1、2014-2015学年山东省莱芜市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的1在复平面内，复数对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2已知全集为R，集合A=x|x2x20，则RA=（）Ax|x1，或x2Bx|x1，或x2Cx|1x2Dx|1x23为了得到函数的图象，只需把函数y=sin2x的图象（）A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位4已知平面向量，满足|=|=2，（+2）（）=2，则与的夹角为（）ABCD5已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=f
2、（x）若当x（1，0）时，f（x）=2x，则的值为（）A0B1CD6下列说法正确的是（）A命题“pq”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题B已知xR，则“x1”是“x2”的充分不必要条件C命题“若am2bm2，则ab”的逆命题是真命题D命题“xR，x2x0”的否定是：“xR，x2x0”7同时具有性质“最小正周期是，图象关于x=对称，在上是增函数”的一个函数是（）ABCD8某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k值是（）A5B6C7D89已知等差数列an的前n项的和为Sn（nN*），且an=2n+，当且仅当n7时数列Sn递增，则实数的取值范围是（）A（16，14B（16，14）C16，
3、14）D16，1410在下面四个图中，有一个是函数f（x）=（aR，a0）的导函数f（x）的图象，则f（1）等于（）ABCD或二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共计25分11dx=12在ABC中，已知D是AB边上一点，若，则=13在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若c=，B=120，则a=14已知函数f（x）=x3ax23x，若f（x）在区间1，+）上是增函数，实数a的取值范围是15设数列an的首项a1=，前n项和为Sn，且满足2an+1+Sn=3（ nN*）则满足的所有n的和为三、解答题：本大题共6个小题，满分75分解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤16已知函数f（x
4、）=ax3+bx2，当x=1时，f（x）有极大值1（）求a，b的值；（）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值17已知向量=（sinx+cosx，2cosx），=（sinx+cosx，cosx），记f（x）=（）求函数f（x）的单调递增区间；（）若方程f（x）1=0在区间（0，）内有两个零点x1，x2，求x1+x2的值18已知等比数列an的各项均为正数，且2a1+a2=15，a42=9a1a5（）求数列an的通项公式（）设bn=log3a1+log3a2+log3an，数列的前n项和为Sn，若Sn，试求n的最小值19已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若3b=5ccosA，tanA
5、=2（）求tan C的值；（）求角B的大小20已知数列an满足a1=1，且an=2an1+2n（n2且nN*）（）求数列an的通项公式；（）设数列an的前n项和为Sn，求Sn；（）设bn=，试求数列bn的最大项21已知f（x）=xlnx，g（x）=x2+ax6（）求函数f（x）的最小值；（）对一切x（0，+），f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（）证明：对一切x（0，+），都有f（x）成立2014-2015学年山东省莱芜市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的1在复平面内，复数对应
6、的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点： 复数的代数表示法及其几何意义专题： 计算题分析： 根据所给的复数的代数形式，先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理出复数的代数形式的标准形式，写出点的坐标，看出点的位置解答： 解：复数z=1+i，复数对应的点的坐标是（1，1）复数对应的点的在第二象限，故选B点评： 本题看出复数的代数形式的运算和复数的几何意义，本题解题的关键是正确运算复数的除法运算，本题是一个基础题2已知全集为R，集合A=x|x2x20，则RA=（）Ax|x1，或x2Bx|x1，或x2Cx|1x2Dx|1x2考点： 并集及其运算专题： 集合分析：
7、求解一元二次不等式化简集合A，然后利用补集运算求解解答： 解：A=x|x2x20=x|x1或x2，则RA=x|1x2故选：C点评： 本题考查了补集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题3为了得到函数的图象，只需把函数y=sin2x的图象（）A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位考点： 函数y=Asin（x+）的图象变换专题： 三角函数的图像与性质分析： 直接利用函数的图象的平移原则求解即可解答： 解：=，为了得到函数的图象，只需把函数y=sin2x的图象向右平移个单位故选：D点评： 本题考查函数的图象的平移变换，注意左加右减以及x的系数，基本知识的考查4已知平
