1、4 用向量讨论垂直与平行01课前 自主梳理02课堂 合作探究03课时 跟踪训练一、直线、平面间的平行、垂直设空间中两条直线 l1，l2 的方向向量分别为 e1，e2，平面 的法向量为 n，则：平行垂直l1 与 l2l1 与 二、线面垂直判定定理若一条直线垂直于一个平面内的，则该直线与此平面垂直e1e2e1e2e1ne1n两条相交直线三、面面平行判定定理若一个平面内有两条相交直线都于另一个平面，则这两个平面平行四、面面垂直判定定理若一个平面经过另一个平面的，则这两个平面垂直五、三垂线定理1文字语言：若平面内的一条直线垂直于的一条直线在该平面上的，则这两条直线垂直平行一条垂线平面外投影2几何语言
2、b平面c是b在平面内的投影 ab3图形语言aac疑难提示平行关系的判定与证明、垂直关系的证明(1)证明线面平行常用的方法证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量共面证明直线的方向向量与平面内的一个向量平行证明直线的方向向量与平面的法向量垂直(2)证明面面平行常用的方法证明平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面证明两个平面的法向量平行证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量(3)当几何体的形状不易建系或建系后各点的坐标不易求出时，可利用基向量把需要的向量表示出来，通过基向量间的运算来解决问题(4)用向量法证明线段垂直证明两直线的方向向量垂直(5)用向量法证明线面垂直设 a 表示一条直线的方
3、向向量，n 是平面的法向量an，则线面垂直在平面内找到两条不共线的直线，分别求出它们的方向向量 b，c，只需证明 ab，ac.(6)用向量法证明面面垂直转化为证线面垂直证两平面的法向量垂直想一想1三垂线定理的作用是什么？提示：三垂线定理的结论跨越了线面垂直，直接由线线垂直到线线垂直，在证明线线垂直问题时，非常简捷练一练2若平面，的一个法向量分别为 m16，13，1，n12，1，3，则()ABC 与 相交但不垂直D 或 与 重合解析：n3m，mn，或 与 重合答案：D探究一 三垂线定理在证明垂直问题中的应用典例 1 如图所示，在空间四边形 ABCD 中，A 在平面 BCD 内的投影 O1 是BC
4、D的垂心，试证明 B 在平面 ACD 内的投影 O2 必是ACD 的垂心证明 连接 DO1，BO1，AO2，CO2 并延长至与线段相交O1 是BCD 的垂心，DO1BC.又 AO1平面 BCD，DO1 是 AD 在平面 BCD 内的投影，BCAD(三垂线定理)BC 是平面 ACD 的斜线，BO2平面 ACD，CO2 是 BC 在平面 ACD 内的投影，CO2AD(三垂线定理的逆定理)同理，AO2CD.故 O2 是ACD 的垂心三垂线定理的证明要用向量法，但在使用三垂线定理时，与向量无关，是纯几何问题应用定理的关键是：一定面，二查线，三垂直，问题即可解决1.如图所示，在直四棱柱 ABCDA1B1
5、C1D1 中，底面 ABCD 是矩形，AB1，BC 2，AA12，E 是侧棱 BB1 的中点求证：A1E平面 AED.证明：在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，底面 ABCD 是矩形，D1A1，D1C1，D1D两两垂直建立如图所示的空间直角坐标系 D1xyz.则 D(0,0,2)，A(2，0,2)，E(2，1,1)，A1(2，0,0)，DA(2，0,0)，AE(0,1，1)，A1E(0,1,1)，A1E DA 0，A1E AE 0，A1EDA，A1EAE，又 DAAEA，A1E平面 AED.2.(1)已知在空间四边形 OACB 中，OBOC，ABAC，求证：OABC.(2)在正三棱锥(底
6、面是正三角形且侧棱相等)P-ABC 中，三条侧棱两两互相垂直，G 是PAB 的重心，E、F 分别为 BC、PB 上的点，且 BEECPFFB12.求证：平面 GEF平面 PBC.证明：(1)因为 OBOC，ABAC，OAOA，所以OACOA B.所以AOCAOB.因为OA BC OA(OC OB)OA OC OA OB|OA|OC|cosAOC|OA|OB|cos AOB0，所以OA BC，所以 OABC.(2)以三棱锥的顶点 P 为原点，以 PA、PB、PC 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系令 PAPBPC3，则A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，E
7、(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)，P(0,0,0)，所以EF(0，1，1)，EG(1，1，1)设平面 EFG 的法向量是 n(x，y，z)，则有 nEF，nEG.所以yz0，xyz0，令 y1，得 z1，x0，即 n(0,1，1)显然PA(3,0,0)是平面 PBC 的一个法向量因为 nPA0，所以 nPA，即平面 PBC 的法向量与平面 EFG 的法向量互相垂直所以平面 EFG平面 PBC.探究二 求平面的法向量典例 2 如图，在空间直角坐标系中，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2，E、F 分别为棱 A1D1、A1B1 的中点，求平面 EFBD 的一个法向量解
