1、9-3推理与证明基础巩固强化1.(2011江西文，6)观察下列各式：7249,73343,742401，则72011的末两位数字为()A01 B43 C07 D49答案B解析7516807,76117649，又7107，观察可见7n(nN*)的末二位数字呈周期出现，且周期为4，201150243，72011与73末两位数字相同，故选B.2设a、b、cR，Pabc，Qbca，Rcab，则“PQR0”是“P、Q、R同时大于零”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案C解析首先若P、Q、R同时大于零，则必有PQR0成立其次，若PQR0，且P、Q、R不都大于0，则
2、必有两个为负，不妨设P0，Q0，即abc0，bca0，b0与bR矛盾，故P、Q、R都大于0.3(文)将正整数排成下表：则在表中数字2014出现在()A第44行第78列 B第45行第78列C第44行第77列 D第45行第77列答案B解析第n行有2n1个数字，前n行的数字个数为135(2n1)n2.4421936,4522025，且19362014，2014在第45行2014193678，2014在第78列，选B.(理)(2012西安五校第一次模拟)已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1
3、)，则第60个“整数对”是()A(7,5) B(5,7)C(2,10) D(10,1)答案B解析依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知每组中每个“整数对”的和为n1，且每组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有个“整数对”，注意到600，且a1，下面正确的运算公式是()S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)A B C D答案B解析经验证易知错误依题意，注意到2S(xy)2(axyaxy)，S(x)C(y)C(x)S(y)2(axyaxy)，因此有
4、2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；同理有2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)综上所述，选B.6(文)定义某种新运算“”：Sab的运算原理为如图的程序框图所示，则式子5436()A2 B1 C3 D4答案B解析由题意知545(41)25,366(31)24，所以54361.(理)若定义在区间D上的函数f(x)，对于D上的任意n个值x1、x2、xn，总满足f(x1)f(x2)f(xn)nf，则称f(x)为D上的凹函数，现已知f(x)tanx在上是凹函数，则在锐角三角形ABC中，tanAtanBtanC的最小值是()A3 B. C3 D.答案C解析根据f(x)tanx在上是凹函数
5、，再结合凹函数定义得，tanAtanBtanC3tan3tan3.故所求的最小值为3.7设f(x)定义如表，数列xn满足x15，xn1f(xn)，则x2014的值为_.x123456f(x)451263答案1解析由条件知x15，x2f(x1)f(5)6，x3f(x2)f(6)3，x4f(x3)f(3)1，x5f(x4)f(1)4，x6f(x5)f(4)2，x7f(x6)f(2)5x1，可知xn是周期为6的周期数列，x2014x41.8(文)(2012陕西文，12)观察下列不等式1，1，1，照此规律，第五个不等式为_答案1解析本题考查了归纳的思想方法观察可以发现，第n(n2)个不等式左端有n1项
6、，分子为1，分母依次为12,22,32，(n1)2；右端分母为n1，分子成等差数列，因此第n个不等式为1，所以第五个不等式为：11)行第2个数为f(n)，根据数表中上下两行数据关系，可以得到递推关系：f(n)_，并可解得通项f(n)_.答案f(n)f(n1)n1；f(n)解析观察图表知f(n)等于f(n1)与其相邻数n1的和递推关系为f(n)f(n1)n1，f(n)f(n1)n1，即f(2)f(1)1，f(3)f(2)2，f(4)f(3)3，f(n)f(n1)n1，相加得f(n).(理)观察下列等式：cos22cos21；cos48cos48cos21；cos632cos648cos418co
7、s21；cos8128cos8256cos6160cos432cos21；cos10mcos101280cos81120cos6ncos4pcos21.可以推测，mnp_.答案962解析由题易知：m29512，p51050m12801120np11，mnp162.n400，mnp962.10已知：a0，b0，ab1.求证：2.证明要证2，只需证ab24，又ab1，故只需证1，只需证(a)(b)1，只需证ab.a0，b0,1ab2，ab，故原不等式成立.能力拓展提升11.(文)观察(x2)2x，(x4)4x3，(cosx)sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，
