1、二十六 一次函数、二次函数、幂函数模型的应用举例【基础全面练】(15 分钟 30 分)1国庆节期间，某商场为吸引顾客，实行买 100 送 20 活动，即顾客购物每满 100元，就可以获赠商场购物券 20 元，可以当作现金继续购物如果你有 1 460 元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计()A280 元 B320 元 C340 元 D360 元【解析】选 D.由题意可知，1 4601 4002040，1 400 元现金可送 280 元购物券，把 280 元购物券当作现金加上 20 元现金可送 60 元购物券，再把 60 元购物券当作现金加上 40 元现金可获送 20 元购物券，
2、所以最多可以获赠购物券 2806020360(元).2一辆汽车在某段路程中的行驶路程 s 关于时间 t 变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是()A一次函数 B二次函数C分段函数 D幂函数【解析】选 C.由题图可知，该图象是折线图，所对应的函数模型是分段函数模型3某公司共有职工 8 000 名，从中随机抽取了 100 名，调查上、下班乘车所用时间，得表：时间0，20)20，40)40，60)60，80)80，100)人数25501555公司规定，按照乘车所用时间每月发给职工路途补贴，补贴金额 y(元)与乘车时间 t(分钟)的关系是 y20040t20，其中t20表示不超过t20的最大整
3、数则样本中公司每月用于职工路途补贴不超过 300 元的人数为()A25 B75 C90 D95【解析】选 C.当 0t60 时，y20040t20280300，当 60t100 时 y20040t20320300，所以公司每月用于路途补贴不超过 300 元的人数为 90.4生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品 x 万件时的生产成本(单位：万元)为 C(x)12 x22x20.已知 1 万件售价是 20 万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为()A36 万件 B22 万件C18 万件 D9 万件【解析】选 C.因为利润 L(x)20 xC(x)12(x
4、18)2142，所以当 x18 时，L(x)取最大值5某市“网约车”的现行计价标准是：路程在 2 km 以内(含 2 km)按起步价 8 元收取，超过 2 km 后的路程按 1.9 元/km 收取，但超过 10 km 后的路程需加收 50%的返空费(即单价为 1.9(150%)2.85 元/km).(1)将某乘客搭乘一次“网约车”的费用 f(x)(单位：元)表示为行程 x(0 x60，单位：km)的分段函数；(2)某乘客的行程为 16 km，他准备先乘一辆“网约车”行驶 8 km 后，再换乘另一辆“网约车”完成余下行程，请问他这样做是否比只乘一辆“网约车”完成全部行程更省钱？请说明理由【解 析
5、】(1)由 题 意 得，车 费f(x)关 于 路 程x的 函 数 为f(x)8，0 x2，81.9（x2），2x10，81.982.85（x10），10 x608，0 x2，4.21.9x，2x10，2.85x5.3，1038.8，所以该乘客换乘比只乘一辆车更省钱【综合突破练】(30 分钟 60 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形的两边长 x，y 应分别为()A.15，12 B12，15C15，20 D15，24【解析】选 A.由题图
6、知 x，y 满足关系式 x20 24y248，即 y2445 x，矩形的面积Sxyx2445x45(x15)2180，故 x15，y12 时 S 取最大值2某上市股票在 30 天内每股的交易价格 P(元)与时间 t(天)所组成的有序数对(t，P)，点(t，P)落在图中的两条线段上；该股票在 30 天内的日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的部分数据如表所示，且 Q 与 t 满足一次函数关系，那么在这 30 天中第几天日交易额最大()第 t 天4101622Q/万股36302418A.10 B15 C20 D25【解析】选 B.当 0t20 时，设 Patb，则由题意可知其图象过点(0，2)，(
7、20，6)，所以b2，620ab，解得 b2，a15，所以 P15 t2；同理可得当 20t30 时，P 110 t8，综上可得，P15t2，0t20，110t8，20t30，由题意可设 Qktm，把(4，36)，(10，30)代入可得364km，3010km，解得 k1，m40，所以 Qt40；所以 yPQ15t2（t40），0t20，110t8（t40），20t30，当 0t20 时，t15 时，ymax125 万元，当 20t30 时，t20 时，ymax120 万元，综上可得，第 15 日的交易额最大为 125 万元3运动员推出铅球后铅球在空中的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，铅球在
