1、第五节椭圆第1课时椭圆及其性质最新考纲1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质1椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)若ac，则集合P为椭圆(2)若ac，则集合P为线段(3)若ac，则集合P为空集2椭圆的标准方程和几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形范围axa，bybbxb，aya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：
2、原点顶点坐标A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)焦点坐标F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)性质半轴长长半轴长为a，短半轴长为b离心率e，且e(0,1)a，b，c的关系c2a2b21过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为，过焦点最长弦为长轴2过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b.3与椭圆1(ab0)有公共焦点的椭圆方程为1(b2)4焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的PF1F2叫做焦点三角形若F1PF2，则(1)|PF1|PF2|2a.(2)4c2
3、|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos .(3)SPF1F2|PF1|PF2|sin ，当|y0|b，即P为短轴端点时，SPF1F2取最大值，为bc.(4)焦点三角形的周长为2(ac)(5)已知过焦点F1的弦AB，则ABF2的周长为4a.一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆()(3)1(ab)表示焦点在y轴上的椭圆()(4)1(ab0)与1(ab0)的焦距相等()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1设P是椭圆1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|PF2
4、|等于()A4B5C8D10D依椭圆的定义知：|PF1|PF2|2510.2已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则椭圆C的方程是()A.1 B.1C.1 D.1D设椭圆的标准方程为1(ab0)因为椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率e，所以解得故椭圆C的标准方程为1.3过点A(3，2)且与椭圆1有相同焦点的椭圆的方程为()A.1 B.1C.1 D.1A设所求椭圆的方程为1(4)，则有1，解得6，故所求椭圆方程为1.4已知点P是椭圆1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为 或设P(xP，yP)，xP0，由题意知|F1F2|2.则
5、SPF1F2|F1F2|yP|1，解得|yP|1.代入椭圆的方程，得1，解得x，因此点P的坐标为或.考点1椭圆的定义及应用利用定义求方程、焦点三角形及最值的方法求方程通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点P满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程求焦点三角形利用定义求焦点三角形的周长和面积解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理其中|PF1|PF2|2a两边平方是常用技巧求最值抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到基本不等式求|PF1|PF2|的最值；利用定义|PF1|PF2|2a转化或变形，借助三角形性质求最值(1)已知两圆C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y
6、29，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.1B.1C.1 D.1(2)如图，椭圆1(a2)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上的一点，若F1PF260，那么PF1F2的面积为()A. B.C. D.(3)设F1，F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|PF1|的最小值为 (1)D(2)D(3)5(1)设圆M的半径为r，则|MC1|MC2|(13r)(3r)168|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且 2a16,2c8，故所求的轨迹方程为1.(2)由题意知|PF1|PF2|2a，|F
7、1F2|24a216，由余弦定理得4a216|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，即4a216(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|，|PF1|PF2|，SPF1F2|PF1|PF2|sin 60，故选D.(3)由题意知，点M在椭圆外部，且|PF1|PF2|10，则|PM|PF1|PM|(10|PF2|)|PM|PF2|10|F2M|10.(当且仅当点P，M，F2三点共线时等号成立)又F2(3,0)，则|F2M|5.|PM|PF1|5，即|PM|PF1|的最小值为5.解答本例T(3)的关键是差式(|PM|PF1|)转化为和式|PM|PF2|10.而转化的依据为|PF1
8、|PF2|2a.1.已知A(1,0)，B是圆F：x22xy2110(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为()A.1 B.1C.1 D.1D由题意得|PA|PB|，|PA|PF|PB|PF|r2|AF|2，点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，且a，c1，b，动点P的轨迹方程为1，故选D.2已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若AF1B的周长为12，则椭圆C的标准方程为()A.y21 B.1C.1 D.1D由椭圆的定义，知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，所以AF1B的周长为|AF1|AF2
9、|BF1|BF2|4a12，所以a3.因为椭圆的离心率e，所以c2，所以b2a2c25，所以椭圆C的方程为1，故选D.3已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1PF2，若PF1F2的面积为9，则b .3设|PF1|r1，|PF2|r2，则 所以2r1r2(r1r2)2(rr)4a24c24b2，所以SPF1F2r1r2b29，所以b3.考点2椭圆的标准方程求椭圆标准方程的两种方法(1)定义法根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程(2)待定系数法一般步骤如下：(1)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|
10、PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为 (2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(，)，则椭圆的方程为 (3)一题多解与椭圆1有相同离心率且经过点P(2，)的椭圆方程为 (1)1(2)1(3)1或1(1)设椭圆的标准方程为1(ab0)，由点P(2，)在椭圆上知1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|PF2|2|F1F2|，即2a22c，.又c2a2b2，联立得a28，b26，故椭圆方程为1.(2)设椭圆方程为mx2ny21(m0，n0且mn)椭圆经过点P1，P2，点P1，P2的坐标适合椭圆方程，则由两式联立，解得
