1、【2011年高考试题】一、选择题:1. （2011年高考山东卷文科9)设M(，)为抛物线C：上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、为半径的圆和抛物线C的准线相交，则的取值范围是 (A)(0，2) (B)0，2 (C)(2，+) (D)2，+)【答案】C3. （2011年高考海南卷文科9)已知直线过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则的面积为( )A.18 B.24 C.36 D.484. (2011年高考安徽卷文科3) 双曲线的实轴长是（A）2 (B) (C) 4 (D) 4【答案】C【命题意图】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的
2、性质.属容易题.【解析】可变形为，则，.故选C.5(2011年高考广东卷文科8)设圆C与圆 外切，与直线相切则C的圆心轨迹为（ ）A 抛物线 B 双曲线 C 椭圆 D 圆6.（2011年高考浙江卷文科9)已知椭圆（ab0）与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与的长度为直径的圆相交于两点.若恰好将线段三等分，则（A） （B） （C） (D) 【答案】 C【解析】：由恰好将线段AB三等分得由又，故选C.7. (2011年高考天津卷文科6)已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为A. B. C. D. 【答案】B【解析】
3、由题意知,抛物线的准线方程为,所以,又,所以,又因为双曲线的一条渐近线过点(-2,-1),所以双曲线的渐近线方程为,即,所以,即,选B.8. （2011年高考福建卷文科11)设圆锥曲线I的两个焦点分别为F1，F2，若曲线I上存在点P满足：= 4:3:2，则曲线I的离心率等于A. B. C. D. 【答案】A【解析】由：= 4:3:2，可设,若圆锥曲线为椭圆,则,;若圆锥曲线为双曲线,则,故选A.9. （2011年高考四川卷文科11)在抛物线y=x2+ax-5(a0)上取横坐标为x1=-4,x2=2的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与该抛物线和圆相切，则抛物线的顶点坐标是（
4、 ）（A） (-2,-9) （B）(0,-5) (C) (2,-9) （D）(1,6)10. （2011年高考陕西卷文科2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是 （A） （B） (C) (D) 【答案】C【解析】：设抛物线方程为，则准线方程为于是故选C11（2011年高考湖南卷文科6)设双曲线的渐近线方程为则的值为（ ）A4 B3 C2 D1答案：C解析：由双曲线方程可知渐近线方程为，故可知。12（2011年高考湖北卷文科4)将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则A.B.C.D.答案：C解析：设满足条件的正三角形的三顶点为A、B、F，依题意可知，A
5、、B必关于x轴对称，故设 ，则，则，故由抛物线定义可得，则由，解得，由判别式计算得0，故有两个正三角形，可知选C.13.（2011年高考辽宁卷文科7)已知 F 是抛物线 的焦点，AB是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为 (A) (B)1 (C) (D) 答案： C解析：设A、B的横坐标分别是m、n，由抛物线定义，得=m+n+= m+n+=3，故m+n=，故线段AB的中点到y轴的距离为。二、填空题：14. （2011年高考山东卷文科15)已知双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 .16. （2011年高考四川卷文科1
6、4)双曲线上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点P到左准线的距离是 .答案：16解析：由双曲线第一定义，|PF1|-|PF2|=16，因|PF2|=4，故|PF1|=20，（|PF1|=-12舍去），设P到左准线的距离是d，由第二定义，得，解得.17.（2011年高考全国卷文科16)已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点，点AC，点M的坐标为(2，0)，AM为F1AF2的平分线则|AF2| = .已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点，点AC，点M的坐标为(2，0)，AM为F1AF2的平分线则|AF2| = .【答案】6【解析】：，由角平分线的性质得又 18（20
7、11年高考重庆卷文科9)设双曲线的左准线与两条渐近线交于 两点，左焦点在以为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为A B C D，【答案】B三、解答题：18. （2011年高考山东卷文科22)（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.（）求的最小值；（）若，（i）求证：直线过定点；（ii）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由.（）（i）证明:由题意知:n0,因为直线OD的方程为,所以由得交点G的纵坐标为,又因为,且，所以,又由（）知: ,所以解得,所以直线的方
