1、二十七 指数型、对数型函数模型的应用举例【基础全面练】(20 分钟 35 分)1调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过 0.2 mg/mL.如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到 0.8 mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时 50%的速度减少，则他至少要经过_小时后才可以驾驶机动车()A1 B2 C3 D4【解析】选 B.设 n 个小时后才可以驾车，由题得方程 0.8(150%)n0.2，0.5n14，n2，即至少要经过 2 小时后才可以驾驶机动车2某种动物繁殖量 y(只)与时间 x(年)的关系为 yalog
2、3(x1)，设这种动物第 2 年有100 只，到第 8 年它们将发展到()A50 只 B100 只 C150 只 D200 只【解析】选 D.由题意知，繁殖数量 y(只)与时间 x(年)的关系为 yalog3(x1)，这种动物第 2 年有 100 只，所以 100alog3(21)，所以 a100,y100log3(x1)，当 x8 时，y100log3(81)1002200.3一种放射性元素，最初的质量为 500 g，按每年 10%衰减则这种放射性元素的半衰期为(注：剩留量为最初质量的一半所需的时间叫作半衰期精确到 0.1.已知 lg 20.301 0，lg 30.477 1)()A5.2
3、B6.6 C7.1 D8.3【解析】选 B.设半衰期为 x，则有 500(110%)x250，即910 x12，取对数得 x(lg 91)lg 2，所以 xlg 212lg 3 0.301 0120.477 1 6.6.4衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为 a，经过 t天后体积与天数 t 的关系式为：Vaekt，若新丸经过 50 天后，体积变为49 a；若一个新丸体积变为 827 a，则需经过的天数为()A25 B50 C75 D100【解析】选 C.由题意，得49 aae50k，解得 e25k23；令 aekt 827 a，即 ekt233(e25k)3e75k，即
4、需经过的天数为 75.5现测得(x，y)的两组值为(1，2)，(2，5)，现有两个拟合模型，甲：yx21，乙：y3x1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10.2)，则应选用_作为拟合模型较好【解析】对于甲：x3 时，y32110，对于乙：x3 时，y8，因此用甲作为拟合模型较好答案：甲6国际视力表值(又叫小数视力值，用 V 表示，范围是0.1，1.5)和我国现行视力表值(又叫对数视力值，由缪天荣创立，用 L 表示，范围是4.0，5.2)的换算关系式为 L5.0lg V.(1)请根据此关系式将下面视力对照表补充完整；(2)甲、乙两位同学检查视力，其中甲的对数视力值为 4.5，乙的小数视力值
5、是甲的 2倍，求乙的对数视力值(所求值均精确到小数点后面一位数，参考数据：lg 20.301 0，lg 30.477 1)V1.50.4L5.04.0【解析】(1)因为 5.0lg 1.55.0lg 1510 5.0lg 325.0lg 3lg 25.00.477 10.301 05.2，所以应填 5.2；因为 5.05.0lg V，所以 V1，处应填 1.0；因为 5.0lg 0.45.0lg 410 5.0lg 415.02lg 215.020.301 014.6，所以处应填4.6；因为 4.05.0lg V，所以 lg V1.所以 V0.1.所以处应填 0.1.对照表补充完整如表：V1.