8、空中飞行的竖直高度 y(单位：m)与水平距离 x(单位：m)近似地满足函数关系 yax2bxc(a0).如表记录了铅球飞行中的 x 与 y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该铅球飞行到最高点时，水平距离为()x/m036y/m1.832.7A.2.5 m B3 m C3.9 m D5 m【解析】选 C.把(0，1.8)，(3，3)，(6，2.7)分别代入 yax2bxc，可得c1.8，9a3bc3，36a6bc2.7，解得 a 112，b1320，c95，则 y 112 x21320 x95，所以当 x13202 1123.9 时，y 取得最大值，故可推断出该铅球飞行到最高点时，水
9、平距离为 3.9 m4某企业为了节能减排，用 9 万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用 2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加 3 万元，该设备每年生产的收入均为 21 万元设该设备使用了 n(nN*)年后，盈利总额达到最大值(盈利总额总收入总成本)，则 n 等于()A6 B7 C8 D7 或 8【解析】选 B.盈利总额为 21n92n12n（n1）332 n2412 n9.因为其对应的函数的图象的对称轴方程为 n416，所以当 n7 时取最大值，即盈利总额达到最大值5如图，ABO 为正三角形，直线 xt 截三角形得ABO 左侧的阴影图形，当直线自左向右匀速移动时(0ta)，阴
10、影图形面积 S 关于 t 的函数图象大致是()【解析】选 A.由已知可求出 S 关于 t 的函数关系是：S 32 t2，0ta2，32 t2 3at 34 a2，a2ta.所以 A 选项符合题意二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)6某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 200 元，每桶水的进价是 5元当销售单价为 6 元时，日均销售量为 480 桶根据数据分析，销售单价在进价基础上每增加 1 元，日均销售量就减少 40 桶为了使日均销售利润最大，销售单价应定为_元【解析】设定价在进价的基础上增加 x 元，日销售利润为 y 元，则 yx48040(x1)200，由于 x0，且 5
11、2040 x0，所以，0 x13；即 y40 x2520 x200，0 x13.所以当 x5202（40）6.5 时，y 取最大值此时售价为 6.5511.5.答案：11.57某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产已知该生产线连续生产 n 年的累计产量为 f(n)12 n(n1)(2n1)吨，但如果年产量超过 150 吨，将会给环境造成危害为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是_年【解析】由题意可知，设第 n 年产量为 an 吨，则第一年产量 a1f(1)12 1233；以后各年产量为 anf(n)f(n1)12 n(n1)(2n1)12 n(n
12、1)(2n1)3n2(nN*)，令 3n2150，得 1n5 2 1n7，故生产期限最长为 7 年答案：78为了在“十一”黄金周期间降价促销，某超市对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：如果不超过 200 元，则不予优惠；如果超过 200 元，但不超过500 元，则按标价给予 9 折优惠；如果超过 500 元，其中 500 元按第条给予优惠，超过 500 元的部分给予 7 折优惠辛云和她母亲两次去购物，分别付款 168 元和 423元，假设她们一次性购买上述同样的商品，则应付款额为_元【解析】依题意，价值为 x 元和实际付款数 f(x)之间的函数关系式为f(x)x，0 x200，0.9
13、x，200500.当 f(x)168 时，由 1680.9187200，故此时 x168；当 f(x)423 时，由 4230.9470(200，500，故此时 x470.所以两次共购得价值为 470168638(元)的商品，所以 5000.9(638500)0.7546.6(元)，故若一次性购买上述商品，应付款额为 546.6 元答案：546.6三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)9食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来了一定的危害为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入资金 200 万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入资金
14、20 万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入 P、种黄瓜的年收入 Q 与各自的资金投入 a1，a2(单位：万元)满足 P804 2a1，Q14 a2120.设甲大棚的资金投入为 x(单位：万元)，每年两个大棚的总收入为 f(x)(单位：万元).(1)求 f(50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的资金投入，才能使总收入 f(x)最大【解析】(1)因为甲大棚的资金投入为 50 万元，则乙大棚的资金投入为 150 万元，所以 f(50)804 250 14 150120277.5(万元).(2)f(x)80 42x 14(200 x)120 14 x
