1、11.2 集合间的基本关系基础认知自主学习导思1.集合与集合有什么关系，它们又是如何定义的？2什么是子集？什么是真子集？空集又是如何定义的？1.Venn 图的优点及其表示(1)优点：形象直观(2)表示：通常用_的_表示集合封闭曲线内部2子集、真子集、集合相等的相关概念(1)任意两个集合之间是否有包含关系？提示：不一定，如集合 A1，3，B2，3，这两个集合就没有包含关系(2)符号“”与“”有什么区别？提示：“”是表示元素与集合之间的关系，比如 1N，1N.“”是表示集合与集合之间的关系，比如 NR，1，2，33，2，1“”的左边是元素，右边是集合，而“”的两边均为集合(3)“”与“”一样吗？提
2、示：不一样，“”表示集合与集合之间的关系；“”表示两实数间的关系3空集、子集的性质(1)空集(2)子集的性质任何一个集合都是它本身的子集，即 AA.对于集合 A，B，C，若 AB，且 BC，则 AC.(1)与0有何区别？提示：是不含任何元素的集合；0是含有一个元素的集合，00，0，0(2)若集合 A 满足 AB，则从元素具有什么特征考虑，集合 A 有哪些情况？提示：有以下三种情况：A 是空集；A 是由 B 的部分元素构成的集合；A 是由 B 的全部元素构成的集合1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)空集中只有元素 0，而无其余元素()(2)任何一个集合都有子集()(3)任何集合至少有两个子
3、集.()(4)若 AB，则 AB.()(5)若 AB，且 AB，则 AB.()提示：(1).因为空集中不含任何元素，所以该结论错误(2).因为空集是任何集合的子集，所以该结论正确(3).只有一个子集(4).因为 AB，所以集合 A 中的任何一个元素，都是集合 B 的元素，所以该结论正确(5).由真子集的定义可知，该结论正确2集合0，1的子集有()A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【解析】选 D.集合0，1的子集为，0，1，0，13已知集合 Ax|x 是平行四边形，Bx|x 是矩形，Cx|x 是正方形，Dx|x是菱形，则()AAB BCBC.DC DAD【解析】选 B.因为正方形组成的集合是
4、矩形组成集合的子集，所以 CB.经验证，A，C，D 不正确能力形成合作探究类型一 集合间关系的判断(数学抽象)1若集合 Mx|x210，T1，0，1，则 M 与 T 的关系是()AMT BTM CMT DMT【解析】1.选 A.因为 Mx|x2101，1，又 T1，0，1，所以 MT.2已知集合 Px|yx1，集合 Qy|yx1，则 P 与 Q 的关系是()A.PQ BPQC.PQ DPQ【解析】2选 C.根据题意，集合 Px|yx1 表示函数 yx1 的定义域，即 Px|x1，集合 Qy|yx1 表示函数 yx1 的值域，即 Qy|y0，分析可得 Q是 P 的子集，即 PQ.3能正确表示集合
5、 Mx|xR 且 0 x1和集合 NxR|x2x关系的 Venn 图是()【解析】3选 B.NxR|x2x0，1，Mx|xR 且 0 x1，所以 NM.1集合间基本关系判定的两种方法和一个关键2证明集合相等的两种方法(1)用两个集合相等的定义，证明两个集合 A，B 中的元素全部相同，即可证明 AB.(2)证明 AB，同时 BA，推出 AB.【补偿训练】1.已知集合 Ax|1x0，则下列各式正确的是()A0A B0A CA D0A【解析】选 D.集合 Ax|1x1，所以 0A，0A，D 正确2已知集合 U，S，T，F 之间的关系如图所示，下列关系中错误的有_.(只填序号)SU；FT；ST；SF；
6、FU.【解析】根据子集、真子集的定义，由 Venn 图的关系，可以看出SU，ST，FU 正确，错误答案：3已知集合 Ax|x30，Bx|2x50，则这两个集合的关系是_【解析】因为 Ax|x30 x|x3，Bx|2x50 xx52.所以 AB.答案：AB类型二 有限集的子集问题(数学抽象、逻辑推理)1满足a，bAa，b，c，d，e的集合 A 的个数是()A2 B6 C7 D8【解析】1.选 C.由题意知，集合 A 可以为a，b，a，b，c，a，b，d，a，b，e，a，b，c，d，a，b，c，e，a，b，d，e2(2021中山高一检测)集合(1，2)，(3，4)的子集个数为()A3 B4 C15
7、 D16【解析】2选 B.集合(1，2)，(3，4)的子集为，(1，2)，(3，4)，(1，2)，(3，4)，共 4 个3已知集合 Ax|x2x，xR，集合 A 与非空集合 B 的关系如图所示，则满足条件的集合 B 的个数为()A.1 B2 C3 D4【解析】3选 C.因为 Ax|x2x，xR0，1，又 BA，且 B 为非空集合，所以 B 可以为0或1或0，14已知集合 A(x，y)|xy2，x，yN，试写出 A 的所有子集【解析】4因为 A(x，y)|xy2，x，yN，所以 A(0，2)，(1，1)，(2，0)所以 A 的子集有：，(0，2)，(1，1)，(2，0)，(0，2)，(1，1)，
8、(0，2)，(2，0)，(1，1)，(2，0)，(0，2)，(1，1)，(2，0)求解有限集合的子集的三个关键点(1)确定所求集合(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身另外，一般地，若集合 A 中有 n 个元素，则其子集有 2n 个，真子集有(2n1)个，非空真子集有(2n2)个【补偿训练】1.满足2 019A 2 019，2 020，2 021的集合 A 的个数为()A1 B2 C3 D4【解析】选 C.满足2 019A 2 019，2 020，2 021的集合 A 可以是：A2 019，2 019，2 020，2 019，2 021，因此满
