1、32函数与方程、不等式之间的关系运用函数性质求方程近似解的基本方法(二分法)，再结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法新知初探自主学习突出基础性知识点一函数的零点1零点的定义一般地，如果函数yf(x)在实数处的函数值等于零，即f()0，则称为函数yf(x)的零点2方程的根与函数零点的关系状元随笔函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零知识点二二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系判别式b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图像一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1
2、，x2(x1x2)有两相等实根x1x2b2a没有实数根ax2bxc0(a0)的解集_Rax2bxc0 (a0)的解集_知识点三函数零点的判定函数零点存在定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图像是连续不断的，并且f(a)f(b)0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数yf(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即x0a，b，f(x0)0.状元随笔定理要求具备两条：函数在区间a，b上的图像是连续不断的一条曲线；f(a)f(b)0.基础自测1.函数y3x2的图像与x轴的交点坐标及其零点分别是()A23；23B23，0；23C23；23 D-23，0；232函数f(x)3x-x2的定义域为()A
3、0，3 B(0，3)C(，03，+ D.-，03，+3函数f(x)x3x的零点个数是()A0 B1C2 D34若函数f(x)x2axb的两个零点是2和3，则函数g(x)bx2ax1的零点是_课堂探究素养提升强化创新性题型1函数零点的概念及求法例1(1)下列图像表示的函数中没有零点的是()(2)不等式x23x40的解集为_状元随笔1.由函数图像判断函数是否有零点是看函数的图像与x轴是否有交点2求函数对应方程的根即为函数的零点方法归纳函数零点的求法求函数yf(x)的零点通常有两种方法：其一是令f(x)0，根据解方程f(x)0的根求得函数的零点；其二是画出函数yf(x)的图像，图像与x轴的交点的横坐
4、标即为函数的零点跟踪训练1若函数f(x)x2xa的一个零点是3，求实数a的值，并求函数f(x)其余的零点由函数f(x)的零点是3，得f(3)0，求a.题型2确定函数零点的个数教材P111例6例2求证：函数f(x)x32x2至少有一个零点【证明】因为f(0)20，f(2)84220，所以f(2)f(0)0，因此x02，0，f(x0)0，即结论成立教材反思判断函数零点个数的三种方法(1)方程法：若方程f(x)0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数(2)图像法：由f(x)g(x)h(x)0，得g(x)h(x)，在同一坐标系内作出y1g(x)和y2h(x)的图
5、像根据两个图像交点的个数来判定函数零点的个数(3)定理法：函数yf(x)的图像在区间a，b上是一条连续不断的曲线，由f(a)f(b)0即可判断函数yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点若函数yf(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点跟踪训练2(1)函数f(x)xx2的零点个数为()A0 B1C2 D3(2)判断函数f(x)x3ln x的零点个数状元随笔思路一：解方程求零点，方程f(x)0的实数根的个数就是函数f(x)的零点的个数；思路二：画出函数图像，依据图像与x轴的交点的个数来判断函数的零点个数题型3判断函数的零点所在的大致区间例3设x0是函数f
6、(x)ln xx4的零点，则x0所在的区间为()A(0，1) B(1，2)C(2，3) D(3，4)状元随笔根据零点存在性定理，对照选项，只需验证区间端点函数值的符号，或可借助于图像分析方法归纳判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点跟踪训练3函数f(x)2x1x5的零点所在的区间为()A.(0，1) B(1，2)C(2，3)D(3，4)利用f(a)f(b)0求零点区间题型4函数零点的应用经典例题例
7、4已知函数f(x)x，xm，x2-2mx+4m，xm，其中m0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)b有三个不同的根，则m的取值范围是_方法归纳已知函数零点情况求参数的步骤及方法(1)步骤：判断函数的单调性；利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式(组)；解不等式(组)，即得参数的取值范围(2)方法：常利用数形结合法跟踪训练4已知关于x的方程|x24x3|a0有三个不相等的实数根，则实数a的值是_状元随笔求解这类问题可先将原式变形为f(x)g(x)，则方程f(x)g(x)的不同解的个数等于函数f(x)与g(x)图像交点的个数，分别画出两个函数的图像，利用数形结合的思想使问题得解32函数与方
8、程、不等式之间的关系新知初探自主学习知识点一2交点的横坐标零点知识点二x|xx2x|x-b2ax|x1x0得x23x40，解得：4x0的解集为(4，1)【答案】(1)A(2)(4，1)跟踪训练1解析：由题意知f(3)0，即(3)23a0，a6.所以f(x)x2x6.解方程x2x60，得x3或2.所以函数f(x)其余的零点是2.跟踪训练2解析：(1)令f(x)0得xx20，设tx(t0)，则t2t20，解得t2或t1(舍)故x2即x4，因此方程f(x)0有一个根4，所以函数f(x)有一个零点(2)令f(x)x3ln x0，则ln xx3，在同一平面直角坐标系内画出函数yln x与yx3的图像，如
9、图所示：由图可知函数yln x，yx3的图像只有一个交点，即函数f(x)x3ln x只有一个零点答案：(1)B(2)一个例3【解析】因为f(2)ln 224ln 220，f(3)ln 31ln e10，f(2)f(3)0.由零点存在性定理，得x0所在的区间为(2，3)【答案】C跟踪训练3解析：f(2)221250，f(3)231350，故f(2)f(3)0，又f(x)在定义域内是增函数，则函数f(x)2x1x5只有一个零点，且零点所在的区间为(2，3)答案：C例4【解析】作出f(x)的图像如图所示当xm时，x22mx4m(xm)24mm2，要使方程f(x)b有三个不同的根，则4mm20.又m0，解得m3.【答案】(3，)跟踪训练4解析：如图，由图像知直线y1与y|x24x3|的图像有三个交点，则方程|x24x3|1有三个不相等的实数根，因此a1.答案：1
