbn12(n2)；5bnbn1(n2)注：如果选择多个条件分别解答，只按第一个解答计分【解】（1）设数列an的公比为q，则由前3项和为13，且a13，3a2，a35成等差数列，得所以 2分所以，即3q210q30，解得或 4分又因为an是递增的等比数列，且a10，所以q1，所以q3，所
14、以an3n-1 6分（2）选择 因为3Snbn4，所以3Sn-1bn-14(n2)， 两式相减得3(SnSn-1)(bnbn-1)0，即4bnbn-10(n2)，所以(n2)， 8分所以数列bn是以b11为首项，为公比的等比数列，故， 10分因此由cn0恒成立，所以Tn的最小值为T1c11 12分选择由bnbn-12(n2)知bn是以b11为首项，2为公差的等差数列，所以bn12(n1)2n1， 8分所以cnanbn(2n1)3n1因为cn(2n1)3n10，即c10，c20，c30， 10分所以(Tn)minT1c11 12分选择由5bnbn-1(n2)知bn是以b11为首项，为公比的等比数
15、列，所以， 8分所以，所以，10分当n为奇数时，由于，故；当n为偶数时，由于，故，由在n为偶数时单调递增，所以当n2时， 12分20(本小题满分12分)已知数列an的前n项和Sn3n+1t ，求证：数列an是等比数列的充要条件为t3【解】当n1时，S132t9t， 2分当n2时，由Sn3n+1t 得Sn-13nt ，两式相减得an3n+13n23n（n2）4分（1）充分性已知t3，此时S132t936，令n1，得a12316S1，所以an23n（nN*）所以，所以数列an是等比数列8分（2）必要性因为数列an是等比数列，所以a12316，又因为S19t，所以9t6，所以t3，10分综上所述：数列an是等比数列的充要条件为t3 12分21(本小题满分12分)为了丰富市民的文化生活，市政府决定在A、B两个新村之间建一个市民广场C若A、B两个新村间的直线距离是3百米，建设部门在确定市民广场位置时，要充分考虑市民广场的噪音对新村居民的影响，经论证发现每个新村的噪音能量与离噪音点的距离x成反比，由于两个新村的绿化等原因的差异，新村A，B的反比例系数分别为k和1k(0k0，即k2，8分又，所以，令，则， 10分由k2，得，即，解之得且1，即的取值范围为12分