1、33 空间向量运算的坐标表示01课前 自主梳理02课堂 合作探究03课时 跟踪训练一、各种运算的坐标表示设 a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则向量运算坐标表示加法ab减法ab数乘a(R)数量积ab(x1x2，y1y2，z1z2)(x1x2，y1y2，z1z2)(x1，y1，z1)x1x2y1y2z1z2二、平行、垂直、模长、夹角的坐标表示设 a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则(1)若 b0，则 abab (R)；(2)abab0 ，|a|a2，cosa，b ab|a|b|(a0，b0)三、空间向量的坐标表示若 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则A
2、B x1x2，y1y2，z1z2x1x2y1y2z1z20 x21y21z21x1x2y1y2z1z2x21y21z21 x22y22z22(x2x1，y2y1，z2z1)疑难提示空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算之间的关系空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算的基本思想方法、形式都类似，只不过从二维运算到三维运算而已，仅多了一项竖坐标，其运算法则与横、纵坐标一致想一想1把向量AB(x，y，z)平移后，其坐标如何变化？提示：点 A，B 的坐标会发生变化，向量AB 的坐标不变练一练2已知 a(1,2，3)，b(5，7,8)，则 2ab 的坐标为()A(7，3,2)B(6，5,5)C(6，3,
3、2)D(11，12,13)解析：2ab2(1,2，3)(5，7,8)(2,4，6)(5，7,8)(7，3,2)答案：A3已知 a(2，3,5)，b(3,1，4)，则 ab 的值为()A20 B29 C20 D29解析：ab(2，3,5)(3,1，4)2(3)(3)15(4)632029.答案：B探究一 利用坐标表示空间向量典例 1 已知 O 为坐标原点，A、B、C 三点的坐标分别是(2，1,2)、(4,5，1)、(2,2,3)求点 P 的坐标，使：(1)OP 12(AB AC)；(2)AP12(AB AC)解析 由已知可得：AB(4,5，1)(2，1,2)(2,6，3)，AC(2,2,3)(2
4、，1,2)(4,3,1)(1)OP 12(AB AC)12(2,6，3)(4,3,1)(3，32，2)，所以 P 点的坐标为(3，32，2)(2)设 P(x，y，z)，则AP(x2，y1，z2)因为12(AB AC)(3，32，2)，所以AP(x2，y1，z2)(3，32，2)，解得：x5，y12，z0，则 P 点的坐标为(5，12，0)建立空间直角坐标系来求点或向量的坐标，关键在于建系，建系的关键是要有特殊的图形环境：有公共顶点的两两垂直的三条线若图中没有这样的环境，第一步就是选择或创造(作辅助线)建立空间直角坐标系的适宜环境1如图所示的空间直角坐标系中，正方体 ABCDA1B1C1D1 的
5、棱长为 1，B1E114A1B1，则BE1()A.0，14，1 B.14，0，1C.0，14，1D.14，0，1解析：由于 B(1,1,0)，E11，34，1，所以BE1 0，14，1.答案：C2.如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1，底面ABC 中，CACB1，BCA90，棱 AA12，M，N 分别为 A1B1，A1A 的中点，试建立适当的空间直角坐标系，并求向量BN，BA1，A1B，C1M 的坐标解析：以 C 点为坐标原点，分别以CA、CB、CC1 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系BN(1，1,1)，BA1(1，1,2)，A1B(1,1，2)，C1M(12，12，
6、0)探究二 坐标形式下平行与垂直条件的应用典例 2 已知空间三点 A(1,1,3)，B(0,2,3)，C(2,1,5)，设 aAB，bAC.(1)若|c|3，且 cBC，求 c；(2)若 kab 与 ka2b 互相垂直，求 k 的值；(3)若(ab)(ab)与 y 轴垂直，求，满足的关系式解析(1)cBC，cmBC m(2，1,2)(2m，m,2m)(mR)，|c|2m2m22m23|m|3，m1，c(2，1,2)或 c(2,1，2)(2)a(1,1,0)，b(1,0,2)，ab(1,1,0)(1,0,2)1.又|a|12120 2，|b|12022 5，(kab)(ka2b)k2a2kab2
7、b22k2k100，得 k2 或 k52.(3)ab(0,1,2)，ab(2,1，2)，(ab)(ab)(2，22)，由(ab)(ab)(0,1,0)0，得 0，即当 与 满足关系式 0 时，可使(ab)(ab)与 y 轴垂直用坐标运算解决向量平行、垂直有关问题，要注意以下两个等价关系的应用：(1)若 a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)(b 为非零向量)，则 abx1x2，且 y1y2 且z1z2(R)若 b0 时，必有 ab，必要时应对 b 是否为 0 进行讨论(2)abx1x2y1y2z1z20.3.如图所示，在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，以 D 为坐
