1、第2课时 集合的表示基础认知自主学习导思1.集合可以用什么方法来表示？2什么是列举法？什么是描述法？1.列举法把集合中的元素_出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法一一列举(1)一一列举元素时，需要考虑元素的顺序吗？提示：用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序例如：a，b与b，a表示同一个集合(2)数集 R 可以写为实数集、全体实数、R吗？提示：实数集 R 可以写为实数，但如果写成实数集、全体实数、R都是不正确的因为花括号“”表示“所有”“整体”的含义2描述法(1)用集合所含元素的_表示集合的方法称为描述法(2)具体步骤：在花括号内写上表示这个集合的元素的_及取值(或变化)范围画一条竖线在竖线
2、后写出这个集合中元素所具有的_共同特征一般符号共同特征(x，y)|yx22能否写为x|yx22或y|yx22呢？提示：不能，(x，y)表示集合的元素是有序实数对或点，而 x 或 y 则表示集合的元素是数，所以用描述法表示集合时一定要弄清集合的元素是什么1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)不等式 x 1 的解集可以用列举法表示()(2)xZ|x2k，kZ与xZ|x2k，kN是相等的集合()(3)集合(1，2)和1，2表示同一个集合()(4)集合x|x3与集合t|t3表示同一个集合()提示：(1).不等式 x1 的解集中有无限多个元素，无法一一列出，不能用列举法表示(2).xZ|x2k，kZ
3、 表示所有偶数构成的集合，xZ|x 2k，k N 表示所有非负偶数构成的集合，两个集合是不相等的(3).集合(1，2)中只有一个元素为(1，2)，而1，2中有两个元素 1 和 2.(4).虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同，但实质上它们均表示大于 3 的所有实数，故表示同一个集合2(教材例题改编)方程 x24 的解组成的集合用列举法表示为()A(2，2)B2，2C2 D2【解析】选 B.由 x24 得 x2，故用列举法可表示为2，23集合2，4，6，8，10可用描述法表示为_【解析】2，4，6，8，10 均为偶数，故该集合可用描述法表示为x|x2n，nN，且 n5答案：x|x2n，nN，
4、且 n5能力形成合作探究类型一 列举法表示集合(数学抽象)1(2021枣庄高一检测)下列集合中，表示方程组xy3，xy1的解集的是()A2，1 Bx2，y1C(2，1)D(1，2)【解析】1.选 C.方程组xy3，xy1的解是x2，y1，所求集合为(2，1)2设 a，bR，集合1，ab，a0，b，ba，则 ba 等于()A1 B1 C2 D2【解析】2选 C.由题知 ab0 且 b1，a1，则 ba2.3一次函数 yx3 与 y2x 的图象的交点组成的集合是()A1，2 Bx1，y2C(2，1)D(1，2)【解析】3选 D.由yx3，y2x得x1，y2，所以两函数图象的交点组成的集合是(1，2
5、)4求方程(x2)2(x3)0 的解组成的集合 M.【解析】4方程(x2)2(x3)0 的解为 x2 或 x3，所以 M2，31用列举法表示集合的三个步骤(1)求出集合的元素(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次(3)用花括号括起来2在用列举法表示集合时的关注点二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开如(2，3)，(5，1)【补偿训练】1.设集合 A2，x，x230，若5A，则 x 的值为_【解析】因为集合中有三个元素，且5 是集合 A 中的元素，因此5x 或者5x230，解得 x5 或 x5，而 x5 不合题意，舍去