8、面向量，满足|=|=2，（+2）（）=2，则与的夹角为（）ABCD考点： 平面向量数量积的运算专题： 平面向量及应用分析： 设与的夹角为，由题意可得4+22cos24=2，解得cos的值，再结合0，求得的值解答： 解：设与的夹角为，由题意可得 +2b2=2，即4+22cos24=2，解得cos=再结合0，=，故选：B点评： 本题主要考查两个向量的数量积的定义，根据三角函数的值求角，属于中档题5已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=f（x）若当x（1，0）时，f（x）=2x，则的值为（）A0B1CD考点： 抽象函数及其应用专题： 函数的性质及应用分析： 由题可先研究log2（
9、4）的取值范围，利用函数的周期性与函数的奇函数的性质将的值用已知关系式表示出来，即可求出所求值解答： 解：当x（1，0）时，f（x）=2x，由题意函数y=f（x）满足f（x+2）=f（x），可得其周期是2，又log2（4）=，=f（）=f（+2）=f（）=f（）=，故选：D点评： 本题考点是函数奇函数的性质，考查了奇函数的对称性，函数的周期性，对数的去处性质，解题的关键是函数的性质，本题考察了转化的思想，本题是一个函数性质综合考查题，此类题是每年高考必考题，规律较固定，题后要好好总结6下列说法正确的是（）A命题“pq”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题B已知xR，则“x1”是“x2”
10、的充分不必要条件C命题“若am2bm2，则ab”的逆命题是真命题D命题“xR，x2x0”的否定是：“xR，x2x0”考点： 命题的真假判断与应用专题： 简易逻辑分析： 利用复数命题的真假判断A的正误；充要条件判断B的正误；逆命题的真假判断C的正误；命题的否定判断D的正误；解答： 解：对于A，命题“pq”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题，显然不正确，应该推出至少一个是真命题，所以A不正确对于B，已知xR，则“x1”不能推出“x2”，反之成立，所以前者是后者的必要不充分条件，不是充分不必要条件，所以B不正确对于C，命题“若am2bm2，则ab”的逆命题是：ab则am2bm2，逆命题显然
11、不正确，因为m=0时不成立判断为逆命题是真命题，是错误的，所以C不正确；对于D，命题“xR，x2x0”的否定是：“xR，x2x0”符号特称命题与全称命题的否定关系，是正确的，所以D正确故选：D点评： 本题考查命题的真假的判断与应用，考查充要条件，四种命题的逆否关系，复数命题的真假，命题的否定，基本知识的考查7同时具有性质“最小正周期是，图象关于x=对称，在上是增函数”的一个函数是（）ABCD考点： 正弦函数的对称性；正弦函数的单调性专题： 三角函数的图像与性质分析： 利用正弦函数与余弦函数的周期性、对称性与单调性判断即可解答： 解：对于y=f（x）=sin（2x），其周期T=，f（）=sin=
12、1为最大值，故其图象关于x=对称，由2x得，x，y=f（x）=sin（2x）在上是增函数，即y=f（x）=sin（2x）具有性质，故选：A点评： 本题考查正弦函数与余弦函数的周期性、对称性与单调性的综合应用，考查转化思想，属于中档题8某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k值是（）A5B6C7D8考点： 程序框图专题： 算法和程序框图分析： 执行程序框图，写出每次循环得到的S，k的值，当S=126，K=7时不满足条件S100，输出K的值为7解答： 解：执行程序框图，有k=1，S=0满足条件S100，S=2，K=2；满足条件S100，S=6，K=3；满足条件S100，S=14，K=4；满足条件
13、S100，S=30，K=5；满足条件S100，S=62，K=6；满足条件S100，S=126，K=7；不满足条件S100，输出K的值为7故选：C点评： 本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题9已知等差数列an的前n项的和为Sn（nN*），且an=2n+，当且仅当n7时数列Sn递增，则实数的取值范围是（）A（16，14B（16，14）C16，14）D16，14考点： 等差数列的前n项和；数列的函数特性专题： 等差数列与等比数列分析： 由等差数列的求和公式可得Sn=n2+（+1）n，利用二次函数的单调性，列不等式组即可求解解答： 解：an=2n+，a1=2+，Sn=n2+（+1）n，由二次函数的
14、性质和nN可知：6.57.5即可满足题意，解不等式可得1614故选：B点评： 本题考查等差数列的性质，涉及二次函数的性质和不等式组的解法，属基础题10在下面四个图中，有一个是函数f（x）=（aR，a0）的导函数f（x）的图象，则f（1）等于（）ABCD或考点： 函数的图象；导数的运算专题： 函数的性质及应用；导数的综合应用分析： 求出导函数，据导函数的二次项系数为正得到图象开口向上；利用函数解析式中有2ax，故函数不是偶函数，得到函数的图象解答： 解：f（x）=x2+2ax+（a21），导函数f（x）的图象开口向上又a0，f（x）不是偶函数，其图象不关于y轴对称其图象必为第四张图由图象特征知f
