1、江苏省南通市如皋中学2019-2020学年高一数学下学期期初考试试题（含解析）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知中，则等于（ ）A. 60或120B. 30C. 60D. 30或150【答案】A【解析】试题分析：由正弦定理得考点：正弦定理2.已知，则下列不等式成立的是 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接利用作差比较法比较即得正确选项.【详解】=所以A选项是错误的.=所以B选项是错误的.=所以C选项是错误的.=所以D选项是正确的.【点睛】(1)本题主要考查不等式的性质和实数比较大小，意在考查学生对
2、这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)比较实数大小，常用包括比差和比商两种方法.比差的一般步骤是：作差变形（配方、因式分解、通分等）与零比下结论；比商的一般步骤是：作商变形（配方、因式分解、通分等）与1比下结论.如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差.3.等差数列中，若，则前9项和（ ）A. 1620B. 810C. 900D. 675【答案】B【解析】【分析】由得，然后利用算出答案【详解】由得，所以所以故选：B【点睛】本题考查的是等差数列的性质，较简单.4.已知不等式的解集是，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由条件求出即可【详解】因为不等式的
3、解集是所以是方程的两个根所以由韦达定理得：，解得所以不等式即为解得故选：D【点睛】本题考查的是一元二次不等式与一元二次方程的关系及一元二次不等式的解法，较简单.5.已知ABC三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=1，则B的大小为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将条件化简整理得，再通过余弦定理便可求得角B的大小【详解】解：两边同时除以得，故选B【点睛】本题考查了余弦定理的知识，解题的关键是要将题中的条件进行转化变形，变成余弦定理的形式，进而解决问题6.若且，则的最小值是（ ）A. 6B. 12C. 24D. 16【答案】D【解析】试题分析：，当且仅当时等号成立，所以最
4、小值为16考点：均值不等式求最值7.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯：A. 281盏B. 9盏C. 6盏D. 3盏【答案】D【解析】【分析】设塔的顶层共有盏灯，得到数列的公比为2的等比数列，利用等比数列的前n项公式，即可求解【详解】设塔的顶层共有盏灯，则数列的公比为2的等比数列，所以，解得，即塔的顶层共有3盏灯，故选D【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式与求和公式的应用，着重考查了推理与计算能力，属于基础题8.已知命题：“
5、在等差数列中，若，则为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为（ ）A. 17B. 18C. 19D. 20【答案】B【解析】【分析】设括号里的数为，则，因为所以要使得题目中的命题成立，则有，然后算出即可.【详解】设括号里的数为则因为所以要使得题目中的命题成立，则有解得故选：B【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及前项和的性质，较简单.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知是等差数列，其前项和为，满足，则下列四个选项中正确的有（ ）A. B. C.
6、最小D. 【答案】ABD【解析】【分析】由条件可得，然后逐一判断每个选项即可【详解】因为是等差数列，所以，所以即，即所以所以正确的有ABD故选：ABD【点睛】本题考查的是等差数列的性质及其前项和的性质，属于典型题.10.下列选项中，值为的是（ ）A. B. C. D. 【答案】AB【解析】【分析】把每个选项中的式子的值算出来即可【详解】，故A满足，故B满足，故C不满足，故D不满足故选：AB【点睛】本题考查的是三角恒等变换，解题的关键是要熟练掌握三角函数的相关公式.11.下列函数中，最小值为4的函数是（ ）A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】运用基本不等式和双勾函数的知识，把每个
7、选项中的式子的最小值算出来即可.【详解】当且仅当，即时等号成立，故A满足因为，所以根据双勾函数的知识可知当时取得最小值5，故B不满足，因为所以根据双勾函数的知识可知当时取得最小值故C不满足当且仅当即时等号成立，故D满足故选：AD【点睛】运用基本不等式求最值时要满足条件“一正二定三相等”12.在三角形中，下列命题正确有（ ）A. 若，则三角形有两解B. 若，则一定是钝角三角形C. 若，则一定是等边三角形D. 若，则形状是等腰或直角三角形【答案】BCD【解析】【分析】利用正弦定理可得A错误，由可推出，然后可得B正确，由得，然后可推出C正确，由可得，然后可推出D正确.【详解】因为，所以由正弦定理得，