6、51.00.40.1L5.25.04.64.0(2)先将甲的对数视力值换算成小数视力值，则有 4.55.0lg V 甲，所以 V 甲100.5，则 V 乙2100.5.所以乙的对数视力值 L 乙5.0lg(2100.5)5.0lg 20.55.00.301 00.54.8.【综合突破练】(30 分钟 60 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1一个容器装有细沙 a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为 yaebt(cm3)，经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过_min，容器中的沙子只有开始时的八分之一()A8 B16 C24
7、 D32【解析】选 B.依题意有 aeb812 a，所以 bln 28，所以 yaeln 28t，若容器中只有开始时的18 时，则有 aeln 28t18 a，解得 t24.所以再经过 24816 min 容器中的沙子只有开始时的八分之一2某人若以每股 17.25 元的价格购进股票一万股，可以预知一年后以每股 18.96 元的价格销售已知该年银行利率为 0.8%，按月计复利，为获取最大利润，某人应将钱注：(10.8%)121.100 38()A全部购买股票B全部存入银行C部分购股票，部分存银行D购股票或存银行均一样【解析】选B.买股票利润：x(18.9617.25)10 000，存银行利润：y
8、17.2510 000(10.8%)1217.2510 000，计算得 xy.3刘云同学向某银行贷款 M 万元，用于购买某件商品，贷款的月利率为 5%(按复利计算)，按照还款合同，刘云同学每个月都还款 x 万元，20 个月还清，则下列关系式正确的是()A20 xM B0 xM(15%)20【解析】选 C.刘云同学向某银行贷款 M 万元，贷款的月利率为 5%(按复利计算)，则20 个月后本息和为 M(15%)20 万元，刘云同学每个月都还款 x 万元，20 个月共还20 x 万元，若 20 个月还清，则 20 xM(15%)20.4某种细胞在正常培养过程中，时刻 t(单位：分钟)与细胞数 n(单
9、位：个)的部分数据如下表：t02060140n128128根据表中数据，推测繁殖到 1 000 个细胞时的时刻 t 最接近于()A200 分钟 B220 分钟C240 分钟D260 分钟【解析】选 A.由表中数据可以看出，n 与 t 的函数关系式为 n2t20，令 n1 000，则2t20 1 000，而 2101 024，所以繁殖到 1 000 个细胞时，时刻 t 最接近 200 分钟5某地区发生里氏 8.0 级特大地震地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如表：强度/J1.610193.210194.510196.41019震级/里氏5.05.25.35.4注：地震强度是指地震时释
10、放的能量地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用 ya lg xb(其中 a，b 为常数).利用散点图可知 a 的值等于(取 lg 20.3 进行计算)()A12 B23 C34 D32【解析】选 B.由记录的部分数据可知x1.61019 时，y5.0，x3.21019 时，y5.2.所以 5.0a lg(1.61019)b，52a lg(3.21019)b，得 0.2a lg 3.210191.61019，0.2a lg 2.所以 a0.2lg 2 0.20.3 23.二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)6某商品价格 y(单位：元)因上架时间 x(单位：天)的不同而不同，假定商
11、品的价格与上架时间的函数关系是一种指数型函数，即 ykax(a0 且 a1)(xN*).商品上架第 1 天的价格为 96 元，而上架第 3 天的价格为 54 元，则该商品上架第 4 天的价格为_元【解析】由题意可知ka96，ka354，解得a34，k128.所以当 x4 时，yka4812.答案：8127汽车驾驶员发现前方有障碍物时会紧急刹车，这一过程中，由于人的反应需要时间，汽车在惯性的作用下有一个刹车距离，设停车安全距离为 S，驾驶员反应时间内汽车所行距离为 S1，刹车距离为 S2，则 SS1S2.而 S1 与反应时间 t 有关，S110ln(t1)，S2 与车速 v 有关，S2bv2.某
12、人刹车反应时间为 e 1 秒，当车速为 60 km/h时，紧急刹车后滑行的距离为 20 米，若在限速 100 km/h 的高速公路上，则该汽车的安全距离为_(精确到米)【解析】因为刹车反应时间为 e 1 秒，所以 S110ln(e 11)10ln e 5，当车速为 60 km/h 时，紧急刹车后滑行的距离为 20 米，则 S2b(60)220，解得 b 1180，即 S2 1180 v2，若 v100，则 S2 1180 100256，S15，则该汽车的安全距离 SS1S255661(米).答案：61 米8甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程 fi(x)(i1，2，
13、3，4)关于时间 x(x0)的函数关系式分别为 f1(x)2x1，f2(x)x2，f3(x)x，f4(x)log2(x1)，有以下结论：当 x1 时，甲走在最前面；当 x1 时，乙走在最前面；当 0 x1 时，丁走在最后面；丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲其中正确结论的序号为_【解析】甲、乙、丙、丁的路程 fi(x)(i1，2，3，4)关于时间 x(x0)的函数关系式分别为 f1(x)2x1，f2(x)x2，f3(x)x，f4(x)log2(x1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型当 x2 时，