15、（0）=0，a21=0，且对称轴a0，a=1函数f（x）=x3x2+1，故答案为f（1）=1+1=，故选：B点评： 本题考查函数与其导函数的综合应用，三次函数与其导函数（二次函数）的关系，综合考查二次函数的应用二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共计25分11dx=（e21），考点： 定积分专题： 导数的概念及应用分析： 根据定积分的计算法则计算即可解答： 解：dx=e2x|=（e21），故答案为：（e21），点评： 本题主要考查了定积分的计算，属于基础题12在ABC中，已知D是AB边上一点，若，则=考点： 平面向量的基本定理及其意义专题： 平面向量及应用分析： 由于，可得，化为与比较即
16、可得出解答： 解：如图所示，化为，=，=，=故答案为：点评： 本题考查了向量的三角形法则、向量相等，属于基础题13在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若c=，B=120，则a=考点： 余弦定理；正弦定理专题： 解三角形分析： 利用余弦定理列出关系式，把b，c，cosB的值代入求出a的值即可解答： 解：ABC中，c=，b=，B=120，b2=a2+c22accosB，即6=a2+2+a，解得：a=，故答案为：点评： 此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键14已知函数f（x）=x3ax23x，若f（x）在区间1，+）上是增函数，实数a的取值范围是（，0
17、考点： 导数的运算分析： 先对函数f（x）=x3ax23x进行求导，转化成f（x）在1，+）上恒有f（x）0问题，进而求出参数a的取值范围解答： 解：y=3x22ax3，f（x）在1，+）上是增函数，f（x）在1，+）上恒有f（x）0，即3x22ax30在1，+）上恒成立则必有1且f（1）=2a0，a0实数a的取值范围是（，0故填：（，0点评： 主要考查函数单调性的综合运用，函数的单调性特征与导数之间的综合应用能力，把两个知识加以有机会组合15设数列an的首项a1=，前n项和为Sn，且满足2an+1+Sn=3（ nN*）则满足的所有n的和为7考点： 数列递推式；数列的函数特性专题： 等差数列与
18、等比数列分析： 根据递推数列，得到数列an是公比q=，首项a1=的等比数列，解不等式即可得到结论解答： 解：2an+1+Sn=3，2an+2+Sn+1=3，两式相减得2an+2+Sn+12an+1Sn=0，即2an+2+an+12an+1=0，则2an+2=an+1，当n=1时，2a2+a1=3，则a2=，满足2a2=a1，即2an+1=an，则即数列an是公比q=，首项a1=的等比数列，则前n项和为Sn=33（）n，=1+（）n，若，则1+（）n，即（）n，则72n17，则n=3或4，则3+4=7，故答案为：7点评： 本题主要考查递推数列的应用，根据递推数列得到数列an是公比q=，首项a1=
19、的等比数列是解决本题的关键三、解答题：本大题共6个小题，满分75分解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤16已知函数f（x）=ax3+bx2，当x=1时，f（x）有极大值1（）求a，b的值；（）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值专题： 计算题；导数的综合应用分析： （）求导，由题意可知，从而求a，b的值；（）代入a，b的值，求极值处的极值及端点值，从而求函数f（x）在区间上的最大值和最小值解答： 解：（）f（x）=ax3+bx2，f（x）=3ax2+2bx，由题意可知，解得a=2，b=3；（）由（）知，f（x）=2x3+3x2，f
20、（x）=6ax2+6x=6x（x1），令f（x）=6ax2+6x=6x（x1）=0可解得，x=0或x=1；f（）=1，f（0）=0，f（1）=1，f（2）=4；故函数f（x）在区间上的最大值是1，最小值为4点评： 本题考查了导数的综合应用及闭区间上的最值，属于中档题17已知向量=（sinx+cosx，2cosx），=（sinx+cosx，cosx），记f（x）=（）求函数f（x）的单调递增区间；（）若方程f（x）1=0在区间（0，）内有两个零点x1，x2，求x1+x2的值考点： 正弦函数的单调性；函数的零点与方程根的关系；两角和与差的正弦函数专题： 函数的性质及应用；三角函数的求值；三角函数的
21、图像与性质分析： （）首先根据向量的坐标运算求出f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x再通过恒等变换求出f（x）=，进一步利用整体思想求出单调区间（）利用上一步的结论求出零点，最后进一步求出结果解答： 解：（）已知向量=（sinx+cosx，2cosx），=（sinx+cosx，cosx），所以：f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x=，令：（kZ），解得：，所以函数f（x）的单调递增区间为：（kZ）；（）方程f（x）1=0在区间（0，）内有两个零点x1，x2所以：，即：，因为：x（0，），所以：，解得：，点评： 本题考查的知识要点：向量的坐标运算，三角函数关系式的恒等变换
