1、第一章推理与证明4 数学归纳法第6课时 数学归纳法基础训练课时作业设计（45分钟）作业目标1初步理解数学归纳法的原理2理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤3初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的命题基础巩固一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1已知n为正偶数，用数学归纳法证明112131415 1n 21n2 1n4 12n(n为正偶数)成立时，若假设nk(k2且k为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设证n_时等式成立()Ak1 Bk2C2k2 D2(k2)B解析：根据数学归纳法的步骤可知，nk(k2且k为偶数)的下一个偶数为nk2，故选B.2若f(n)1 12
2、13 12n1(nN*)，则当n1时，f(n)()A1 B.13C11213D以上答案均不正确C解析：f(n)1121312n1(nN*)，f(1)11213，故选C.3用数学归纳法证明3nn3(n3，nN)第一步应验证()An1 Bn2Cn3 Dn4C解析：由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n3是否成立，选C.4某个与正整数有关的命题：如果当nk(kN)时命题成立，则可以推出当nk1时该命题也成立现已知n5时命题不成立，那么可以推得()A当n4时命题不成立 B当n6时命题不成立C当n4时命题成立 D当n6时命题成立A解析：因为当nk(kN)时命题成立，可以推出当nk1时该命题也成立，所以
3、假设当n4时命题成立，那么n5时命题也成立现已知n5时命题不成立，则当n4时命题不成立故选A.5用数学归纳法证明“凸n边形的内角和公式”时，由nk到nk1时增加的是()A.2BC.32D2B解析：如图，由nk到nk1时，凸n边形的内角和增加的是：123，故选B.6在数列an中，an112131412n1 12n，则ak1等于()Aak12k1 Bak12k212k4Cak12k2 Dak12k112k2D解析：a1112，a21121314，an112131412n1 12n，ak112131412k1 12k，ak1ak12k112k2.故选D.7用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3(
4、nN*)能被9整除”，要利用归纳假设证nk1时的情况，只需展开()A(k3)3 B(k2)3C(k1)3 D(k1)3(k2)3A解析：因为从nk到nk1，增加了(k3)3，减少了k3，故利用归纳假设，只需将(k3)3展开8对于不等式n2n n1(nN*)，某学生运用数学归纳法的证明过程如下：当n1时，121 11，不等式成立；假设当nk(k1，kN*)时，不等式成立，即k2k k1，则当nk1时，k12k1 k23k212 1n2.假设nk(kN*)时，不等式成立，则当nk1时，应推证的目标不等式是.122 1321k121k2212 1k3解析：观察不等式左边式子的分母可知，由nk到nk1
5、，不等式的左边多出了1k22这一项11用数学归纳法证明“1121312n11)”，由nk(k1)不等式成立推证nk1时，左边应增加的项的项数是.2k解析：当nk1时，左边是1121312k1 12k12k11，增加的是12k12k112k11，共有2k112k12k项，故左边应增加的项的项数是2k.三、解答题(本大题共2小题，共25分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12(12分)求证：12223242(2n1)2(2n)2n(2n1)(nN*)证明：n1时，左边12223，右边3，等式成立假设nk(kN*)时，等式成立，即12223242(2k1)2(2k)2k(2k1)当nk1时，1
6、2223242(2k1)2(2k)2(2k1)2(2k2)2k(2k1)(2k1)2(2k2)2k(2k1)(4k3)(2k25k3)(k1)2(k1)1，所以nk1时，等式也成立由得，等式对任意nN*都成立13(13分)若不等式1n11n21n313n1 a24对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论解：取n1，111 11213112624，令2624 a24a2524.n1时，已证结论正确假设nk(k1，kN)时，1k1 1k213k12524，则当nk1时，有1k11 1k12 13k1 13k2 13k3 13k11(1k1 1k2 13k1)(13k2 13k3 1
7、3k4 1k1)252413k213k423k113k213k46k19k218k823k1，13k213k423k10.1k111k1213k112524，即nk1时，结论也成立由可知，对一切nN都有1n1 1n213n12524.故a的最大值为25.能力提升14(5分)已知一个命题p(k)，k2n(nN*)，若当n1,2，1 000时，p(k)成立，且当n1 001时也成立，则下列判断中正确的是()Ap(k)对k2 004成立Bp(k)对每一个自然数k都成立Cp(k)对每一个正偶数k都成立Dp(k)对某些偶数可能不成立D解析：由题意，知p(k)对k2,4,6，2 002成立，当k取其他值时
8、不能确定p(k)是否成立故选D.15(15分)将正整数作如下分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜测S1S3S5S2n1的结果，并用数学归纳法证明S11，S2235，S345615，S47891034，S5111213141565，S6161718192021111，解：由题意知，当n1时，S1114；当n2时，S1S31624；当n3时，S1S3S58134；当n4时，S1S3S5S725644.猜想：S1S3S5S2n1n4.下面用数学归纳法证明：(1)当n1时，S1114，等式成立(2)假设当nk(kN)时等式成立，即S1S3S5S2k1k4，那么，当nk1时，S1S3S5S2k1S2k1k4(2k2k1)(2k2k2)(2k2k2k1)k4(2k1)(2k22k1)k44k36k24k1(k1)4，这就是说，当nk1时，等式也成立根据(1)和(2)，可知对于任意的nN，S1S3S5S2n1n4都成立谢谢观赏！Thanks!