6、，故 x5.答案：52用列举法表示集合x|x(1)n，nN_【解析】当 n 为奇数时，(1)n1；当 n 为偶数时，(1)n1，所以x|x(1)n，nN1，1答案：1，1类型二 描述法表示集合(数学抽象、逻辑推理)1用描述法表示函数 y3x1 图象上的所有点的是()Ax|y3x1 By|y3x1C(x，y)|y3x1 Dy3x1【解析】1.选 C.该集合是点集，故可表示为(x，y)|y3x12已知集合 A1，2，3，4，5，B(x，y)|xA，yA，xyA，则 B 中所含元素的个数为()A3 B6 C8 D10【解析】2选 D.x5，y1，2，3，4；x4，y1，2，3；x3，y1，2；x2，
7、y1，共 10 个3下列集合恰有两个元素的是()Ax2x0 Bx|yx2xCy|y2y0 Dy|yx2x【解析】3选 C.A 项为一个方程集，只有一个元素；B 项为方程 yx2x 的定义域，有无数个元素；C 项为方程 y2y0 的解，有 0，1 两个元素；D 项为函数 yx2x的值域，有无数个元素故选 C.1用描述法表示集合的两个步骤2用描述法表示集合应注意的四点(1)写清楚该集合代表元素的符号例如，集合xR|x1不能写成x1(2)所有描述的内容都要写在花括号内例如，xZ|x2k，kZ，这种表达方式就不符合要求，需将 kZ 也写进花括号内，即xZ|x2k，kZ(3)不能出现未被说明的字母(4)
8、在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写例如，方程 x22x10 的实数解组成的集合可表示为xR|x22x10，也可写成x|x22x101下列集合的表示方法正确的是()A第二、四象限内的点集可表示为(x，y)|xy0，xR，yRB不等式 x14 的解集为x5C全体整数D实数集可表示为 R【解析】选 D.选项 A 中应是 xy0；选项 B 的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素 x；选项 C 的“”与“全体”意思重复2下面对集合1，5，9，13，17用描述法表示，其中正确的一个是()Ax|x 是小于 18 的正奇数Bx|x4k1，
9、kZ，k5Cx|x4t3，tN，t5Dx|x4s3，sN*，s6【解析】选 D.集合中的元素除以 4 余 1，故可以用 4k1(0k4，kZ)或 4k3(1k5，kZ)来表示，D 项的表示正确3能被 2 整除的正整数的集合，用描述法可表示为_【解析】正整数中所有的偶数均能被 2 整除答案：x|x2n，nN*4集合xZ|2x23x10中元素为_【解析】由 2x23x10 得 x1 或 x12，因为 xZ，所以 x1，所以元素为 1.答案：1【拓展延伸】下面三个集合：x|yx21；y|yx21；(x，y)|yx21(1)它们各自的含义是什么？(2)它们是不是相同的集合？提示：(1)集合x|yx21
10、的代表元素是 x，满足条件 yx21 中的 xR，所以实质上x|yx21R；集合的代表元素是 y，满足条件 yx21 的 y 的取值范围是 y1，所以实质上y|yx21y|y1；集合(x，y)|yx21的代表元素是(x，y)，可以认为是满足 yx21 的数对(x，y)的集合，也可以认为是坐标平面内的点(x，y)构成的集合，且这些点的坐标满足 yx21，所以(x，y)|yx21P|P是抛物线 yx21 上的点(2)由(1)中三个集合各自的含义知，它们是不同的集合【拓展训练】1集合(x，y)|y2x1表示()A方程 y2x1B点(x，y)C平面直角坐标系中的所有点组成的集合D一次函数 y2x1 图
11、象上的所有点组成的集合【解析】选 D.本题中的集合是点集，其表示一次函数 y2x1 图象上的所有点组成的集合2写出满足下列条件的集合(1)满足 yx2 的所有 x 的集合 A.(2)满足 yx2 的所有 y 的集合 B.(3)满足 yx2 的所有点组成的集合 C.【解析】(1)满足 yx2 的所有 x 为全体实数，所以 Ax|yx2R.(2)满足 yx2 的所有 y 为全体非负实数，所以 By|yx2y|y0(3)满足 yx2 的所有点组成抛物线，所以 C(x，y)|yx2类型三 集合表示方法的综合应用(数学抽象、逻辑推理)角度 1 用适当的方法表示集合【典例】用适当的方法表示集合(1)比 1
