1、天津市第八中学2020-2021学年高二数学上学期第三次统练试题（含解析）时间：90分钟；满分100分注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I卷（满分27分）一、选择题（本大题共9小题，共27分）1. 双曲线的焦点坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】将方程整理成标准形式可得双曲线的基本量，进一步可得焦点坐标.【详解】由得：，所以焦点坐标.故选:C【点睛】此题考查由双曲线的标准方程求基本量的方法，属于基础题.2. 抛物线的焦点坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将抛物线方程，转化为标准方程求解.【详解】因
2、为抛物线的标准方程是，所以抛物线的焦点坐标是故选：D3. 已知数列则是它A 第项B. 第项C. 第项D. 第项【答案】B【解析】【分析】由数列的前几项可得其一个通项公式，由此可求是它的第项.【详解】已知数列则数列的一个通项公式为 则 故选B.【点睛】本题考查由数列的前几项写出数列的一个通项公式，属基础题.4. 等比数列中，若，则公比（ ）A. B. C. 2D. 4【答案】B【解析】【分析】设等比数列的首项为，公比为，由题可得：，解方程组即可【详解】设等比数列的首项为，公比为由题可得：，解得：故选B【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及计算能力，属于基础题5. 已知等差数列的前项和为，若，
3、则（ ）A. B. 4C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式展开，求解即可.【详解】由，得，解得.又，所以.故选：C.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，考查运算求解能力，属于基础题目.6. 【陕西省西安市长安区第一中学上学期期末考】已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意结合双曲线的渐近线方程可得：，解得：，双曲线方程为：.本题选择D选项.【考点】 双曲线的标准方程【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最
4、基础的方法就是依据题目的条件列出关于的方程，解方程组求出，另外求双曲线方程要注意巧设双曲线（1）双曲线过两点可设为，（2）与共渐近线的双曲线可设为，（3）等轴双曲线可设为等，均为待定系数法求标准方程.7. 过抛物线C：y24x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MNl，则M到直线NF的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】联立方程解得M(3，)，根据MNl得|MN|MF|4，得到MNF是边长为4的等边三角形，计算距离得到答案.【详解】依题意得F(1,0)，则直线FM的方程是y(x1)由得x或x3.由M在x轴的上方得M(3，)，由
5、MNl得|MN|MF|314又NMF等于直线FM的倾斜角，即NMF60，因此MNF是边长为4的等边三角形点M到直线NF的距离为故选：C.【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.8. 数列中,且,则当前项和最小时,的值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由,且可知是首项为负,公差为正数的等差数列,故要前项和最小,则 ,再求得通项公式代入即可.【详解】由,且知是以-15为首项,2为公差的等差数列,故,所以当最小时,又,所以故选C【点睛】本题主要考查首项为负,公差为正数的等差数列的前项和最小值的问题,只需列出求解即可.属于基础题型.9. 九章
6、算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，丙所得为（ ）A. 钱B. 1钱C. 钱D. 钱【答案】B【解析】【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a2d，ad，a，a+d，a+2d，由题意求得a6d，结合a2d+ad+a+a+d+a+2d5a5即可得解【详解】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a2d，ad，a，a+d，a+2d，则由题意可知，
7、a2d+ada+a+d+a+2d，即a6d，又a2d+ad+a+a+d+a+2d5a5，a1，故选B.【点睛】本题主要考查了等差数列的应用，属于基础题.第II卷（满分73分）二、填空题（本大题共6小题，共24分）10. 若抛物线上一点M到其焦点的距离等于2，则M到其顶点的距离等于_.【答案】【解析】【分析】根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得的值，代入抛物线方程求得值，即可得到所求点的坐标，从而求得其到原点的距离【详解】解：抛物线方程为，焦点为，准线为，抛物线上一点到焦点的距离等于2，根据抛物线定义可知到准线的距离等于2，即，解之得，代入抛物线方