8、析 D(0,0,0)、B(2,2,0)、E(1,0,2)，DB(2,2,0)，DE(1,0,2)设平面 EFBD 的一个法向量为 n(x，y，z)，nDB 0nDE 02x2y0 x2z0yxz12x.令 x2，则可解得：y2，z1.n(2，2，1)即为所求平面 EFBD 的一个法向量若要求出一个平面的法向量，一般要根据空间直角坐标系，用待定系数法求解，一般步骤为：(1)设出平面法向量 n(x，y，z)；(2)找出(求出)平面内的两个不共线向量 a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)；(3)根据法向量定义建立关于 x，y，z 的方程组：naxa1yb1zc10，nbxa2yb2zc20
9、；(4)解方程组，取其中一个解，即得法向量3已知平面 经过 A(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2,0)三点，试求平面 的一个法向量解析：A(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2,0)，AB(1，2，4)，AC(2，4，3)设平面 的一个法向量是 n(x，y，z)，依题意，应有nAB 0nAC 0，即x2y4z0，2x4y3z0，解得z0，x2y.令 y1，则 x2.平面 的一个法向量是 n(2,1,0)4(1)已知ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)，求出平面ABC 的一个法向量(2)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，求证
10、：DB1 是平面 ACD1的一个法向量解析：(1)设平面 ABC 的法向量为 n(x，y，z)因为 A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)所以AB(2,1,3)，BC(1，1,0)则有nAB 0，nBC 0，即2xy3z0，xy0，解得x3z，xy.令 z1，则 xy3.故平面 ABC 的一个法向量为 n(3,3,1)(答案不唯一)(2)证明：设正方体的棱长为 1，分别以DA，DC，DD1 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则DB1(1,1,1)，AC(1,1,0)，AD1(1,0,1)，于是有DB1 AC 0，所以DB1 AC，即 DB1AC，同理 DB1AD1.又
11、ACAD1A，所以 DB1平面 ACD1，从而DB1 是平面 ACD1的一个法向量探究三 利用向量证明平行与垂直利用向量证明平行与垂直 线面平行 面面平行 线线垂直 线面垂直 面面垂直5.如图，在空间直角坐标系中有正方体 ABCD-A1B1C1D1，O1 是 B1D1 的中点，证明：BO1平面 ACD1.证明：设正方体的棱长为 2，则 A(2,0,0)、D1(0,0,2)、C(0,2,0)、O1(1,1,2)、B(2,2,0)，AD1(2,0,2)，CD1(0，2,2)，BO1(1，1,2)证法一 设BO1 AD1 CD1，则(2,0,2)(0，2,2)(1，1,2)，2121222，解得 1
12、2.BO1 12AD1 12CD1 BO1 与AD1、CD1 共面，BO1 平面 ACD1.又 BO1平面 ACD1，BO1平面 ACD1.证法二 设平面 ACD1 的法向量为 n(x，y，z)，由 nAD1 0nCD1 02x2z02y2z0.令 x1 可得：y1，z1，n(1,1,1)BO1 n(1，1,2)(1,1,1)1120，BO1 n，BO1 平面 ACD1.又 BO1平面 ACD1，BO1平面 ACD1.6.如图，在空间直角坐标系中，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 4，M、N、E、F分别是棱 A1D1、A1B1、D1C1、B1C1的中点，求证：平面 AMN平面 EF
13、BD.证明：证法一 由空间直角坐标系可知：A(4,0,0)，M(2,0,4)，N(4,2,4)，D(0,0,0)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)取 MN 的中点 G 及 EF 的中点 K，BD 的中点 Q，连接 AG，QK，则 G(3,1,4)，K(1,3,4)，Q(2,2,0)MN(2,2,0)，EF(2,2,0)，AG(1,1,4)，QK(1,1,4)可见MN EF，AG QK，MNEF，AGQK.MN平面 EFBD，AG平面 EFBD.又 MNAGG，平面 AMN平面 EFBD.证法二 由证法一得AM(2,0,4)，MN(2,2,0)，DE(0,2,4)，EF(2,