12、 大又比 10 小的实数的集合(2)3 和 4 的所有正的公倍数构成的集合(3)方程组2xy8，xy1的解组成的集合 B.(4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合【思路导引】选择适当的表示方法的原则是列举法通常用于表示元素个数较少的集合，描述法通常用于表示元素具有明显共同特征的集合【解析】(1)xR|1x10(2)3 和 4 的最小公倍数是 12，因此 3 和 4 的所有正的公倍数构成的集合是x|x12n，nN*(3)解2xy8，xy1，得x3，y2，所以 B(3，2)(4)集合的代表元素是点，用描述法可表示为(x，y)|x0角度 2 已知与参数有关的集合求参数值或范围【典例】若集合 A
13、x|mx22xm0，mR中有且只有一个元素，则 m 的取值集合是_【思路导引】集合 A 有且只有一个元素可转化为关于 x 的方程 mx22xm0 只有一个实数根，求出 m 的值【解析】当 m0 时，方程 mx22xm0 为 2x0，解得 x0，A0；当 m0 时，若集合 A 只有一个元素，则一元二次方程 mx22xm0 有相等实根，所以判别式 224m20，解得 m1；综上，当 m0 或 m1 时，集合 A 只有一个元素所以 m 的值组成的集合 B1，0，1答案：1，0，1 若本例“有且只有一个元素改为两个元素”，试求 m 的取值范围【解析】因为 A 中有两个元素，所以该方程 mx22xm0
14、为一元二次方程，且有两个解，所以 m0，且 224m20，解得1m1，且 m0.所以1m1，且 m0.1解答集合表示方法综合题的策略(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键(2)若已知集合是用列举法给出的，整体把握元素的共同特征是解题的关键2方程、不等式等知识与集合交汇问题的处理(1)准确理解集合中的元素，明确元素的特征性质(2)解题时还应注意方程、不等式等知识以及转化、分类与整合思想的综合应用1规定与是两个运算符号，其运算法则如下：对任意实数 a，b 有 abab，abb(a2b21).若2ab2，a，bZ，则集合 Axx2（ab）abb用列举法可表示为_【解
15、析】由2ab2，a，bZ，得 a1，b0 或 a0，b1 或 a1，b1.x2(ab)abb2aba2b21(ab)21，(*)将 a1，b0 代入(*)式，得 x2；将 a0，b1 代入(*)式，得 x2；将 a1，b1 代入(*)式，得 x1，故 A1，2答案：1，22设集合 A1，2，a21，B1，a23a，0，若 A，B 相等，则实数 a_【解析】由集合相等的概念得a210，a23a2，解得 a1.答案：13集合 Ax|kx28x160，若集合 A 中至少有一个元素，求实数 k 的值组成的集合【解析】由题意可知，方程 kx28x160 至少有一个实数根当 k0 时，由8x160 得 x
16、2，符合题意；当 k0 时，要使方程 kx28x160 至少有一个实数根，则 6464k0，即 k1.综合可知，实数 k 的取值集合为k|k1学情诊断课堂测评1已知 xN，则方程 x2x20 的解集为()Ax|x2 Bx|x1 或 x2Cx|x1 D1，2【解析】选 C.方程 x2x20 的解为 x1 或 x2.由于 xN，所以 x2 舍去2集合xN*|x32用列举法可表示为()A0，1，2，3，4 B1，2，3，4C0，1，2，3，4，5 D1，2，3，4，5【解析】选 B.因为 x32，所以 x5，又因为 xN*，所以 x1，2，3，4.3(教材二次开发：练习改编)已知集合 AxN|x6，则下列关系不成立的是()A0A B1.5A C1A D6A【解析】选 D.因为 AxN|x60，1，2，3，4，5，所以 6A.4集合xN|2x50中所有元素的和为_【解析】由 2x50 得 x52，因为 xN，所以 x0，1，2，所以元素之和为 3.答案：35用列举法表示集合 A(x，y)|xy3，xN，yN*为 A_【解析】集合 A 是由方程 xy3 的部分整数解组成的集合，由条件可知，当 x0时，y3；当 x1 时，y2；当 x2 时，y1，故 A(0，3)，(1，2)，(2，1)答案：(0，3)，(1，2)，(2，1)