15、42x 250，依 题 意 得x20，200 x20，解得 20 x180，所以 f(x)14 x4 2x 250(20 x180).令 t x 2 5，6 5，则 f(x)转化为y14 t24 2 t25014(t8 2)2282，当 t8 2，即 x128 时，f(x)max282(万元).所以当甲大棚投入资金 128 万元，乙大棚投入资金 72 万元时，总收入最大，且最大总收入为 282 万元【补偿训练】某校学生研究小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化，老师讲课开始时，学生的兴趣激增；接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散设 f(x)表示学
16、生注意力指标，该小组发现 f(x)随时间 x(分钟)的变化规律(f(x)越大，表明学生的注意力越集中)如下：f(x)100ax1060，0 x10，340，10 x20，64015x，200，a1)，若上课后第5分钟时的注意力指标为140，回答下列问题：(1)求 a 的值(2)上课后第 5 分钟时和下课前 5 分钟时比较，哪个时间注意力更集中？并请说明理由(3)在一节课中，学生的注意力指标至少达到 140 的时间能保持多长？【解析】(1)由题意得，当 x5 时，f(x)140，即 100a510 60140，解得，a4.(2)f(5)140，f(35)1535640115，由于 f(5)f(3
17、5)，故上课后第 5 分钟时比下课前 5 分钟时注意力更集中(3)当 0 x10 时，由(1)知，f(x)140 的解集为5，10，当 10 x20 时，f(x)340140，成立；当 20 x40 时，15x640140，故 20 x1003，综上所述，5x1003，故学生的注意力指标至少达到 140 的时间能保持10035853 分钟10某种新产品投放市场的 100 天中，前 40 天价格呈直线上升，而后 60 天其价格呈直线下降，现统计出其中 4 天的价格如表：时间第 4 天 第32天 第60天 第90天价格(千元)2330227(1)写出价格 f(x)关于时间 x 的函数关系式(x 表
18、示投放市场的第 x 天，xN*).(2)销售量 g(x)与时间 x 的函数关系式为 g(x)13 x1093(1x100，xN*)，则该产品投放市场第几天的销售额最高？最高为多少千元？【解析】(1)当 0 x40 时，设 f(x)kxb，则有4kb23，32kb30k14，b22，所以 f(x)14 x22(0 x40，xN*).同理 f(x)12 x52(40 x100，xN*)，故 f(x)14x22，0 x40，12x52，40 x100 xN*.(2)设日销售额为 S(x)千元，则当 0 x40，xN*时，S(x)f(x)g(x)14x2213x1093 112(x88)(x109).
19、其图象的对称轴为 x10988210.5，所以当 x10，11 时，S(x)取最大值，S(x)max808.5.当 40 x100，xN*时，S(x)12x5213x109316(x104)(x109).其图象的对称轴为 x1041092106.5，所以当 40 x100，xN*时，S(x)S(40)736808.5.综上可得，该产品投放市场第 10 天和第 11 天的销售额最高，最高销售额为 808.5 千元【应用创新练】1有甲、乙两种商品，经销这两种商品所能获得的利润分别是 p 万元和 q 万元，它们与投入资金 x 万元的关系是：p15 x，q35x，今有 3 万元资金投入经营这两种商品对
20、乙种商品的投入资金为_万元时，能获取最大利润，最大利润为_万元【解析】设对乙种商品投入资金为 x 万元，则对甲种投入资金为(3x)万元，此时获得利润为 y 万元，则由题意知：ypq15(3x)35x 15 x35x 35(0 x3)，令 x t，则 y15 t235 t35 15 t3222120(0t 3)，当 t32，即 x 32，x94 时，ymax2120.所以当对乙种商品的投入资金为94 万元时，能获得最大利润，最大利润为2120 万元答案：94 21202近年来“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资 120 万元，根据行业规定，每个
21、城市至少要投资 40 万元，由前期市场调研可知：甲城市收益 P 与投入 a(单位：万元)满足 P3 2a 6，乙城市收益 Q 与投入 a(单位：万元)满足 Q14 a2.设甲城市的投入为 x(单位：万元)，两个城市的总收益为 f(x)(单位：万元).(1)当甲城市投资 50 万元时，求此时公司在甲、乙两个城市的总收益(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？最大收益是多少？【解析】(1)当 x50 时，此时甲城市投资 50 万元，乙城市投资 70 万元，所以总收益 f(50)3 250 614 70243.5(万元).(2)由题知，甲城市投资 x 万元，乙城市投资(120 x)万元，所以 f(x)3 2x 614(120 x)214 x3 2x 26，依题意得x40，120 x40，解得 40 x80.所以 f(x)14 x3 2x 26(40 x80)，令 t x，则 t2 10，4 5，所以 y14 t23 2 t2614(t6 2)244.当 t6 2，即 x72 万元时，y 的最大值为 44 万元所以当甲城市投资 72 万元，乙城市投资 48 万元时，总收益最大，且最大收益为 44万元