8、程为,即有,令得,y=0,与实数k无关,所以直线过定点(-1,0).（ii）假设点，关于轴对称,则有的外接圆的圆心在x轴上,又在线段AB的中垂线上,由（i）知点G(,所以点B(,又因为直线过定点(-1,0),所以直线的斜率为，又因为，所以解得或6，又因为,所以舍去,即，此时k=1，m=1，E，AB的中垂线为2x+2y+1=0，圆心坐标为，G(,圆半径为，圆的方程为.综上所述, 点，关于轴对称,此时的外接圆的方程为.19. （2011年高考江西卷文科19) (本小题满分12分）已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于（）两点，且（1）求该抛物线的方程；（2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的
9、值【解析】（1）直线AB的方程是 所以：，由抛物线定义得：，所以p=4，抛物线方程为：（2） 由p=4，化简得，从而,从而A:(1,),B(4,)设=，又，即8（4），即，解得.20. （2011年高考福建卷文科18)（本小题满分12分）如图，直线l ：y=x+b与抛物线C ：x2=4y相切于点A。（1） 求实数b的值；（11） 求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程.【解析】（I）由得 ()因为直线与抛物线C相切,所以,解得.（II）由（I）可知,故方程()即为,解得,将其代入,得y=1,故点A(2,1).因为圆A与抛物线C的准线相切,所以圆心A到抛物线C的准线y=-1的距离等于圆
10、A的半径r,即r=|1-(-1)|=2,所以圆A的方程为.【命题立意】本题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想.21（2011年高考湖南卷文科21)已知平面内一动点到点F（1，0）的距离与点到轴的距离的等等于1（I）求动点的轨迹的方程；（II）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值解析：（I）设动点的坐标为，由题意为化简得当、所以动点P的轨迹C的方程为（II）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，则的方程为由，得设则是上述方程的两个实根，于是 因为，所以的斜率为设则同理可得故当且仅当即时，取最小值16
11、22. （2011年高考陕西卷文科17)（本小题满分12分）设椭圆C: 过点（0，4），离心率为（）求C的方程；（）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标解：（）将（0，4）代入C的方程得b=4又 得即，C的方程为（）过点且斜率为的直线方程为，设直线与的交点为，将直线方程代入的方程，得，即，解得， AB的中点坐标， ，即中点为。注：用韦达定理正确求得结果，同样给分。23. （2011年高考四川卷文科21)（本小题共12分）过点的椭圆的离心率为，椭圆与轴交于两点、，过点的直线与椭圆交于另一点，并与轴交于点，直线与直线交于点.（I）当直线过椭圆右焦点时，求线段的长；（）当点P异于点B
12、时，求证：为定值.解析：（I）因为椭圆过C(1,0)，所以b=1.因为椭圆的离心率是，所以，故，椭圆方程为.当直线过椭圆右焦点时，直线的方程为，由得或则,故.（）直线CA的方程为 .设点P，则直线AP的方程为 .把代入椭圆方程，得，从而可求.因为B(-2,0),所以直线BD的方程为 ，由可得，从而求得.，所以为定值.24.（2011年高考全国卷文科22) (本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交与A、B两点，点P满足()证明：点P在C上；（）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.【解析】(
13、)证明：由，由设，故点P在C上（）法一：点P，P关于点O的对称点为Q，即，同理即， A、P、B、Q四点在同一圆上.法二：由已知有则的中垂线为：设、的中点为则的中垂线为：则的中垂线与的中垂线的交点为到直线的距离为即、四点在同一圆上。25. （2011年高考湖北卷文科21) （本小题满分13分）平面内与两定点连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1、A2两点所在所面的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线.()求曲线C的方程，并讨论C的形状与m的位置关系；()当m=-1时，对应的曲线为C1：对给定的，对应的曲线为C2，设F1、F2是C2的两个焦点，试问：在C1上，是否存在点N，使得F1NF2的面积，
14、若存在，求的值；若不存在，请说明理由.本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想.解析：（1）设动点为M，其坐标（x, y）. 当时，由条件可得即又的坐标满足 故依题意，曲线C的方程为 当时，曲线C的方程为，C是焦点在y轴上的椭圆； 当时，曲线C的方程为，C是圆心在原点的圆； 当时，曲线C 的方程为，C是焦点在x轴上的椭圆； 当时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的双曲线.（2）由（1）知，当时，C1的方程为； 当时，C2的两个焦点分别为. 对于给定的，C1上存在点使得的充要条件是 由得，由得 当即，或时. 存在点N, 使 当即，或时， 不存在满足条件的点N. 当时， 由， 可得 令 则由可得， 从而于是由 可得，即 综上可得： 当时，在C1上，存在点N，使得，且 当时，在C1上，存在点N，使得，且； 当时，在C1上，不存在满足条件的点N.