1、1. 【2006高考北京理第8题】下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口的机动车辆数如图所示，图中分别表示该时段单位时间通过路段的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则20，30；35，30；55，50 （ ）A.B.C.D.【答案】C2. 【2009高考北京理第8题】点在直线上，若存在过的直线交抛物线于两点，且，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是 （ ） A直线上的所有点都是“点” B直线上仅有有限个点是“点” C直线上的所有点都不是“点” D直线上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”【答案】A【解析】试题分析：本
2、题采作数形结合法易于求解，如图，设，则，消去n,整理得关于x的方程 （1）恒成立，方程（1）恒有实数解，应选A.考点：创新题型.3. 【2014高考北京理第8题】学生的语文、数学成绩均被评为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有（ ）A2人 B3人 C4人 D5人【答案】B【解析】考点：合情推理，中等题.4. 【2005高考北京理第14题】已知n次式项式. 如果在一种算法中，计算
3、的值需要k1次乘法，计算P3（x0）的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算P10（x0）的值共需要 次运算.下面给出一种减少运算次数的算法：P0（x）=a0，Pk+1（x）=xPk（x）+ak+1（k=0，1，2，n1）.利用该算法，计算P3（x0）的值共需要6次运算，计算P10（x0）的值共需要 次运算.【答案】【解析】考点：信息题。5. 【2007高考北京理第20题】（本小题共13分）已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合：，其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和若对于任意的，总有，则称集合具有性质（I）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和；
4、（II）对任何具有性质的集合，证明：；（III）判断和的大小关系，并证明你的结论6. 【2008高考北京理第20题】（本小题共13分）对于每项均是正整数的数列，定义变换，将数列变换成数列对于每项均是非负整数的数列，定义变换，将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列；又定义设是每项均为正整数的有穷数列，令（）如果数列为5，3，2，写出数列；（）对于每项均是正整数的有穷数列，证明；（）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当时，【答案】（）解：，；，7. 【2010高考北京理第20题】(13分)已知集合SnX|X(x1，x2，xn)，xi0,1，i1,2，n(n2
5、)对于A(a1，a2，an)，B(b1，b2，bn)Sn，定义A与B的差为AB(|a1b1|，|a2b2|，|anbn|)；A与B之间的距离为d(A，B)(1)证明：A，B，CSn，有ABSn，且d(AC，BC)d(A，B)； (2)证明：A，B，CSn，d(A，B)，d(A，C)，d(B，C)三个数中至少有一个是偶数；(3)设PSn，P中有m(m2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为 (P)，证明：.【答案】【解析】证明：(1)(理(1)，文(2)设A(a1，a2，an)，B(b1，b2，bn)，C(c1，c2，cn)Sn.因为ai，bi0,1，所以|aibi|0,1(i1,2，n)从
6、而AB(|a1b1|，|a2b2|，|anbn|)Sn.又d(AC，BC)，由题意知ai，bi，ci0,1(i1,2，n)当ci0时，|aici|bici|aibi|；当ci1时，|aici|bici|(1ai)(1bi)|aibi|.所以d(AC，BC)d(A，B) (3) d(A，B)，其中d(A，B)表示P中所有两个元素间距离的总和设P中所有元素的第i个位置的数字中共有ti个1，mti个0，则d(A，B)由于ti(mti) (i1,2，n)，所以d(A，B).从而 d(A，B). 8. 【2011高考北京理第20题】若数列：，满足（，2，），则称为E数列。记.（1）写出一个满足，且的E数
7、列；（2）若，证明：E数列是递增数列的充要条件是；（3）对任意给定的整数，是否存在首项为0的E数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由。9. 【2012高考北京理第20题】（本小题共13分）设是由个实数组成的行列的数表，满足：每个数的绝对值不大于，且所有数的和为零. 记为所有这样的数表组成的集合. 对于，记为的第行各数之和（），为的第列各数之和（）；记为，中的最小值.（1）对如下数表，求的值； （2）设数表形如 求的最大值；（3）给定正整数，对于所有的，求的最大值.【答案】经计算知，中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且，.10. 【2014高考北京理第2
8、0题】（本小题满分13分）对于数对序列，记，其中表示和两个数中最大的数.（1）对于数对序列，求的值；（2）记为，四个数中最小的数，对于由两个数对组成的数对序列和，试分别对和两种情况比较和的大小；（3）在由五个数对组成的所有数对序列中，写出一个数对序列使最小，并写出的值.(只需写出结论).【答案】（1）7,8；（2）无论还是，都有成立；（3），.【解析】考点：新定义题型.11. 【2015高考北京，理8】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）A消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 【答案】D 考点：本题考点定位为函数应用问题，考查学生对新定义“燃油效率”的理解和对函数图象的理解.12. 【2015高考北京，理20】已知数列满足：，且记集合（）若，写出集合的所有元素；（）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；（）求集合的元素个数的最大值【答案】（1），（2）证明见解析，（3）8【解析】（）由已知可知：考点定位：1.分段函数形数列通项公式求值；2.归纳法证明；3.数列元素分析.