11、所求椭圆的方程为1.(3)法一：因为e，若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为1(mn0)，则1，从而，.又1，所以m28，n26.所以椭圆方程为1.若焦点在y轴上，设椭圆方程为1(hk0)，则1，且，解得h2，k2.故所求方程为1，故椭圆的方程为1或1.法二：若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为t(t0)，将点P(2，)代入，得t2.故所求方程为1；若焦点在y轴上，设方程为(0)，代入点P(2，)，得，故所求方程为1.故椭圆的方程为1或1.离心率相同的两个椭圆焦点可能在不同的轴上，因此要分类求解，如本例T(3)教师备选例题1已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的
12、标准方程为()A.1B.1C.1 D.1C由长、短半轴长之和为10，焦距为4，可得ab10,2c4，c2.又a2b2c2，a236，b216.焦点在x轴上，所求椭圆方程为1.故选C.2已知中心在坐标原点的椭圆过点A(3,0)，且离心率e，则椭圆的标准方程为 1或1若焦点在x轴上，由题知a3，因为椭圆的离心率e，所以c，b2，所以椭圆方程是1.若焦点在y轴上，则b3，a2c29，又离心率e，解得a2，所以椭圆方程是1.1.已知a，bR，则“a0b”是“1表示椭圆”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件B当a0b且ab时，1表示圆，充分性不成立；当1表示椭圆时，
13、a0b且ab，必要性成立，所以“a0b”是“1表示椭圆”的必要不充分条件，故选B.2已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，且短轴长为2，离心率为，则该椭圆的标准方程为()A.y21 B.y21C.y21 D.x21A由题意设椭圆方程为1(ab0)，则2b2，故b1.又，a2b2c2，a25.椭圆C的标准方程为y21.故选A.考点3椭圆的几何性质求椭圆离心率的值(或范围)1求椭圆离心率的方法(1)定义法：根据条件求出a，c，直接利用公式e求解(2)方程法：根据条件得到关于a，b，c的齐次等式(不等式)，结合b2a2c2转化为关于a，c的齐次等式(不等式)，然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a
14、或a2转化为关于e或e2的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)2求椭圆离心率范围的两种方法方法解法适合题型几何法利用椭圆的几何性质，设P(x0，y0)为椭圆1(ab0)上一点，则|x0|a，ac|PF1|ac等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系题设条件有明显的几何关系直接法根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式题设条件直接有不等关系(1)(2018全国卷)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点若PF1PF2，且PF2F160，则C的离心率为()A1B2C. D.1(2)已知F1，F2分别是椭圆1(a
15、b0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B上下两点，若ABF2是锐角三角形，则该椭圆的离心率e的取值范围是()A(0，1) B(1,1)C(0，1) D(1,1)(1)D(2)B(1)由题设知F1PF290，PF2F160，|F1F2|2c，所以|PF2|c，|PF1|c.由椭圆的定义得|PF1|PF2|2a，即cc2a，所以(1)c2a，故椭圆C的离心率e1.故选D.(2)F1，F2分别是椭圆1(a0，b0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B上下两点，F1(c,0)，F2(c,0)，A，B，ABF2是锐角三角形，AF2F145，tanAF2F11，1，整
16、理得b22ac，a2c22ac，两边同时除以a2，并整理，得e22e10，解得e1或e1(舍去)，0e1，椭圆的离心率e的取值范围是(1,1)，故选B.求离心率的取值范围，关键是寻找关于a，b，c的不等式，如本例T(2)，利用等腰三角形是锐角三角形，则顶角的一半小于，建立不等式求解教师备选例题1已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为()A. B2C. D.1D如图所示由题意可得MF1MF2，|MF2|c，|MF1|2ac，|F1F2|2c，所以c2(2ac)24c2，化为c22ac2
17、a20，即e22e20，e(0,1)，解得e1，故选D.2已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x4y0交椭圆E于A，B两点若|AF|BF|4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是()A. B.C. D.A根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A，B两点到椭圆的左、右焦点的距离和为4a2(|AF|BF|)8，所以a2.又d，所以1b2，所以e.因为1b2，所以0e，故选A.与椭圆性质有关的最值(范围)问题与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围(2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围(3
18、)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围(4)利用一元二次方程的判别式求最值或取值范围(1)(2017全国卷)设A，B是椭圆C：1长轴的两个端点若C上存在点M满足AMB120，则m的取值范围是()A(0,19，) B(0，9，)C(0,14，) D(0，4，)(2)(2019开封模拟)如图，焦点在x轴上的椭圆1的离心率e，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则的最大值为 (1)A(2)4(1)当0m3时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足AMB120，则tan 60，即，解得0m1.当m3时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足AMB120，则tan 60，即，解得m9.
19、故m的取值范围为(0,19，)(2)由题意知a2，因为e，所以c1，b2a2c23.故椭圆方程为1.设P点坐标为(x0，y0)所以2x02，y0.因为F(1,0)，A(2,0)，(1x0，y0)，(2x0，y0)，所以xx02yxx01(x02)2.则当x02时，取得最大值4.椭圆中长轴两端点(或两焦点)与短轴顶点所成的角最大，本例T(1)就是以此求解的1.(2017全国卷)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为()A. B.C. D.A由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.又直线bxay2ab0与圆相切，圆心到直线的距离da，解得ab，e.故选A.2已知点F1，F2分别是椭圆1的左、右焦点，点M是该椭圆上的一个动点，那么|的最小值是()A4B6 C8D10C设M(x0，y0)，F1(3,0)，F2(3,0)则(3x0，y0)，(3x0，y0)，所以(2x0，2y0)，|.因为点M在椭圆上，所以0y16，所以当y16时，|取最小值为8.