22、，正弦型函数单调性的应用，函数零点的应用，属于基础题型18已知等比数列an的各项均为正数，且2a1+a2=15，a42=9a1a5（）求数列an的通项公式（）设bn=log3a1+log3a2+log3an，数列的前n项和为Sn，若Sn，试求n的最小值考点： 数列的求和；等比数列的通项公式专题： 等差数列与等比数列分析： （）设等比数列an的公比为q，由等比数列的性质、通项公式化简条件，求出q、a1的值，再求出an；（）根据对数的运算律化简bn，再求出，利用裂项相消法求出数列的前n项和为Sn，代入不等式化简后求出n的最小值解答： 解：（）设等比数列an的公比为q，由a42=9a1a5得，a42
23、=9a32，即q2=9，因为各项均为正数，所以解得q=3，由2a1+a2=15得，2a1+3a1=15，解得a1=3，所以an=3n；（）因为an=3n，所以bn=log3a1+log3a2+log3an=1+2+3+n=，则=2（），所以Sn=2（1）+（）+（）+（）=2（1）=，由解得，n39，所以n的最小值为40点评： 本题考查等比数列的性质、通项公式，对数的运算律，以及裂项相消法求出数列的前n项和，属于中档题19已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若3b=5ccosA，tanA=2（）求tan C的值；（）求角B的大小考点： 正弦定理；两角和与差的正切函数专题： 三角函数
24、的求值；解三角形分析： （）首先利用正弦的展开式求出3sinAcosC=2sinCcosA，进一步求出结论（）利用上部结论，进一步利用关系式的变换求得B的大小解答： 解：（）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若3b=5ccosA，利用正弦定理得：3sinB=5sinCcosA所以：3sin（A+C）=5sinCcosA展开解得：3sinAcosC=2sinCcosA即：3tanA=2tanC由tanA=2解得：tanC=3（）在ABC中，A+B+C=tanB=tan（A+C）=0B所以：B=点评： 本题考查的知识要点：三角函数关系的应用，正弦定理的应用，及相关的运算问题属于基础题
25、型20已知数列an满足a1=1，且an=2an1+2n（n2且nN*）（）求数列an的通项公式；（）设数列an的前n项和为Sn，求Sn；（）设bn=，试求数列bn的最大项考点： 数列递推式；数列的函数特性；数列的求和专题： 点列、递归数列与数学归纳法分析： （）根据数列的递推关系即可求数列an的通项公式；（）利用错位相减法即可求数列an的前n项和为Sn；（）求出bn=的通项公式，建立不等式关系即可试求数列bn的最大项解答： 解：（）由an=2an1+2n（n2且nN*）得，即是首项为，公差d=1的等差数列，则=，数列an的通项公式an=（2n1）2n1；（）设数列an的前n项和为Sn，求Sn；
26、an=（2n1）2n1；Sn=120+321+522+（2n1）2n1；2Sn=121+322+（2n1）2n；两式相减得Sn=1+2（21+22+2n1（2n1）2n=1+=3+（32n）2n；Sn=（2n3）2n+3（）bn=，bn（2n3）（）n，由，即，解得，即n=4，即数列bn的最大项为点评： 本题主要考查递递推数列的应用，综合考查学生的运算能力，要求熟练掌握求和的常见方法21已知f（x）=xlnx，g（x）=x2+ax6（）求函数f（x）的最小值；（）对一切x（0，+），f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（）证明：对一切x（0，+），都有f（x）成立考点： 导数在最大值、
27、最小值问题中的应用；函数恒成立问题专题： 导数的综合应用分析： （）由f（x）的定义域为（0，+），f（x）=1+lnx，利用导数性质能求出函数f（x）的最小值（）由已知得alnx+x+对x（0，+）恒成立，设h（x）=lnx+x+，则=，由此利用导数性质结合已知条件能求出实数a的取值范围（）由已知得当且仅当x=时，f（x）min=f（）=，设m（x）=，x（0，+），则m（x）=，由此利用导娄性质能证明对一切x（0，+），都有f（x）成立解答： （）解：f（x）的定义域为（0，+），f（x）=1+lnx，当x（0，）时，f（x）0，f（x）单调递减，当时，f（x）0，f（x）单调递增，当x=
28、时，f（x）min=f（）=（）解：对一切x（0，+），f（x）g（x）恒成立，即xlnxx2+ax6恒成立，即alnx+x+对x（0，+）恒成立，设h（x）=lnx+x+，则=，x（0，+），x（0，2）时，h（x）0，h（x）单调递减，当x（2，+），h（x）0，h（x）单调递增，x（0，+）时，h（x）存在唯一极小值h（2），即为最小值，h（x）min=h（2）=5+ln2，alnx+x+对x（0，+）恒成立，只需ah（x）min即可，a5+ln2（）证明：对一切x（0，+），都有f（x）恒成立，由（）可知，f（x）=xlnx在x（0，+）时，当且仅当x=时，f（x）min=f（）=，设m（x）=，x（0，+），则m（x）=，x（0，1）时，m（x）0，m（x）单调递增；当x（1，+）时，m（x）0，m（x）单调递减当且仅当x=1时，m（x）取得极大值也是最大值m（1），m（x）max=m（1）=，对一切x（0，+），都有f（x）成立点评： 本题考查函数的最小值的求法，考查实数的取值范围的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用