1、高效测试56：几何概型一、选择题1如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自ABE内部的概率等于()A.B.C.D.解析：点E为边CD的中点，故所求的概率P，故选C.答案：C2在面积为S的ABC的边AB上任取一点P，则PBC的面积大于的概率是()A. B. C. D.解析：如图所示，设ABC的BC边上的高为AD，在AB边上任取一点P，由点P作PEBC，垂足为E，则易知当PEAD时，PBC的面积大于，即当时，PBC的面积大于.记APBC面积大于由几何概型的概率公式，得P(A).答案：C3如图所示，A是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A，连结AA，得
2、到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为()A. B. C. D.解析：当AA的长度等于半径长度时，AOA，A点左右各一点，故由几何概型的概率公式得P，故选C.答案：C4分别在区间0,5和0,3内任取一个实数，依次记为m和n，则mn的概率为()A. B. C. D.解析：建立平面直角坐标系(如图所示)，则由图可知满足mn的点应在梯形OABD内，所以所求事件的概率为P.答案：A5设不等式组所表示的区域为A，现在区域A中任意丢进一个粒子，则该粒子落在直线yx1下方的概率为()A. B. C. D.解析：不等式组表示的平面区域A为图中阴影部分所示，直线yx1过平面区域中的(0,1)，(1,2
3、)点，所以直线yx1下方的阴影部分的面积为2211，所以所求的概率为.答案：B6若a是从区间0,3内任取的一个实数，b是从区间0,2内任取的一个实数，则关于x的一元二次方程x22axb20有实根的概率为()A. B. C. D.解析：方程有实根，则4a24b20，则ab0，不等式组所满足的可行域如图中阴影部分所示，则根据几何概型概率公式可得，所求概率P，故选A.答案：A二、填空题7在区间1,2上随机取一个数x，则|x|1的概率为_解析：由|x|1得，1x1，故易知所求概率为.答案：8有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大
4、于1的概率为_解析：先求点P到点O的距离小于1或等于1的概率，圆柱的体积V圆柱1222，以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球13.则点P到点O的距离小于1或等于1的概率为：，故点P到点O的距离要大于1的概率为：1.答案：9已知圆C：x2y212，直线l：4x3y25.(1)圆C的圆心到直线l的距离为_；(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为_解析：根据点到直线的距离公式得d5；设直线4x3yc到圆心的距离为3，则3，取c15，则直线4x3y15把圆所截得的劣弧的长度和整个圆的周长的比值是所求的概率，由于圆半径是2，则可得直线4x3y15截得的圆弧所对的圆心角为60，故
5、所求的概率是.答案：5三、解答题10求下列概率：(1)已知x(1,1)，求x21的概率；(2)已知x，y(1,1)，求x2y21的概率；(3)已知x，y，z(1,1)，求x2y2z21的概率解析：(1)x(1,1)的结果是任意的且有无限个，属于几何概型设x21为事件A，则事件A构成的区域长度是1(1)2，全部结果构成的区域长度是1(1)2，则P(A)1，即x21的概率是1.(2)x，y(1,1)的结果是任意的且有无限个，属于几何概型设x2y21为事件B，则事件B构成的区域面积是平面直角坐标系中以原点为圆心、半径为1的圆的面积，全部结果构成的区域面积是平面直角坐标系中直线x1，y1围成的正方形的
6、面积224，则P(B)，即x2y21的概率是.(3)x，y，z(1,1)的结果是任意的且有无限个，属于几何概型设x2y2z21为事件C，则事件C构成的区域体积是空间直角坐标系中以原点为球心、半径为1的球的体积，全部结果构成的区域体积是空间直角坐标系中平面x1，y1，z1围成的正方体的体积238，则P(C)，即x2y2z21的概率是.11已知复数zxyi(x，yR)在复平面上对应的点为M.(1)设集合P4，3，2,0，Q0,1,2，从集合P中随机取一个数作为x，从集合Q中随机取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率；(2)设x0,3，y0,4，求点M落在不等式组所表示的平面区域内的概率解析：(1)
7、记“复数z为纯虚数”为事件A.组成复数z的所有情况共有12个：4，4i，42i，3，3i，32i，2，2i，22i,0，i,2i，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A包含的基本事件共2个：i,2i，所求事件的概率为P(A).(2)依条件可知，点M均匀地分布在平面区域(x，y)|内，属于几何概型该平面区域的图形为右图中矩形OABC围成的区域，面积为S3412.而所求事件构成的平面区域为(x，y)|，其图形如图中的三角形OAD(阴影部分)又直线x2y30与x轴、y轴的交点分别为A(3,0)，D(0，)，OAD的面积为S13.所求事件的概率为P.12已知函数f(x)ax22bxa(a
8、，bR)(1)若a从集合0,1,2,3中任取一个元素，b从集合0,1,2,3中任取一个元素，求方程f(x)0恰有两个不相等实根的概率；(2)若b从区间0,2中任取一个数，a从区间0,3中任取一个数，求方程f(x)0没有实根的概率解析：(1)a从集合0,1,2,3中任取一个元素，b从集合0,1,2,3中任取一个元素，a，b取值的情况是：(0,0)，(0,1)， (0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(0,3)，(1,3)，(2,3)，(3,3)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值，即基本事件总数为16.
9、设“方程f(x)0恰有两个不相等的实根”为事件A，当a0，b0时，方程f(x)0恰有两个不相等实根的充要条件为ba且a0，当ba且a0时，a，b取值的情况有(1,2)，(1,3)，(2,3)，即事件A包含的基本事件数为3，方程f(x)0恰有两个不相等实根的概率P(A).(2)b从区间0,2中任取一个数，a从区间0,3中任取一个数，则试验的全部结果构成区域(a，b)|0a3,0b2，这是一个矩形区域，其面积S236，设“方程f(x)0没有实根”为事件B，则事件B所构成的区域为M(a，b)|0a3,0b2，ab，其面积SM6224，由几何概型的概率计算公式可得：方程f(x)0没有实根的概率P(A).版权所有：高考资源网()