1、1.3.1函数的单调性与导数(2)填一填1.利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式2导数法判断和证明函数f(x)在区间(a，b)内的单调性的步骤：(1)求f(x)；(2)确定f(x)在区间(a，b)内的符号(如果含有参数，则依据参数的取值讨论符号)；(3)得出结论：f(x)0时函数f(x)为增函数，f(x)0.()2若f(x)0在区间a，b上恒成立，则f(x)在区间a，b上单调递增()3若函数f(x)ax31在R上是减函数，则a0.()4已知函数f(x)ln x，则f(2.7
2、)f(e)f()()5当a1时，函数ysin xax在R上单调递增()6当1k2时，函数f(x)2x2ln x在区间(k1，k1)上不单调()72axexx1恒成立，可转化为a恒成立()8在区间(0，)上，sin x与x的大小关系是sin x0”是“f(x)在R上单调递增”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：f(x)x3ax4，f(x)x2a，若a0，则f(x)0恒成立，f(x)在R上单调递增，充分性成立；反之，a0时，f(x)在R上单调递增，必要性不成立，故选A.答案：A2函数f(x)(a0)的单调递增区间是()A(，1) B(1,1)C(1，) D(
3、，1)或(1，)解析：f(x)(a0)，f(x)，由f(x)0，得x210，1xf(e)f(3) Bf(3)f(e)f(2)Cf(3)f(2)f(e) Df(e)f(3)f(2)解析：f(x)的定义域为(0，)，由f(x)，得f(x)，由f(x)0，得0xe；由f(x)e，函数f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，f(x)maxf(e)，又f(2)f(3)0，f(2)f(3)f(2)，故选D.答案：D4若函数f(x)2ax36x27在(0,2内是减函数，是实数a的取值范围是_解析：f(x)2ax36x27在(0,2内是减函数，f(x)6ax212x0在(0,2内恒成立，即a在(
4、0,2内恒成立，又min1，a1，即实数a的取值范围是(，1答案：(，1知识点一利用单调性比较大小1.定义在R上的函数f(x)，g(x)的导函数分别为f(x)，g(x)且f(x)g(x)则下列结论一定成立的是()Af(1)g(0)g(1)f(0)Cf(1)g(0)g(1)f(0)Df(1)g(0)g(1)f(0)解析：令h(x)f(x)g(x)，f(x)g(x)，h(x)f(x)g(x)0，h(x)是R上的减函数，h(1)h(0)，即f(1)g(1)f(0)g(0)，f(1)g(0)g(1)f(0)，故选A.答案：A2已知函数f(x)x，若f(x1)x2 Bx1x20Cx1x2 Dx0时，f(
5、x)0，f(x)在(0，)上单调递增，f(x1)f(x2)，f(|x1|)f(|x2|)，|x1|x2|，x0在(0，)上均成立，f(x)的增区间为 (0，)，不符合题意，所以a0，由得x，即函数f(x)的增区间为(，)，所以2，解得a4，故选C.答案：C4若函数f(x)exax在0,1上单调递减，则实数a的取值范围是_解析：函数f(x)exax在0,1上单调递减，f(x)exa0在0,1上恒成立，aex在0,1上恒成立，a(ex)max，又函数yex在0,1上单调递增，(ex)maxe，ae，即实数a的取值范围是e，)答案：e，)知识点三含参函数的函数的单调性5.若函数f(x)x(bR)的导
6、函数在区间(1,2)上有零点，则f(x)在下列区间上单调递增的是()A(2,0) B(0,1)C(1，) D(，2)解析：f(x)x，f(x)1，函数f(x)x(bR)的导函数在区间(1,2)上有零点，当10时，bx2，又x(1,2)，b(1,4)由f(x)0得x，即函数f(x)的单调增区间为(，)，(，)b(1,4)，(，2)符合题意，故选D.答案：D6已知函数f(x)ln xax2(2a)x，讨论f(x)的单调性解析：函数f(x)的定义域为(0，)f(x)2ax(2a).(1)当a0时，f(x)0，所以函数f(x)在(0，)上单调递增；(2)当a0时，由f(x)0，得x，当x时，f(x)0
7、，所以函数f(x)在上单调递增；当x时，f(x)0时，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减.综合知识函数单调性的综合应用7.已知定义在R上的可导函数f(x)满足f(x)3x21，不等式x3x1f(x)x3x2的解集为x|1x1，则f(1)f(1)_.解析：令g(x)f(x)x3x，则g(x)f(x)3x21，f(x)3x21，g(x)0时，证明不等式ln(x1)xx2.证明：令f(x)ln(x1)xx2，则f(x)1x.x0，0，即f(x)0，当x0时，函数f(x)单调递增，f(x)f(0)0，当x0时，ln(x1)xx2.基础达标一、选择题1“a1”是“函数f(x)axsin x在R上是增
