1、6 距离的计算01课前 自主梳理02课堂 合作探究03课时 跟踪训练一、点到直线的距离1定义：点A是直线l外一定点作AAl，垂足为A，则点A到直线l的距离d等于2求法设l是过点P平行于向量s的直线，A是直线l外一定点，则点A到直线l的距离d，其中s0 s|s|.线段AA的长度|PA|2|PAs0|2二、点到平面的距离1定义：A是平面外一定点，作AA，垂足为A，则点A到平面的距离d等于2求法设是过点P垂直于向量n的平面，A是平面外一定点，则点A到平面的距离d|PAn0|，其中n0.线段AA的长度n|n|3求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离由于 n|n|
2、n0可以视为平面的单位法向量，所以点到平面的距离实质就是平面的单位法向量与从该点出发的斜线段向量的数量积的绝对值，即d.|AB n0|疑难提示如图，点到平面的距离的求法BO平面，垂足为O，则点B到平面的距离就是线段BO的长度若AB是平面的任意一条斜线段，则在RtBOA中，|BO|B A|cosABO|B A|B ABO|B A|BO|B ABO|BO|.如果令平面的法向量为n，考虑到法向量的方向，可以得到B点到平面的距离为|BO|A Bn|n|.因此要求一个点到平面的距离，可以分以下几步完成：(1)求出该平面的一个法向量；(2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量想一想1如何求线面距，
3、面面距？提示：如果l，求l到的距离可以转化为求直线l上一点P到平面的距离，即由点到平面的距离来求；如果，求与之间的距离可以转化为求平面上任意一点P到平面的距离，即由点到平面的距离来求练一练2以下说法错误的是()A两平行平面之间的距离就是一个平面内任意一点到另一个平面的距离B点P到平面的距离公式是d PA n|n|，其中A为平面内任意一点，n为平面的一个法向量C点P到直线l的距离公式是d PA a|a|，其中A为直线l上任意一点，a为与直线l垂直的向量D异面直线l1与l2，在l1上任取一点P，在l2上任取一点Q，则|PQ|的最小值就是l1与l2的距离解析：选项C中，只有当a与直线l及PA共面时，
4、此公式才成立答案：C探究一 求点到直线的距离典例1 棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱C1C和D1A1的中点，求点A到直线EF的距离解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)EF(1，2,1)，AF(1,0,2)，AF 在EF 上的投影为AF EF|EF|16，点A到直线EF的距离为d|AF|2|AF EF|EF|2 1746.求点到直线的距离的方法(1)几何法：找到P在直线l上的投影P.在某一个三角形中求线段PP的长度(2)向量法：在直线l上任取一点P.求直线l的方向向量s0.d|PA|2|PAs0|2，其中s0 s|
5、s|.1已知棱长为1的正方体ABCDEFGH，若点P在正方体内部且满足AP34AB 12AD23AE，则点P到AB的距离为()A.56 B.18112C.10 306D.56解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则 AP 34(1,0,0)12(0,1,0)23(0,0,1)34，12，23.又AB(1,0,0)，AP 在AB 上的投影为APAB|AB|34，点P到AB的距离为|AP|2APAB|AB|256.答案：A2.如图，在空间直角坐标系中，有长方体ABCD-ABCD，AB2，BC3，AA4，求点B到直线AC的距离解析：因为AB2，BC3，AA4，所以B(2,0,0)，C(2,3,0)，A
6、(0,0,4)CA(0,0,4)(2,3,0)(2，3，4)CB(2,0,0)(2,3,0)(0，3,0)所以CB 在CA 上的投影为CB CA|CA|(0，3,0)2，3，4223242(0，3,0)(229，329，429)0229(3)3290 429 929，所以点B到直线AC的距离为d|CB|2|CB CA|CA|232 92926 14529.探究二 求点到平面的距离典例2 如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，ABC 4.OA底面ABCD，OA2，M为OA的中点(1)求异面直线AB与MD夹角的大小；(2)求点B到平面OCD的距离解析 作APCD于点P.如图，
7、以A为坐标原点，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系则A(0,0,0)，B(1,0,0)，P(0，22，0)，D(22，22，0)，O(0,0,2)，M(0,0,1)(1)设AB和MD的夹角为，AB(1,0,0)，MD(22，22，1)，cos|AB MD|AB|MD|12.3.异面直线AB与MD的夹角的大小为3.(2)OP(0，22，2)，OD(22，22，2)，设平面OCD的法向量为n(x，y，z)，则nOP 0nOD 0，得 22 y2z0 22 x 22 y2z0.取z 2，解得n(0,4，2)，设点B到平面OCD的距离为d.OB(1,0，2)，d|OB n|
