1、22.1条件概率填一填1.条件概率的定义：一般地，设A，B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率2条件概率的性质(1)任何事件的条件概率都在0和1之间，即0P(B|A)1.(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(BC|A)P(B|A)P(C|A).判一判判断(正确的打“”，错误的打“”)1若事件A与B互斥，则P(B|A)0.()2若事件A等于事件B，则P(B|A)1.()3P(B|A)与P(A|B)相同()4已知P(AB)，P(A)，则P(B|A)为.()5由“0”“1”组成的三位数组中，若用事件A表示“第二
2、位数字为0”，用事件B表示“第一位数字为0”，则P(A|B)等于.()6把一枚硬币任意掷两次，事件A第一次出现正面，事件B第二次出现正面，则P(B|A).()想一想1.如何判断题目是条件概率？提示：在题目条件中，若出现“在发生的条件下发生的概率”时，一般可认为是条件概率2解决条件概率问题的一般方法有哪些？提示：(1)在原样本空间中，先计算P(AB)，P(A)，再利用公式P(B|A)计算求得P(B|A)；(2)若事件为古典概型，可利用公式P(B|A)，即在缩小后的样本空间中计算事件B发生的概率3一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，每一次取后不放回若已知第一只是好的，求第
3、二只也是好的概率提示：本题可以用公式求解，也可以用缩小样本空间的方法直接求解法一(定义法)：设Ai第i只是好的(i1,2)由题意知要求出P(A2|A1)因为P(A1)，P(A1A2)，所以P(A2|A1).法二(直接法)：因事件A1已发生(已知)，故我们只研究事件A2发生便可，在A1发生的条件下，盒中仅剩9只晶体管，其中5只好的，所以P(A2|A1).P(B|A)表示事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率，与没有这个附加条件的概率是不同的也就是说，条件概率是在原随机试验的条件上再加上一定的条件，求另一事件在此“新条件”下发生的概率因此利用缩小样本空间的观点计算条件概率时，首先明确是求“在
4、谁发生的前提下谁的概率”，其次转换样本空间，即把给定事件A所含的基本事件定义为新的样本空间，显然待求事件B便缩小为事件AB，如图所示，从而P(B|A).思考感悟：练一练1.已知A与B是两个事件，P(B)，P(AB)，则P(A|B)等于()A. B.C. D.解析：由条件概率的计算公式，可得P(A|B).答案：D24张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是()A. B.C. D1解析：因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率显然是.答案：B3投掷两颗均匀的骰子，已知点数
5、不同，设两颗骰子点数之和为X，则X6的概率为_解析：设A“投掷两颗骰子，其点数不同”，B“X6”，则P(A)，P(AB)，P(B|A).答案：4某气象台统计，该地区下雨的概率为，既刮四级以上的风又下雨的概率为.设事件A为该地区下雨，事件B为该地区刮四级以上的风，则P(B|A)_.解析：由题意知P(A)，P(AB)，故P(B|A).答案：知识点一求条件概率1.现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率解析：设第1
6、次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的事件数n()A30.根据分步乘法计数原理，有n(A)AA20，所以P(A).(2)因为n(AB)A12，所以P(AB).(3)法一：由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率P(B|A).法二：因为n(AB)12，n(A)20，所以P(B|A).2抛掷红、蓝两颗骰子，记事件A为“蓝色骰子的点数为4或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”，求：(1)事件A发生的条件下事件B发生的概率；(2)事件B发生的条件下事件A发生的概率解
7、析：法一：抛掷红、蓝两颗骰子，事件总数为6636，事件A的基本事件数为6212，所以P(A).由于366345548，4664558，56658,668，所以事件B的基本事件数为432110，所以P(B).在事件A发生的条件下，事件B发生，即事件AB的基本事件数为6.故P(AB).由条件概率公式得(1)P(B|A).(2)P(A|B).法二：n(A)6212.由366345548,4664558,56658,668知n(B)10，其中 n(AB)6.所以(1)P(B|A).(2)P(A|B).知识点二条件概率性质应用3.在一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有1个红球，2个黄球，3个
8、黑球，4个白球，从中依次不放回地摸2个球，求在第一个球是红球的事件下，第二个球是黄球或黑球的概率解析：法一：设“摸出的第一个球是红球”是事件A，“摸出的第二个球是黄球”是事件B，“摸出的第二个球是黑球”是事件C，则P(A)，P(AB)，P(AC).P(B|A)，P(C|A).P(BC|A)P(B|A)P(C|A).所求的条件概率为.法二：n(A)1C9，n(BC)ACC5，P(BC|A).所求的条件概率为.4从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于()A. B.C. D.解析：P(A)，P(AB)，由条件概
9、率的计算公式得P(B|A).故选B项答案：B综合知识条件概率综合应用5.有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取1粒，则这粒种子能长成幼苗的概率为_解析：记“种子发芽”为事件A，“种子长成幼苗”为事件AB(发芽，又成活)，出芽后的幼苗成活率为P(B|A)0.8，又P(A)0.9，故P(AB)P(B|A)P(A)0.72.答案：0.726在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中4道题即可通过，至少能答对其中5道题就获得优秀已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率解析：记事件A为“该考生6道
10、题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且DABC，EAB，可知P(D)P(ABC)P(A)P(B)P(C)，P(AD)P(A)，P(BD)P(B)，P(E|D)P(A|D)P(B|D).故所求的概率为.基础达标一、选择题1下列说法正确的是()AP(B|A)P(AB)BP(B|A)是可能的C0P(B|A)x2则P(B|A)_.解析：P(A)，P(AB)，P(B|A).答案：三、解答题13某种元件用满6 000小时未坏的概率是，用
11、满10 000小时未坏的概率是.现有1个此种元件，已经用过6 000小时未坏，求它能用到10 000小时的概率解析：设A用满10 000小时未坏，B用满6 000小时未坏，显然ABA，所以P(A|B).14任意向x轴上(0,1)这一区间内掷一个点，问：(1)该点落在区间内的概率是多少？(2)在(1)的条件下，求该点落在内的概率解析：由题意知，任意向(0,1)这一区间内掷一点，该点落在(0,1)内哪个位置是等可能的，令A，由几何概率的计算公式可知(1)P(A).(2)令B，则AB，P(AB).故在A的条件下B发生的概率为P(B|A).能力提升15.有外形相同的球分装三个盒子，每盒10个其中，第一
12、个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球如果第二次取出的是红球，则称试验成功求试验成功的概率解析：设A 从第一个盒子中取得标有字母A的球B从第一个盒子中取得标有字母B的球，R第二次取出的球是红球，W第二次取出的球是白球则容易求得P(A)，P(B)，P(R|A)，P(W|A)，P(R|B)，P(W|B).事件“试验成功”表示为RARB，又事件RA与事件RB互斥，故由概率的加法
13、公式，得P(RARB)P(RA)P(RB)P(R|A)P(A)P(R|B)P(B).16根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：降水量XX300300X700700X900X900工期延误天数Y02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求：(1)工期延误天数Y的分布列；(2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率解析：(1)由已知条件和概率的加法公式有：P(X300)0.3，P(300X700)P(X700)P(X300)0.70.30.4，P(700X900)P(X900)P(X700)0.90.70.2，P(X900)1P(X900)10.90.1.所以Y的分布列为Y02610P0.30.40.20.1(2)由概率的加法公式，得P(X300)1P(X300)0.7，又P(300X900)P(X900)P(X300)0.90.30.6.由条件概率，得P(Y6|X300)P(X900|X300).故在降水量X至少是300 mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是.