8、函数”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：由函数f(x)axsin x是增函数，得f(x)acos x0恒成立，a(cos x)max，又(cos x)max1，a1，“a1”是“函数f(x)axsin x在R上是增函数”的充分不必要条件，故选A.答案：A 2已知函数f(x)的定义域为R，f(x)为其导函数，函数yf(x)的图象如图所示，且f(2)1，f(3)1，则不等式f(x26)1的解集为()A(3，2)(2,3)B(，)C(2,3)D(，)(，)解析：由导函数yf(x)的图象知，当x0；当x0时，f(x)1可化为2x263，解得3x2或2x3，故选
9、A.答案：A3已知函数f(x)在(2，)内单调递减，则实数a的取值范围为()A.B.C. D.解析：函数f(x)在(2，)内单调递减，f(x)0在(2，)上恒成立，2a10，解得a，又当a时，f(x)0恒成立，不符合题意，舍掉，ax，则下列关系成立的是()Af(2)2f(1) B3f(2)2f(3)Cef(e)f(e3)解析：函数f(x)在区间(0，)上单调递减，f(x)x，f(x)0)，则g(x)0，g(x)在区间(0，)上单调递增，g(e)g(e2)，即，ef(e)0的解集是()A. B.C(，3) D(3，)解析：f(x)xsin x，f(x)xsin(x)xsin xf(x)，函数f(
10、x)为奇函数，又f(x)1cos x0，函数f(x)为增函数，又不等式f(x1)f(22x)0可化为f(x1)f(22x)f(2x2)，x12x2，解得x0的解集是(，3)，故选C.答案：C7已知函数f(x)在定义域(，)上是单调增函数，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.解析：由于函数f(x)在定义域(，)上是单调增函数，所以2aea，解得a，排除A，D，当a2时，x1可得ex2x2e2；2aln x4e2，显然不成立，排除B，故选C.答案：C二、填空题8若函数f(x)x3ax5的单调递减区间是(2,2)，则实数a的值为_解析：f(x)3x2a，依题意3x2a0，所以a0.a的取值范
11、围是(0，)答案：(0，)10已知函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f(x)2，则f(x)2x4的解集为_解析：令g(x)f(x)2x4，则g(x)f(x)2，f(x)2，g(x)0，函数g(x)是R上的增函数，f(1)2，g(1)f(1)2(1)40，由f(x)2x4，得f(x)2x40，即g(x)0g(1)，x1，故f(x)2x4的解集为x|x1答案：x|x111若函数f(x)ln xax22x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是_解析：f(x)的定义域为(0，)，f(x)ax2，函数f(x)存在单调递减区间，f(x)0在(0，)上有解，即ax20在(0，)上有解，a在(
12、0，)上有解，amin，又211，当a1时，f(x)x20恒成立，不符合题意，舍去，实数a的取值范围是(1，)答案：(1，)12已知函数f(x)ax(b0)的图象在点P(1，f(1)处的切线与直线x2y10垂直，且函数f(x)在区间上是单调递增的，则b的最大值等于_解析：函数f(x)ax(b0)的导数为f(x)a，在点P(1，f(1)处的切线斜率为kab，由切线与直线x2y10垂直，可得kab2，即ab2，由函数f(x)在区间上单调递增可得a0在区间上恒成立，即有(x2)min，由x可得x2的最小值为，即有，由b0，可得b，则b的最大值为.答案：三、解答题13若函数f(x)x3bx2cxd的单
13、调减区间为(1,3)，求b和c的值解析：f(x)3x22bxc，函数f(x)的单调区间为(1,3)，1和3是f(x)0的两根，由根与系数的关系，得解得14讨论函数f(x)(1x1，b0)的单调性解析：依题意，函数f(x)的定义域为(1,1)，且函数f(x)是奇函数，所以只需讨论函数在(0,1)上的单调性，因为f(x)当0x0，(x21)20，所以当b0时，f(x)0，所以函数f(x)在(0,1)上单调递减；当b0，所以函数f(x)在(0,1)上单调递增又函数f(x)是奇函数，且f(0)0，结合奇函数的图象关于原点对称，可知：当b0时，函数f(x)在(1,1)上单调递减；当b0时，函数f(x)在
14、(1,1)上单调递增能力提升15.已知函数yax与y在区间(0，)内都是减函数，确定函数yax3bx25的单调区间解析：函数yax与y在区间(0，)内都是减函数，a0，b0，由yax3bx25，得y3ax22bx，由y0得x10，x20，a0；当x(0，)时，y0，函数yax3bx25的单调递增区间为，单调递减区间为，(0，)16已知f(x)aexx1.(1)求f(x)的单调区间；(2)是否存在a，使f(x)在(，0上单调递减，在0，)上单调递增？若存在，求在a的值；若不存在，请说明理由解析：(1)因为f(x)aex1，当a0时，有f(x)0时，令f(x)0，得ex，有xln af(x)0，得ex，解得x0时，f(x)的单调递增区间是ln a，)，单调递减区间是(，ln a)(2)f(x)aex1.若f(x)在(，0上单调递减，则aex10在(，0上恒成立，即a，而当x(，0时，1，所以a1；若f(x)在0，)上单调递增，所以aex10在0，)上恒成立即a，而当x0，)时，1，所以a1.综上可得a1，故存在a1满足条件