1、13二项式定理13.1二项式定理课时作业7二项式定理知识点一 二项式展开式问题1.已知(1)5ab(a，b为有理数)，则ab()A44 B46 C110 D120答案D解析二项式(1)5的展开式为1C()1C()2C()3C()4C()51530304597644，所以a76，b44，ab7644120.2若(2x3)n3的展开式中共有15项，则自然数n的值为()A11 B12 C13 D14答案A解析因为(2x3)n3的展开式中共n4项，所以n415，即n11，选A.3化简(x1)55(x1)410(x1)310(x1)25(x1)_.答案x51解析注意逆用二项式定理即可原式C(x1)5C(
2、x1)4C(x1)3C(x1)2C(x1)C1(x1)151x51.知识点二 求展开式的特定项4.二项式(a2b)8的展开式的第3项为()A1792a3b5 B448a5b3C1792a2b6 D112a6b2答案D解析二项式(a2b)8的展开式的第3项为T3Ca6(2b)2112a6b2，选D.5.6的展开式的常数项是()A20 B20 C40 D40答案B解析6的展开式的通项为Tr1(1)rC262rx62r，令62r0，得r3，故常数项为(1)3C20.知识点三 二项式系数与项的关系6.二项式(1)6的展开式中有理项系数之和为()A64 B32 C24 D16答案B解析二项式(1)6的展
3、开式的通项为Tr1Cx，令为整数，可得r0,2,4,6，故展开式中有理项系数之和为CCCC32，故选B. 7设6的展开式中x3的系数为a，二项式系数为b，则的值为_答案4解析6的展开式的通项是Cx6kkC(2)kx6，根据题意得63，k2，因此，x3的系数为a60，二项式系数为bC15，因此，4.8在8的展开式中，求：(1)第5项的二项式系数及第5项的系数；(2)倒数第3项解(1)T5C(2x2)844C24x，第5项的二项式系数是C70，第5项的系数是C241120.(2)解法一：展开式中的倒数第3项即为第7项，T7C(2x2)866112x2.解法二：在8展开式中的倒数第3项就是8展开式中
4、的第3项，T3C82(2x2)2112x2.一、选择题1二项式5的展开式中的常数项为()A80 B80 C40 D40答案B解析二项式5的展开式的通项为Tr1C(x3)5rr(1)r2rCx155r，令155r0，得r3，所以常数项为T4(1)323C80，选B.2()12的展开式中，含x的正整数次幂的项共有()A4项 B3项 C2项 D1项答案B解析Tk1C()12k()kCxxCx.要使6为正整数，则k0,6,12. 3.5(x0)的展开式中，x3的系数为10，则实数a等于()A1 B. C1 D2答案D解析Tr1Cx5rrCx52rar，令52r3，得r1，Ca10，a2.4在二项式n的
5、展开式中，前三项的系数成等差数列，则该二项式展开式中x2项的系数为()A2 B4 C1 D16答案C解析由题意可得2n、C2n1、C2n2成等差数列，2C2n12nC2n2，解得n8.故展开式的通项公式为Tr1C28rx，令42，求得r8，故该二项式展开式中x2项的系数为C201. 5已知n的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是()A1 B1 C45 D45答案D解析由题知第三项的系数为C(1)2C，第五项的系数为C(1)4C，则有，解之得n10，由Tr1Cx202rx (1)r，当202r0时，即当r8时，常数项为C(1)8C45，选D.二、填空题6如果n的展开式中，x2项
6、为第三项，则自然数n_.答案8解析Tk1C()nkkCx，由题意知k2时，2，n8.79192被100除所得的余数为_答案81解析解法一：9192(1009)92C10092C100919C1009092C992，展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数992(101)92C1092C1091C102C101，前91项均能被100整除，后两项和为919，因余数为正，可从前面的数中分离出1000，结果为100091981，故9192被100除可得余数为81.解法二：9192(901)92C9092C9091C902C90C.前91项均能被100整除，剩下两项和为92901
7、8281，显然8281除以100所得余数为81.8若nN*，(1)nanbn(an，bnZ)，则a5b5的值为_答案12解析当n5时，(1)5CC()C()2C()3C()4C()51520202044129，a5b5294112.三、解答题9求证：122225n1(nN*)能被31整除证明122225n125n132n1(311)n1C31nC31n1C31C131(C31n1C31n2C)，显然C31n1C31n2C为整数，原式能被31整除10记n的展开式中第m项的系数为bm.(1)求bm的表达式；(2)若n6，求展开式中的常数项；(3)若b32b4，求n.解(1)n的展开式中第m项为C(2x)nm1m12n1mCxn22m，所以bm2n1mC.(2)当n6时，n的展开式的通项为Tr1C(2x)6rr26rCx62r.依题意，62r0，得r3，故展开式中的常数项为T423C160.(3)由(1)及已知b32b4，得2n2C22n3C，从而CC，即n5.11已知n的展开式的前三项系数的和为129，这个展开式中是否存在有理项？如没有，说明理由；如有，求出有理项解Tr1C()nrrC2rx (r0,1,2，n)，依题意有C2C22C129，解得n8(n8舍去)，Tr1C2rx，且0r8，rN*.又4r，当r0或r6时，Z，即展开式中存在有理项，它们是T1x4，T7C26x1.
