1、静海一中2019-2020第二学期高三数学（5周）学生学业能力调研考试试卷考生注意：本次考试收到试卷1：45考试时间为2：003：30交卷时间截止到3：40请同学们严格按照考试时间作答，并将答题纸拍照上传本试卷分第卷基础题（130分）和第卷提高题两部分，共150分.知识与技能学习能力（学法）内容函数与导数三角函数与解三角形数列集合与简易逻辑易混易错方法归类一题多变分数1020304010105第卷基础题（共130分）一、选择题：（每小题6分，共42分，每小题只有一个正确选项）1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由绝对值不等式的解法和对数函数的性质，求得，再根
2、据集合的运算，即可求解【详解】由题意，可求得，则，所以.故选B.【点睛】本题主要考查了对数的混合运算，其中解答中涉及到绝对值不等式的求解，以及对数函数的性质，正确求解集合是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题2.已知，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】找到两个不等式之间的关系，理解充分，必要条件的概念可得结果.详解】由，所以或，即或，所以可知“”是“”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题考查充分，必要条件的概念，可以等价于集合之间的包含关系，属基本题型.3.已知是定义在上的偶函数，且在上是
3、增函数.设，则，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用偶函数的对称性分析函数的单调性，利用指数函数、对数函数的单调性比较出的大小关系从而比较函数值的大小关系.【详解】由题意可知在上是增函数，在上是减函数.因为，所以，故.故选：A【点睛】本题考查函数的性质，利用函数的奇偶性及对称性判断函数值的大小关系，涉及指数函数、对数函数的单调性，属于基础题.4.在平面直角坐标系中，经过点，渐近线方程为的双曲线的标准方程为（ ）A B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据所求双曲线的渐近线方程为，可设所求双曲线的标准方程为k再把点代入，求得 k的值，可得要求的双曲线的
4、方程【详解】双曲线的渐近线方程为设所求双曲线的标准方程为k又在双曲线上，则k=16-2=14,即双曲线的方程为双曲线的标准方程为故选B【点睛】本题主要考查用待定系数法求双曲线的方程，双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题5.函数的部分图像大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，再根据与的性质，确定函数图象【详解】，定义域为，所以函数是偶函数，排除A、C，又因为且接近时，且，所以，选择B【点睛】函数图象的辨识可以从以下方面入手：1从函数定义域，值域判断；2.从函数的单调性，判断变化趋势；3.从函数的奇偶性判断函数的对称性；4.从函
5、数的周期性判断；5.从函数的特征点，排除不合要求的图象6.将函数的图像向右平移个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图像，若为奇函数，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的变换规则表示出，根据是奇函数，可得的取值，再求其最小值.【详解】解：由题意知，将函数的图像向右平移个单位长度，得，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图像，因为是奇函数，所以，解得，因为，所以的最小值为.故选：【点睛】本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质，属于基础题.7.若函数，有三个不同的零点，则实数的取值范围
6、是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意可知且，故函数最多两个零点，故函数必须有零点，而函数是单调函数，故函数最多有一个零点，所以得出函数必须有一个零点，函数必须有两个零点，再结合图象，根据函数零点存在定理得出的范围【详解】解：由题意可知且，当时，函数的导函数为，所以函数在为减函数，在为增函数，故函数最多两个零点；而当时，函数是单调函数，故函数最多有一个零点；根据上述分析可以得出：函数必须有两个零点，函数必须有一个零点当时，在函数中，因为，故，解得，当时，当时，函数单调递减，不满足题意，当时，函数是单调递增，因为在时有一个零点，则，解得：综上：，故选C【点睛】本题考查了
7、分段函数的零点问题，解题时运用了数形结合、分类讨论等思想方法进行求解，属于较难题二、填空题（每小题6分共42分）8.若复数（i为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为_【答案】0【解析】【分析】先将整理为的形式,再令实部为0,虚部不为0求解即可【详解】由题,因为是纯虚数,所以,故答案为：0【点睛】本题考查已知复数类型求参数,考查复数的除法法则的应用9.在一次医疗救助活动中，需要从A医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有_种.(用数字作答)【答案】【解析】【分析】首先选派男医生中唯一的主任医师，由题意利用排列组合公式即可
8、确定不同的选派案方法种数.【详解】首先选派男医生中唯一的主任医师，然后从名男医生、名女医生中分别抽调2名男医生、名女医生，故选派的方法为：.故答案为【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)10.过点作直线，与圆交于两点, 若，则直线的方程为_.【答案】【解析】【分析】将圆的方程化为标准方程,确定圆心与半径，当斜率存在时，设斜率为，方程，利用垂径定理，结合勾股定理, 可求得的值，再验证当斜率不存在时是否满足题意即可得结果.【详解】圆化
