1、第二章随机变量及其分布测试卷(时间：90分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1袋中有2个黑球6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是()A取到球的个数B取到红球的个数C至少取到一个红球 D至少取得一个红球的概率解析：随机变量是随着试验结果变化而变化的变量，只有B项满足答案：B2已知随机变量的分布列如下表所示，若51，则E()等于()012PA4 B5C. D.解析：E()012，E()E(51)5E()14.答案：A3甲、乙两歼击机的飞机员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4,0.5，且两人是否击中
2、相互不受影响，则恰有一人击中敌机的概率为()A0.9 B0.2C0.7 D0.5解析：设事件A，B分别表示甲、乙飞行员击中敌机，则P(A)0.4，P(B)0.5，且A与B互相独立，则事件恰有一人击中敌机的概率为P(AB)P(A)1P(B)1P(A)P(B)0.5，故选D项答案：D4某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A0.8 B0.75C0.6 D0.45解析：设某天空气质量为优良为事件A，随后一天空气质量为优良为事件B，由已知得P(A)0.75，P(AB)0.6，所求事
3、件的概率为P(B|A)0.8，故选A项答案：A5设两个正态分布N(1，)(10)和N(2，)(20)的密度函数图象如图所示，则有()A12，12 B12C12，12，12解析：反映的是正态分布的平均水平，x是正态密度曲线的对称轴，由题图可知12；反映的正态分布的离散程度，越大，越分散，曲线越“矮胖”，越小，越集中，曲线越“瘦高”，由题图可知12)0.023，则P(2X2)()A0.477 B0.628C0.954 D0.977解析：因为随机变量XN(0，2)，所以正态曲线关于直线x0对称又P(X2)0.023，所以P(X2)P(Xp2，E(1)E(2) Bp1E(2)Cp1p2，E(1)E(2
4、) Dp1p2，E(1)p2，E(1)E(2)故选A项答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13设随机变量的概率分布列如下表所示012Pabc其中a，b，c成等差数列，若随机变量的均值为，则的方差为_解析：由题意知，abc1,2bac，b2c.解得a，b，c，D()222.答案：14某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是p，若此人未能通过的科目数的均值是2，则p_.解析：因为通过各科考试的概率为p，所以不能通过考试的概率为1p，易知B(6,1p)，所以E()6(1p)2，解得p.答案：15据抽样统计，在某市的公
5、务员考试中，考生的综合评分X服从正态分布N(60,102)，考生共10 000人，若一考生的综合评分为80分，则该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第_名解析：依题意，P(602080)(10.954 4)0.022 8，故成绩高于80分的考生人数为10 0000.022 8228(人)所以该生的综合成绩在所有考生中的名次是第229名答案：22916甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件则下列结论中正确的
6、是_(写出所有正确结论的编号)P(B)；P(B|A1)；事件B与事件A1相互独立；A1，A2，A3是两两互斥的事件；P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关解析：从甲罐中取出一球放入乙罐，则A1，A2，A3中任意两个事件不可能同时发生，即A1，A2，A3两两互斥，故正确，易知P(A1)，P(A2)，P(A3)，则P(B|A1)，P(B|A2)，P(B|A3)，故对错；P(B)P(A1B)P(A2B)P(A3B)P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)P(A3)P(B|A3)，故错误综上知，正确结论的序号为.答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文
7、字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)某跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率是失败的概率的4倍，且每次试跳成功与否相互之间没有影响(1)求该跳高运动员试跳三次，第三次才成功的概率；(2)求该跳高运动员在三次试跳中恰有两次试跳成功的概率解析：设该跳高运动员在一次试跳中成功的概率为p，则失败的概率为1p.依题意有p4(1p)，解得p.(1)由于每次试跳成功与否相互之间没有影响，所以该跳高运动员试跳三次中第三次才成功的概率为(1p)2p2.(2)该跳高运动员的三次试跳可看成三次独立重复试验，故该跳高运动员在三次试跳中恰有两次成功的概率为p1C2.18(12分)甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每
8、天加工的零件数相同，所得次品数分别为X，Y，X和Y的分布列如下表试对这两名工人的技术水平进行比较X012PY012P解析：工人甲生产出次品数X的数学期望和方差分别为E(X)0120.7，D(X)(00.7)2(10.7)2(20.7)20.81.工人乙生产出次品数Y的数学期望和方差分别为E(Y)0120.7，D(Y)(00.7)2(10.7)2(20.7)20.61.由E(X)E(Y)知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，但D(X)D(Y)，可见乙的技术比较稳定19(12分)甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为和.求：(1)两人都能破译的概率；(2)两人都不能破译的概率；(3)
9、恰有一人能破译的概率；(4)至多有一人能够破译的概率解析：设“甲能破译”为事件A，“乙能破译”为事件B，则A、B相互独立，从而A与、与B、与均相互独立(1)“两人都能破译”为事件AB，则P(AB)P(A)P(B).(2)“两人都不能破译”为事件 ，则P( )P()P()1P(A)1P(B).(3)“恰有一人能破译”为事件(A )( B)，又A 与 B互斥，所以P(A )(B)P(A)P(B)P(A)P()P()P(B).(4)“至多一人能破译”为事件(A)(B)( )，而A 、 、 互斥，故P(A)(B)( )P(A)P(B)P( )P(A)P()P()P(B)P()P().20(12分)在某
10、校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N(70,100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12人(1)试问此次参赛学生的总数约为多少人？(2)若成绩在80分以上(含80分)为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人？解析：(1)设参赛学生的成绩为X，因为XN(70,100)，所以70，10.则P(X90)P(X50)1P(50X90)1P(2X2)(10.954 4)0.022 8，526.因此，此次参赛学生的总数约为526人(2)由P(X80)P(X60)1P(60X80)1P(X)(10.682 6)0.158 7，得5260.158 783.因此，此次竞赛成
11、绩为优的学生约为83人21(12分)某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，且三人投票相互没有影响若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖(1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；(2)求该节目投票结果中所含“获奖”票和“待定”票票数之和X的分布列及数学期望解析：(1)设某节目的投票结果是最终获一等奖这一事件为A，则事件A包括：该节目可以获2张“获奖”票，或者获3张
12、“获奖”票因为甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，且三人投票相互没有影响，所以P(A)C21C3.(2)所含“获奖”票和“待定”票票数之和X的值为0,1,2,3.P(X0)C3；P(X1)C2；P(X2)C2；P(X3)C3.因此X的分布列为X0123P所以X的数学期望为E(X)01232.(或由XB得E(X)32)22(12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(2)由直方图可以认为，这种
13、产品的质量指标值Z服从正态分布N(，2)，其中近似为样本平均数，2近似为样本方差s2.利用该正态分布，求P(187.8Z212.2)；某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数利用的结果，求E(X)附：12.2.若ZN(，2)，则P(Z)0.682 6，P(2Z2)0.954 4.解析：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200，s2(30)20.02(20)20.09(10)20.2200.331020.242020.083020.02150.(2)由(1)知，ZN(200,150)，从而P(187.8Z212.2)P(20012.2Z20012.2)0.682 6.由知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 6，依题意知XB(100，0.682 6)，所以E(X)1000.682 668.26.