14、f1(2)3，f2(2)4，所以不正确；当 x5 时，f1(5)31，f2(5)25，所以不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当 x1 时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当 0 x1 时，丁走在最后面，所以正确；指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以正确；结合对数型函数和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，所以正确答案：三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)9我国加入 WTO 时，根据达成的协议，某产品的市场供应量 P 与市
15、场价格 x 的关系近似满足 P(x)2(1kt)(xb)2(其中 t 为关税的税率，且 t0，12，x 为市场价格，b，k 为正常数).当 t18 时的市场供应量曲线如图所示(1)根据图象求 b，k 的值(2)当关税的税率 t 110 时，求市场供应量 P 不低于 1 024 时，市场价格至少为多少？【解析】(1)由题干图可知21k8（5b）21，21k8（7b）22，解得 k6，b5.(2)由(1)可得 P(x)2(16t)(x5)2，设 m(16t)(x5)2，当 t 110 时，m25(x5)2，因为市场供应量 P 不低于 1 024，所以 2m1 024，解得 m10，所以25(x5)
16、210，解得 x10，故市场供应量 P 不低于 1 024 时，市场价格至少为 10.【补偿训练】为了预防甲型 H1N1 流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时室内每立方米空气中的含药量 y(mg)与时间 x(min)成正比例，药物燃烧完后满足 ykx，如图所示，现测得药物 8 min 燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为 6 mg，请按题中所供给的信息，解答下列各题(1)求 y 关于 x 的函数解析式(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于 3 mg 且持续时间不低于 10 min 时才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？【解析】(1)当 0 x8
17、 时，设 yx，代入(8，6)，解得 34，所以 y34 x(0 x8).当 x8 时，(8，6)代入 ykx，可得 k48，所以 y48x(x8)，所以 y34x，0 x8，48x，x8.(2)当 x0，8时，34 x3，解得 x4，当 x8 时，48x 3，解得 x16.所以空气中每立方米的含药量不低于 3 mg 时的持续时间为 1641210，所以此次消毒有效1020 世纪 70 年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级 M，其计算公式为 Mlg Alg A0.其中 A 是被测
18、地震的最大振幅，A0 是“标准地震”的振幅(1)假设在一次地震中，一个距离震中 1 000 千米的测震仪记录的地震最大振幅是 20，此时标准地震的振幅是 0.002，计算这次地震的震级(2)5 级地震给人的震感已比较明显，我国发生在汶川的 8 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振幅的多少倍？【解析】(1)Mlg Alg A0lg AA0 lg 200.002 4.即这次地震的震级为 4 级(2)5lg A5lg A0，8lg A8lg A0，lg A8A5 3，A8A5 1 000，即我国发生在汶川的 8 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振幅的 1 000 倍【应用创新练】1光线通过一块
19、玻璃，其强度要失掉原来的 110，要使通过玻璃的光线强度为原来的13 以下，至少需要重叠_块玻璃(lg 30.477 1).【解析】设原光线的强度为 a(a0)，重叠 x 块玻璃后，通过玻璃的光线强度为 y，则ya1 110 x(xN*)，令 y13 a，即 a1 110 x13 a，所以910 xlg 13lg 910.因为lg 13lg 910lg 32lg 31 0.477 120.477 11 10.4，所以 x10.4，至少需要重叠 11 块玻璃答案：112某公司对营销人员有如下规定：()年销售额 x(万元)不大于 8 时，没有年终奖金；()年销售额 x(万元)大于 8 时，年销售额
20、越大，年终奖金越多此时，当年销售额x(万元)不大于 64 时，年终奖金 y(万元)按关系式 ylogaxb(a0，且 a1)发放；当年销售额 x(万元)不小于 64 时，年终奖金 y(万元)为年销售额 x(万元)的一次函数经测算，当年销售额分别为 16 万元，64 万元，80 万元时，年终奖金依次为 1 万元，3 万元，5 万元(1)求 y 关于 x 的函数解析式(2)某营销人员年终奖金高于 2 万元但低于 4 万元，求该营销人员年销售额 x(万元)的取值范围【解析】(1)因为 8x64，年销售额越大，奖金越多，所以 ylogaxb 在(8，64上是增函数所以loga16b1，loga64b3，解得a2，b3.所以 8x64 时，y3log2x；又因为 x64 时，y 是 x 的一次函数，设 ykxm(k0)，由题意可得：64km3，80km5，解得k18m5.所以 x64 时，y18 x5.所以 y 关于 x 的函数解析式为 y0，0 x8，3log2x，864.(2)当 0 x8 时，不合题意；当 8x64 时，23log2x4，解得 32x128，所以 32x64.当 x64 时，18 x54，解得 x72，所以 64x72，综上，32x72.该营销人员年终奖金高于 2 万元但低于 4 万元，其年销售额的取值范围是大于32 万元且小于 72 万元.