8、所以角只有一个解，故A错误由，即 所以，即所以，所以，故一定是钝角三角形故B正确因为所以所以，故C正确因为所以所以因为所以，所以或所以或，所以的形状是等腰或直角三角形故选：BCD【点睛】本题考查的是正弦定理及三角形的和差公式在解三角形中的应用，属于中档题.三、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分.13.若实数满足,则函数最小值为_ .【答案】2【解析】分析：由题意可得x+40，变形可得f（x）=x+=x+4+4，由基本不等式可得详解：x4，x+40，f（x）=x+=x+4+424=2当且仅当x+4=即x=1时取等号，故答案为2点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.一
9、正：关系式中，各项均为正数；二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；三相等：含变量的各项均相等，取得最值.14.如图所示，为圆内接四边形，若，则线段_.【答案】【解析】【分析】由，及正弦定理即可解出答案【详解】因为，所以在中由正弦定理得：即，解得故答案为：【点睛】本题考查的是利用正弦定理解三角形，较简单.15.设等比数列前项和为，若.则数列的公比_.【答案】【解析】【分析】分和两种情况讨论，当时，可得，然后化简解出来即可.【详解】若，则，不满足所以所以整理得：由得即，所以解得故答案为：【点睛】本题考查的是等比数列的基本运算，较简单，但要注意讨论的情况不成立.16.若ABC的内角满
10、足，则的最小值是 【答案】【解析】试题分析：由正弦定理有,所以,由于,故,所以的最小值是.考点：1.正弦定理；2.余弦定理的推论；3.均值不等式.【思路点晴】本题主要考查了余弦定理的推论及均值不等式求最值，属于中档题.在本题中，由正弦定理把化为，再由余弦定理推论求出的表达式，还用到用均值不等式求出，再算出结果来.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知分别是的三个内角所对的边(1)若的面积，求的值；(2)若，且，试判断的形状【答案】（1）；（2）等腰直角三角形【解析】试题分析：（1）解三角形问题，一般利用正余弦定理进行边角转化.首先根据面积公式解
11、出b边，得，再由由余弦定理得：，所以，（2）判断三角形形状，利用边的关系比较直观. 因为，所以由余弦定理得：，所以，在中，所以，所以是等腰直角三角形.解：（1）， 2分，得3分由余弦定理得：， 5分所以6分（2）由余弦定理得：，所以9分在中，所以11分所以是等腰直角三角形； 12分考点：正余弦定理18.已知等差数列的前项和满足.（1）求的通项公式；（2）设求数列的前项和.【答案】（）；（）【解析】【详解】（）设等差数列的公差为，首项为，即，解得的通项公式为（）由（）得式两边同乘以，得-得考点：等差数列的通项公式，前项和公式，错位相减法19.解关于的不等式：.【答案】见解析【解析】【分析】分、五
12、种情况讨论即可.【详解】当时，原不等式等价于，所以解为，当时，当时，令得，所以当时，不等式所对应方程根为或，此时不等式的解为；当时，不等式的解为；当时，不等式的解集为；当时，原不等式等价于，不等式所对应方程的根或（且），所以不等式的解为或.综上可知：当时，解集为；当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.【点睛】解含参的一元二次不等式常从以下几个方面讨论：开口方向、根的个数、根的大小.20.根据下列条件，求数列的通项公式.（1），；（2），.（3），【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）用累加法求出即可（2）用累乘法求出即可（3）由得
13、，然后可得数列是等比数列，其中首项为，公比为10【详解】（1）由题意知，.（2）因为，所以当时，所以，以上个式子相乘得，即，所以.当时，也与已知相符，所以数列的通项公式为.（3）由，得，即.所以数列是等比数列，其中首项为，公比为10，所以，即.【点睛】本题考查的是三个常见的求通项公式的方法，较简单.21.某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为人，以后学生人数年增长率为.该校今年年初有旧实验设备套，其中需要换掉的旧设备占了一半.学校决定每年以当年年初设备数量的的增长率增加新设备，同时每年淘汰套旧设备.（1）如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年应更换的旧
14、设备是多少套？（2）依照（1）的更换速度，共需多少年能更换所有需要更换的旧设备？下列数据提供计算时参考：【答案】（1）套；（2）16年【解析】【分析】（1）10年后学生人数为，设今年起学校的合格实验设备为数列，然后可得数列是首项为，公比为的等比数列，然后求出即可算出答案.（2）根据（1）中的结果，直接算出即可【详解】（1）今年学生人数为人，则10年后学生人数为，设今年起学校的合格实验设备为数列则，令，则所以，即所以数列是首项为，公比为的等比数列所以，即所以由题意得，解得.每年应更换的旧设备为套.（2）全部更换旧设备共需年.答：（1）每年应更换的旧设备为套.（2）按此速度全部更换旧设备共需16年.【点睛】本题考查数列模型的建立，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题.22.已知为正项数列前项和，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，为数列的前项和，若对任意恒成立，求范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）当时，然后可得，即数列是首项为1，公差为1的等差数列（2），然后算出其前项和即可【详解】解：（1），当时，得.由于，所以，又当时，所以，故数列是首项为1，公差为1的等差数列，故.（2）由（1）知，即.所以.因为对任意恒成立，所以.【点睛】常见数列的求和方法：公式法（等差等比数列）、分组求和法、裂项相消法、错位相减法