8、记g(x)为f(x)的导函数，则g(x)()Af(x) Bf(x) Cg(x) Dg(x)答案D解析观察所给例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，f(x)f(x)，f(x)为偶函数，g(x)f (x)，g(x)g(x)，选D.(理)甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a1，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a1乘以2后再加上12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a1除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数a2.对实数a2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a3.当a3a1时，甲获胜，否则乙获胜若甲获胜
9、的概率为，则a1的取值范围是()A12,24B(12,24)C(，12)(24，)D(，1224，)答案D解析因为甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，出现的可能情形有4种：(正，正)、(正，反)、(反，正)、(反，反)，所以每次操作后，得到两种新数的概率是一样的故由题意得即4a136，a118，a136，a118出现的机会是均等的，由于当a3a1时甲胜，且甲胜的概率为，故在上面四个表达式中，有3个大于a1，a118a1，a136a1，故在其余二数中有且仅有一个大于a1，由4a136a1得a112，由a118a1得，a124，故当12a1”为全体实数排了一个“序”，类似地，我们在复数集C上也可以定义一
10、个称为“序”的关系，记为“”定义如下：对于任意两个复数z1a1b1i，z2a2b2i(a1、b1、a2、b2R，i为虚数单位)，当且仅当“a1a2”或“a1a2且b1b2时，z1z2”下列命题为假命题的是()A1i0B若z1z2，z2z3，则z1z3C若z1z2，则对于任意zC，z1zz2zD对于复数z0，若z1 z2，则zz1zz2答案D解析对于A，注意到110i，i01i,000i,10，则1i,00且10，则i0，因此有1i0，A正确对于B，由z1z2得“a1a2”或“a1a2且b1b2”；由z2z3得“a2a3”或“a2a3且b2b3”，于是有“a1a3”或“a1a3且b1b3”，即有
11、z1z3，选项B正确对于C，设zabi，由z1z2得“a1a2”或“a1a2且b1b2”，所以“a1aa2a”或“a1aa2a且b1bb2b”，即有z1zz2z，因此选项C正确对于D，取z12i0，z13，z23i，此时zz136i，zz263i，zz2zz1，因此选项D不正确综上所述，选D.13(2011蚌埠市质检)已知2，3，4，若7，(a、t均为正实数)，则类比以上等式，可推测a、t的值，at_.答案55解析类比所给等式可知a7，且7ta72a，即7t773，t48.at55.14(2011杭州市质检)设n为正整数，f(n)1，计算得f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，观察上述
12、结果，可推测一般的结论为_答案f(2n)(nN*)解析f(2)f(21)，f(4)f(22)2，f(8)f(23)，f(16)f(24)3，f(2n)(nN*)15已知命题：若数列an为等差数列，且ama，anb(mn，m、nN*)，则amn；现已知等比数列bn(nN*)，bma，bnb(mn，m、nN*)，先类比上述结论，得出在等比数列bn中bnm的表达式，再证明你所得出的结论解析等差数列中的bn和am可以类比等比数列中的bn和am，等差数列中的bnam可以类比等比数列中的，数列中的可以类比等比数列中的，故bmn.证明如下：设bnb1qn1，则bnmb1qnm1，bma，bnb，bqn(n1
13、)m(m1)bq(nm)(nm1)，b1qnm1bmn.16(2012福建理，17)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213cos217sin13cos17；sin215cos215sin15cos15；sin218cos212sin18cos12；sin2(18)cos248sin(18)cos48；sin2(25)cos255sin(25)cos55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解析(1)选择(2)式，计算如下：sin215cos215sin15cos151si
14、n301.(2)推广后的三角恒等式为sin2cos2(30)sincos(30).证明如下：sin2cos2(30)sincos(30)sin2(cos30cossin30sin)2sin(cos30cossin30sin)sin2cos2sincossin2sincossin2sin2cos2.解法二：(1)同解法一(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sincos(30).证明如下：sin2cos2(30)sincos(30)sin(cos30cossin30sin)cos2(cos60cos2sin60sin2)sincossin2cos2cos2sin2sin2(1cos2)1co