8、n|23，点B到平面OCD的距离为23.用向量法求平面外一点A到平面的距离的步骤：(1)计算平面的法向量n及n0；(2)在平面上找一点P，计算PA；(3)由公式计算d|PAn0|.利用这种方法求点到平面的距离，不必作出垂线段，只需求出垂线段对应的向量和平面的法向量，代入公式求解即可3如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD平面ABCD，且PD1，E，F分别为AB，BC的中点(1)求点D到平面PEF的距离；(2)求直线AC到平面PEF的距离解析：(1)以D为坐标原点，DA，DC，DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示则D(0,0,0)，P(0,0,1)，E1，12，0，
9、F12，1，0，EF 12，12，0，PE1，12，1，DE 1，12，0，设平面PEF的法向量为n(x，y，z)，则nEF 0nPE0，所以12x12y0 x12yz0.令x2，则y2，z3，所以n(2,2,3)为平面PEF的一个法向量，所以点D到平面PEF的距离为|DE n|n|21|4493 1717.(2)由(1)，知A(1,0,0)，所以AE 0，12，0.点A到平面PEF的距离为|AE n|n|117 1717.因为AC平面PEF，所以直线AC到平面PEF的距离为 1717.4.如图，已知ABC是以ABC为直角的直角三角形，SA平面ABC，SABC2，AB4，M，N，D分别是SC，
10、AB，BC的中点，求A到平面SND的距离解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则N(0,2,0)，S(0，0,2)，D(1,4,0)，NS(0，2,2)，SD(1,4，2)设平面SND的法向量为n(x，y,1)nNS 0，nSD 0，2y20，x4y20.x2y1，n(2,1,1)AS(0,0,2)A到平面SND的距离为|nAS|n|26 63.探究三 空间距离的向量解法空间向量与空间距离 求几何体中两点间的距离 求异面直线间的距离 求直线到平面的距离 求两平行平面间的距离5如图，已知二面角-AB-的平面角为120，AC在内，BD在内，且ACAB，BDAB，ABACBDa，则CD的长是()Aa
11、B2aC3aD4a解析：因为CD CA AB BD，所以|CD|2(CA AB BD)(CA AB BD)|CA|2|AB|2|BD|22(CA AB CA BD AB BD)a2a2a22a2cos 604a2，所以|CD|2a，即CD2a.答案：B6如图，BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，AB2 3，求点A到平面MBC的距离解析：如图，取CD的中点O，连接OB，OM.因为BCD与MCD均为正三角形，所以OBCD，OMCD.又平面MCD平面BCD，所以MO平面BCD.以O为坐标原点，直线OC，BO，OM分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxy
12、z.因为BCD与MCD都是边长为2的正三角形，所以OBOM3，则C(1,0,0)，M(0,0，3)，B(0，3，0)，A(0，3，2 3)，所以BC(1，3，0)，BM(0，3，3)设平面MBC的法向量为n(x，y，z)，由nBCnBM，得nBC 0nBM 0，即x 3y03y 3z0，取x 3，可得平面MBC的一个法向量为n(3，1,1)又BA(0,0,2 3)，所以点A到平面MBC的距离为|BA n|n|2 155.7在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为直角梯形，ABCD且ADC90，AD1，CD 3，BC2，AA12，E是C1C的中点求A1B1与平面ABE的距离解析：如图所示，
13、以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A1(1,0,2)，A(1,0,0)，E(0，3，1)，C(0，3，0)，过C作AB的垂线交AB于F，易得BF 3，B(1,2 3，0)，AB(0,2 3，0)，BE(1，3，1)设平面ABE的法向量为n(x，y，z)，则由 nAB 0，nBE 0，得2 3y0，x 3yz0，y0，xz，不妨取n(1,0,1)AA1(0,0,2)，A1B1到平面ABE的距离为d|AA1 n|n|22 2.转化思想在空间距离问题中的应用典例 在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1
14、、B1C1、C1D1的中点，求平面AMN与平面EFDB的距离解析 如图以D为原点建立空间直角坐标系，取BD中点G，连接GE，易知 MN EF，AM GE.所以平面AMN平面EFDB，N(12，0,1)，A(1,0,0)，M(1，12，1)，则NM(12，12，0)，AM(0，12，1)，设平面AMN的法向量为n(x，y,1)，所以 nNM 0，nAM 0，即12x12y0，12y10，所以x2，y2.所以n(2，2,1)，n0(23，23，13)，AB(0,1,0)所以平面AMN与平面EFDB的距离d|AB n0|23.感悟提高 转化思想是解决数学问题的基本思想，它将新的问题转化为已知问题；将抽象的问题转化为直观问题；将复杂问题转化为一个或几个简单问题，最终将不易解决的问题转化为易于解决的问题03课时 跟踪训练