9、足条件的集合 A 的个数为 3.2满足条件x|x210A1，0，1，2，5的集合 A 的个数为()A7 B6 C8 D5【解析】选 A.因为x|x2101，1，所以1，1A1，0，1，2，5，所以集合 A 可以是1，1，1，1，0，1，1，2，1，1，5，1，1，0，2，1，1，0，5，1，1，2，5，共 7 个【拓展延伸】(1)已知集合 M 满足1，2M1，2，3，4，5，求所有满足条件的集合 M.(2)填写下表，并回答问题：集合集合的子集子集的个数aa，ba，b，c由此猜想：含 n 个元素的集合a1，a2，an的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢？【解析】(1)由题意可
10、以确定集合 M 必含有元素 1，2，且至少含有元素 3，4，5 中的一个，因此依据集合 M 的元素个数分类如下：含有 3 个元素：1，2，3，1，2，4，1，2，5；含有 4 个元素：1，2，3，4，1，2，3，5，1，2，4，5；含有 5 个元素：1，2，3，4，5故满足条件的集合 M 为1，2，3，1，2，4，1，2，5，1，2，3，4，1，2，3，5，1，2，4，5，1，2，3，4，5(2)集合集合的子集子集的个数1a，a2a，b，a，b，a，b4a，b，c，a，b，c，a，b，a，c，b，c，a，b，c8由此猜想：含 n 个元素的集合a1，a2，an的所有子集的个数是 2n，真子集的个
11、数是 2n1，非空真子集的个数是 2n2.【拓展训练】1已知集合 MxZ|1xm，若集合 M 有 4 个子集，则实数 m()A1 B2 C3 D4【解析】选 B.根据题意，集合 M 有 4 个子集，则 M 中有 2 个元素，又由 MxZ|1xm，其元素为大于等于 1 而小于等于 m 的全部整数，则 m2.2若集合 A1，2，3，且 A 中至少含有一个奇数，则这样的集合有_个【解析】若 A 中含有一个奇数，则 A 可能为1，3，1，2，3，2；若 A 中含有两个奇数，则 A1，3答案：5类型三 由集合间的关系求参数的值或范围(数学抽象、逻辑推理)角度 1 依据集合之间的包含关系求参数值【典例】已
12、知集合 A1，2，3，4，5，6，B3，4，5，X，若 BA，则 X 可以取的值为()A1，2，3，4，5，6 B1，2，3，4，6C1，2，3，6 D1，2，6【思路导引】依据子集的定义以及元素的互异性求解【解析】选 D.由 BA 和集合元素的互异性可知，X 可以取的值为 1，2，6.角度 2 依据集合之间的包含关系求参数范围【典例】已知集合 Ax|2x5，Bx|m1x2m1，若 BA，求实数 m的取值范围【思路导引】分 B与 B两种情况，结合数轴列式求解【解析】(1)当 B时，由 m12m1，得 m2.(2)当 B时，如图所示所以m12，2m12，2m15，2m1m1，解这两个不等式组，得
13、 2m3.综上可得，m 的取值范围是 m3.1若典例中条件“Ax|2x5”改为“Ax|2x2m1，得 m2.(2)当 B时，如图所示可解得 2m3，综上可得，m 的取值范围是 mm1，m12，2m15，即m2，m3，m3，m 不存在即不存在实数 m 使 AB.利用集合的关系求参数问题(1)利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题(2)空集是任何集合的子集，因此在解 AB(B)的含参数的问题时，要注意讨论 A和 A两种情况，前者常被忽视，出现思考问题不全面的情况1已知 Ax|1x2
14、 020Ca1 Da1【解析】选 A.由题意知，若 AB，则 a2 020.2已知集合 Ax|a1xa2，Bx|3x5，则能使 AB 成立的实数 a 的取值集合是()Aa|3a4 Ba|3a4Ca|3a2m1，即 m2 时，B符合题意当 m12m1，即 m2 时，B.由 BA，借助数轴(如图所示)，得m11，2m16，m2.解得 0m52.经验证知 m0 和 m52 符合题意综合可知，实数 m 的取值集合为mm2.(2)若 BA，则集合 B 中的元素都在集合 A 中，则 a2.因为 a1，所以 1a2.学情诊断课堂测评1已知集合 Ax|x210，则下列式子表示正确的有()1A；1A；A；1，1
15、A.A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【解析】选 C.Ax|x2101，1，故正确，不正确2如果集合 Ax|x 3，a 2，那么()AaA BaA CaA DaA【解析】选 B.因为 a 2 3，所以 aA，A 错误由元素与集合之间的关系及集合与集合之间的关系可知，C，D 错，B 正确3(教材练习改编)集合 Ax|0 x3，xN的真子集的个数是()A16 B8 C7 D4【解析】选 C.易知集合 A0，1，2，含有 3 个元素，所以 A 的真子集有 2317(个).4已知集合 Ax|x3，集合 Bx|xm，且 AB，则实数 m 满足的条件是_【解析】将集合 A 在数轴上表示出来，如图所示，要满足 AB，表示数 m 的点必须在表示 3 的点处或在其右边，故 m3.答案：m35已知集合 A1，1，xy，B0，1，y且 AB，求实数 x 与 y 的值【解析】由 AB 得xy0，y1，解得 xy1，所以 xy1 即为所求