15、s2cos2.1设ABC的三边长分别为a、b、c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r；类比这个结论可知：四面体SABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体SABC的体积为V，则r()A. B.C. D.答案C解析设三棱锥的内切球球心为O，那么由VSABCVOABCVOSABVOSACVOSBC，即VS1rS2rS3rS4r，可得r.2(2011陕西文，13)观察下列等式11234934567254567891049照此规律，第五个等式应为_答案567891011121381解析第1个等式有1项，从1开始第2个等式有3项，从2开始第3个等式有5项，从3开始第4
16、个等式有7项，从4开始每个等式左边都是相邻自然数的和，右边是项数的平方，故由已知4个等式的变化规律可知，第5个等式有9项，从5开始等式右边不92，故为567891011121381.点评观察各等式特点可得出一般结论：n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2.3(1)由“若a，b，cR，则(ab)ca(bc)”类比得到“若a、b、c为三个平面向量，则(ab)ca(bc)”(2)在数列an中，a10，an12an2，通过归纳得到猜想an2n2(3)在平面内“三角形的两边之和大于第三边”，类比得到在空间中的结论：“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”(4)若f(x)2cos2x2sinx
17、cosx，则f1上述四个推理中，得出的结论正确的是_答案(2)(3)解析(1)不正确，(ab)c与c共线，a(bc)与a共线，而a与c不一定共线；(2)正确，由an12an2得an122(an2)，an2是首项为a122，公比为2的等比数列，an22n，an2n2；(3)正确，由四面体ABCD的任意一个顶点如A，向对面作垂线垂足为O，则BOC，COD，BOD分别为ABC，ACD，ABD在平面BCD内的射影，而SABCSACDSABDSBOCSCODSBODSBCD；(4)错误，f(x)cos2xsin2x1，fcossin121.4经过圆x2y2r2上一点M(x0，y0)的切线方程为x0xy0
18、yr2.类比上述性质，可以得到椭圆1类似的性质为：经过椭圆1上一点P(x0，y0)的切线方程为_答案1解析过圆上一点M(x0，y0)的切线方程是把圆的方程中的x2、y2中的一个x和一个y分别用x0、y0代替，圆和椭圆都是封闭曲线，类比圆上一点的切线方程可以得到，过椭圆上一点P(x0，y0)的切线方程也是把椭圆方程中的x2、y2中的一个x和一个y分别用x0、y0代替，即得到切线方程为1.例如过椭圆y21上一点(1，)的切线方程为y1，即x2y40.5(2012温州适应性测试)若数列an的各项按如下规律排列：，则a2012_.答案解析依题意得，将该数列中分子相同的项分成一组，第n组中的数出现的规律
19、是：第n组中的数共有n个，并且每个数的分子均是n1，相应的分母依次由1增大到n.由于195320122016，又2012195359，因此题中的数列中的第2012项应位于第63组中的第59个数，则题中的数列中的第2012项的分子等于64，相应的分母等于59，即a2012.6先解答(1)，再根据结构类比解答(2)：(1)已知a、b为实数，且|a|1，|b|ab.(2)已知a、b、c均为实数，且|a|1，|b|1，|c|abc.解析(1)ab1(ab)(a1)(b1)0，ab1ab.(2)|a|1，|b|1，|c|abc，abc2(ab)c11(abc)1(ab1)cabc.你能再用归纳推理方法猜
20、想出更一般地结论吗？即xiR，|xi|1(i1,2，n)时，有_7观察sin210cos240sin10cos40；sin26cos236sin6cos36.由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想解析观察401030，36630，由此猜想：sin2cos2(30)sincos(30).证明：sin2cos2(30)sincos(30)sin(302)sin301cos(602)cos2sin(302)12sin(302)sin30sin(302)(sin302).8.如图(1)，过四面体VABC的底面内任一点O分别作OA1VA，OB1VB，OC1VC，A1、B1、C1分别是所作直线与侧面交点求证：为定值分析：考虑平面上的类似命题：“过ABC底边AB上任一点O分别作OA1AC，OB1BC，分别交BC，AC于A1，B1，求证为定值”这一命题利用相似三角形的性质很容易推出其为定值1.另外，过A，O分别作BC垂线，过B，O分别作AC垂线，则用面积法也不难证明定值为1.于是类比到空间图形，也可用两种方法证明其定值为1.证明如图(2)，设平面OA1VABCM，平面OB1VBACN，平面OC1VCABL，则有MOA1MAV，NOB1NBV，LOC1LCN.得.在底面ABC中，由于AM，BN，CL交于一点O，1.为定值1.版权所有：高考资源网()