8、程求得，点坐标为：，故其到顶点的距离为，故答案为：【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质在涉及焦点弦和关于焦点的问题时常用抛物线的定义来解决，属于基础题11. 已知P为双曲线C：右支上一点，分别为C的左、右焦点，且线段，分别为C的实轴与虚轴.若，成等比数列，则_.【答案】6【解析】【分析】根据双曲线方程，可得实轴，虚轴，的长，再根据，成等比数列，求出的值，最后根据双曲线的定义求出的值.【详解】解：，成等比数列， 解得，故答案为：【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.12. 设等比数列的前项和为，若，则_【答案】63【解析】因为等比数列，所以也成等比数列，即，填63.13. 数列的前
9、项和为，已知，则_【答案】【解析】【分析】根据公式，当时，当时，写成分段函数形式.【详解】当时，当时，.故答案为：【点睛】此题考查通过数列前项和为求通项公式，常用分段求解，此题的易漏点在于直接利用，忽略掉了这一限制范围.14. 已知数列、均为等差数列，且前n项和分别为和，若，则_【答案】【解析】【分析】根据等差数列中等差中项的性质，将所求的，再由等差数列的求和公式，转化为，从而得到答案.【详解】因为数列、均为等差数列所以【点睛】本题考查等差中项的性质，等差数列的求和公式，属于中档题.15. 已知双曲线C：的左焦点为F，过F且与C的一条渐近线垂直的直线l与C的右支交于点P，若A为PF的中点，且为
10、坐标原点，则C的离心率为_.【答案】【解析】【分析】设双曲线的右焦点为，设直线l与渐近线交于，可求出，由椭圆定义可得，在直角三角形中，即可求出，得出离心率.【详解】如图所示，设双曲线的右焦点为，不妨设直线l与渐近线交于，在直角三角形中，由点到直线的距离可得，为的中位线，则在直角三角形中，化简得，.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，解题的关键是正确利用直角三角形的性质和椭圆的定义表示出各线段长度，得到.三、解答题（本大题共5小题，共49分）16. 已知数列是公比为2的等比数列，且成等差数列 （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和【答案】（1）；（2）【解析】【分析】【详解
11、】（1）由题意可得，即，解得：，数列的通项公式为（2），=17. 已知抛物线的顶点为,准线方程为（1）求抛物线方程；（2）过点且斜率为的直线与抛物线交于两点，求的面积【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据抛物线的准线方程求得的值，进而求得抛物线方程.（2）设出直线的方程，联立直线的方程和抛物线方程，写出韦达定理，求得的长，利用三角形面积公式求得的面积.【详解】解（1）的准线，（2）设直线方程为，则，=【点睛】本小题主要考查已知抛物线的准线求抛物线方程，考查直线和抛物线相交所得弦长的计算以及与抛物线有关的三角形面积的计算，属于中档题.18. 已知数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项.
12、（2）设，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用可得，即数列是首项为2，公比为2的等比数列，即可得出通项公式；（2）利用错位相减法可求出.【详解】解：（1），两式相减得：，即，因为，又，因为，所以当时也成立，数列是首项为2，公比为2的等比数列，.，两式相减得：，.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于结构，利用分组求和法；（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.19. 已知双曲线，过点，离心率为.（1）求双曲线C标准方程；（
13、2）已知点，过点N的直线交双曲线C于A、B两点，且求直线AB的方程【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由离心率可得关系，再将点代入可求出方程；（2）设直线AB为，联立直线与双曲线方程，得出，由题可得是AB的中点，建立方程可求.【详解】解：（1）由题意得，即，则，双曲线方程为，将点代入，得，得，双曲线方程.由题意知直线AB的斜率存在.设直线AB：，代入，得令，则、是方程的两根，且.，是AB的中点，直线AB的方程为.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所
14、求问题或题中关系转化为形式；（5）代入韦达定理求解.20. 已知各项均为正数的等比数列满足：，.（1）设，求证：数列是等差数列；（2）设数列的前n项和为，若，求n的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）10.【解析】【分析】（1）先求出等比数列的公比，即可利用定义判断是等差数列；（2）利用裂项相消法求出，即可解出不等式.【详解】解：（1）证明：设等比数列的公比为q，由已知得.数列是各项均为正数的等比数列，.又，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，.，.，即，即n的最小值为10.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于结构，利用分组求和法；（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.