9、为，圆心，半径，点在圆内，当斜率存在时，设斜率为，方程，即，圆心到直线距离为，的方程当斜率不存在时，直线也满足，的方程或，故答案为或.【点睛】本题主要考查圆的方程与性质，以及点到直线距离公式以及圆的弦长的求法，求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.11.若实数满足，且，则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】先根据对数的运算性质可得xy2，再根据基本不等式即可求【详解】实数x、y满足xy0，且log2x+log2y1，则xy2，则，当且仅当xy，即xy2时取等号故的最大值为，故答案为【点睛】本题考查利用基本不等
10、式求最值，考查了对数的运算，其中对代数式进行变形与灵活配凑，是解本题的关键，属于中等题12.三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则_【答案】【解析】【详解】由已知设点到平面距离为，则点到平面距离为，所以，考点：几何体的体积.13.已知四边形中，为中点且，则_【答案】【解析】【分析】利用平面向量基本定理将与都用来表示，进行数量积的运算即可.【详解】，又，故答案为.【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用，考查了数量积的运算，属于中档题.14.已知函数，其中为自然对数的底数，若，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】利用奇偶性定义判断函数的奇偶性，利用导数结合不等式与三角函
11、数的有界性判断函数的单调性，再将原不等式转化为求解即可.【详解】，是奇函数，且，又，在上递增，化为，故答案为.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查了奇偶性的应用、单调性的应用，属于难题. 解决抽象不等式时，切勿将自变量代入函数解析式进行求解，首先应该注意考查函数的单调性若函数为增函数，则；若函数为减函数，则三、解答题（46分）15.在中，内角所对的边分别为.已知，.（I）求的值；（II）求的值.【答案】（）（）【解析】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系，再根据余弦定理求出，进而得到，由转化为，求出，进而求出，从而求出的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.试题解析：
12、（）解：由，及，得.由，及余弦定理，得.（）解：由（），可得，代入，得.由（）知，A为钝角，所以.于是，故.考点：正弦定理、余弦定理、解三角形【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.16.如图，在三棱锥中，顶点在底面上的射影在棱上，为的中点（）求证： （）求二面角的余弦值；（）已知是平面内一点，点为中点，且平面，求线段的长【答案】（）见解析；（）；（）.【解析】【分析】()由
13、题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；()建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量，利用法向量计算余弦值即可；()利用空间向量求得点Q的坐标，然后结合点P的坐标可得线段的长.【详解】（）顶点在底面上的射影在棱上，平面平面，平面平面，平面，面，由，得，平面（）连结，分别以、为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设为平面的一个法向量，则，取，得，设平面的法向量，则，取，则，设二面角的平面角为，则二面角的余弦值为（）设，因为平面，所以所以，所以【点睛】本题考查了立体几何中的线面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面
14、与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.17.已知数列满足.（1）设，求数列的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）记，求数列的前项和.【答案】（1）（2）（3）【解析】【详解】（1）由得，得；（2）易得， 错位相减得所以其前项和；（3）， 或写成.点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1
15、和不等于1两种情况求解.第卷提高题（共20分）18.已知函数.（1）若曲线存在斜率为-1的切线，求实数a的取值范围；（2）求的单调区间；（3）设函数，求证：当时， 在上存在极小值.【答案】(1) .(2)答案见解析；(3)证明见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）求出函数的导数，问题转化为存在大于的实数根，根据在时递增，求出的范围即可；（2）求出函数的导数，通过讨论的范围，判断导数的符号，求出函数的单调区间即可；（3）求出函数，根据，得到存在，满足，从而让得到函数单调区间，求出函数的极小值，证处结论即可.试题解析：（1）由得.由已知曲线存在斜率为-1的切线，所以存在大于零的实数根，即存在大于
16、零的实数根，因为在时单调递增，所以实数a的取值范围.（2）由可得当时， ，所以函数的增区间为；当时，若， ，若， ，所以此时函数的增区间为，减区间为.（3）由及题设得，由可得，由（2）可知函数在上递增，所以，取，显然，所以存在满足，即存在满足，所以， 在区间（1，+）上的情况如下： 0 + 极小 所以当-1a0时，g（x）在（1，+）上存在极小值.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系. (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数. (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题. (4)考查数形结合思想的应用.