14、2,0)设平面 AMN 的法向量为 n1(x1，y1，z1)，则n1AM 0，n1MN 0，即2x14z10，2x12y10，即z112x1，y1x1.令 x11，则 n1(1，1，12)设平面 EFBD 的法向量为 n2(x2，y2，z2)，则n2EF 0，n2DE 0，即2x22y20，2y24z20，即x2y2，z212y2，令 x21，则 n2(1，1，12)n1n2，平面 AMN平面 EFBD.7.如图，在三棱锥 PABC 中，三条侧棱 PA，PB，PC 两两垂直，且 PAPBPC3，G 是PAB 的重心，E，F 分别为 BC，PB 上的点，且 BEECPFFB12.(1)求证：平面
15、 GEF平面 PBC；(2)求证：EG 与直线 PG 与 BC 都垂直证明：(1)如图，以三棱锥的顶点 P 为坐标原点，以 PA，PB，PC 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 Pxyz.则 A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)，P(0,0,0)于是EF(0，1，1)，EG(1，1，1)设平面 GEF 的法向量是 n(x，y，z)，则nEFnEG，yz0 xyz0，可取 n(0,1，1)显然PA(3,0,0)是平面 PBC 的一个法向量又 nPA0，nPA，即平面 PBC 的法向量与平面 GEF 的法
16、向量垂直，平面 GEF平面 PBC.(2)由(1)，知EG(1，1，1)，PG(1,1,0)，BC(0，3,3)，EG PG 0，EG BC 0，EGPG，EGBC，EG 与直线 PG 与 BC 都垂直8.如图，在空间直角坐标系中，已知正方形 ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB 2，AF1，M 是线段EF 的中点求证：AM平面 BDF.证明：A(2，2，0)，M(22，22，1)，D(2，0,0)，F(2，2，1)，B(0，2，0)，AM(22，22，1)，DF(0，2，1)，BF(2，0,1)AM DF(22)0(22)2110，AM DF.同理AM BF.又 DFBFF，D
17、F平面 BDF，BF平面 BDF，AM平面 BDF.9.如图，在四棱锥 PABCD 中，PD底面 ABCD，底面 ABCD 为正方形，PDDC，E，F 分别是 AB，PB 的中点(1)求证：EFCD；(2)在平面 PAD 内求一点 G，使 GF平面 PCB，并证明你的结论解析：(1)证明：以 DA，DC，DP 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(如图)，设 ADa，则 D(0,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，Ea，a2，0，P(0,0，a)，Fa2，a2，a2，EF a2，0，a2，DC(0，a,0)，EF DC a2，0，a2(0，a,0)0，EFDC.
18、(2)G平面 PAD，设 G(x,0，z)，FG xa2，a2，za2.由(1)，知CB(a,0,0)，CP(0，a，a)由题意，要使 GF平面 PCB，只需FG CB xa2，a2，za2(a,0,0)axa2 0，FG CPxa2，a2，za2(0，a，a)a22 aza2 0，xa2，z0.点 G 的坐标为a2，0，0，即点 G 为 AD 的中点利用转化思想解决线面位置关系探究问题典例 如图，在底面是菱形的四棱锥 P-ABCD 中，ABC60，PAACa，PBPD 2a，点 E 在 PD 上，且 PEED21.在棱 PC 上是否存在一点 F，使 BF平面 AEC？证明你的结论证明 以A为
19、坐标原点，直线AD，AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系(如图)，则由题设条件知，相关各点的坐标分别为A(0,0,0)，B32 a，12a，0，C32 a，12a，0，D(0，a,0)，P(0,0，a)，E0，23a，13a，所以AE 0，23a，13a，AC 32 a，12a，0，AP(0,0，a)，PC32 a，12a，a，BP 32 a，12a，a.设点F是棱PC上的点，PFPC32 a，12a，a，其中01，则BF BPPF 32 a，12a，a 32 a，12a，a32 a1，12a1，a1令BF 1AC 2AE，得 32 a1 32 a1，12a112a123a2，a113a2，即11，11432，1132，解得12，112，232，即当12时，BF 12AC 32AE，即F是PC的中点时，BF，AC，AE 共面，又BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF平面AEC.感悟提高 本题利用转化思想将探究点是否存在问题转化为了在直角坐标系下的空间向量是否共面问题，再进一步转化为方程组是否有解问题若有解，则存在此点，且将向量运算结果转化为原几何问题，若无解，则此点不存在03课时 跟踪训练