8、标原点，DA，DC，DD1分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系过 B 作 BMAC1 于 M，求点 M 的坐标解析：法一：设 M(x，y，z)，由图可知：A(a,0,0)，B(a，a,0)，C1(0，a，a)，则AC1(a，a，a)，AM(xa，y，z)，BM(xa，ya，z)BM AC1，BM AC1 0，a(xa)a(ya)az0，即 xyz0.又AC1 AM，xaa，ya，za，即 xaa，ya，za.由得 x2a3，ya3，za3.M2a3，a3，a3.法二：设AM AC1(a，a，a)，BM BA AM(0，a,0)(a，a，a)(a，aa，a)BMAC1，BM AC1
9、0即 a2a2a2a20，解得 13，AM a3，a3，a3，DM DA AM 2a3，a3，a3.M 点坐标2a3，a3，a3.4已知向量 a(x,1,2)，b(1，y，2)，c(3,1，z)，ab，bc.(1)求向量 a，b，c；(2)求 ac 与 bc 所成角的余弦值解析：(1)向量 a(x,1,2)，b(1，y，2)，c(3,1，z)，且 ab，bc，x11y 22，3y2z0解得x1y1z1，向量 a(1,1,2)，b(1，1，2)，c(3,1,1)(2)ac(2,2,3)，bc(4,0，1)，(ac)(bc)24203(1)5，|ac|222232 17，|bc|420212 17
10、，ac 与 bc 所成角的余弦值为acbc|ac|bc|517.探究三 空间向量坐标的基本运算及其应用空间向量坐标的基本运算及其应用 利用运算法则进行基本运算 求解向量的夹角 求解向量的长度 坐标运算的综合应用5已知 a(2，1，2)，b(0，1,4)，求(1)ab；(2)ab；(3)ab；(4)2a(b)；(5)(ab)(ab)；(6)以 a，b 为邻边的平行四边形的面积解析：(1)ab(2，1，2)(0，1,4)(2，2,2)(2)ab(2，1，2)(0，1,4)(2,0，6)(3)ab(2，1，2)(0，1,4)7.(4)2a(b)2(2，1，2)(0，1,4)(4，2，4)(0,1，4
11、)14.(5)(ab)(ab)(2，2,2)(2,0，6)8.(6)cosa，b ab|a|b|73 177 1751，sina，b2 263 17，S|a|b|sina，b3 172 263 172 26.6设空间两个单位向量OA(m，n,0)，OB(0，n，p)，它们与OC(1,1,1)的夹角都等于4，求 cosAOB.解析：由题意得：|OA|m2n21，|OB|n2p21，|OC|121212 3，cosOA，OC cos4 OA OC|OA|OC|mn1 3mn3 22.同理可得：cosOB，OC cos4 OB OC|OB|OC|np1 3np3 22.可以解得：n 6 24.cos
12、AOBcosOA，OB OA OB|OA|OB|OA OB n22 34.7在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACBC1，BCA90，AA12，P，Q 分别为 A1B1，A1A 的中点(1)求BQ 的长；(2)求 cosBQ，CB1，cosBA1，CB1，并比较BQ，CB1 与BA1，CB1 的大小；(3)求证：AB1 C1P.解析：(1)以 C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系由已知，得 C(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C1(0，0,2)，P12，12，2，Q(1,0,1)，B1(0,1,2)，A1(1,0,2)BQ(1，1,1)，CB1(0,1,2)，BA1(
13、1，1,2)，AB1(1,1,2)，C1P 12，12，0，|BQ|121212 3.(2)BQ CB1 0121，|BQ|3，|CB1|5，cosBQ，CB1 13 5 1515.又BA1 CB1 0143，|BA1|6，|CB1|5，cosBA1，CB1 36 5 3010.又 0 1515 3010 BA1，CB1(3)证明：AB1 C1P(1,1,2)12，12，0 0，AB1 C1P.8在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F 分别是 D1D、BD 的中点，G在棱 CD 上，且 CG13GD，H 为 C1G 的中点，(1)求证：EFB1C；(2)求 EF 与 C1
14、G 所成角的余弦值；(3)求 FH 的长解析：以 D 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则有E(0,0，12)，F(12，12，0)，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1，1)，G(0，34，0)(1)证明：EF(12，12，0)(0,0，12)(12，12，12)，B1C(0,1,0)(1,1,1)(1,0，1)，EF B1C 12(1)120(12)(1)120120.EF B1C，即 EFB1C.(2)C1G(0，34，0)(0,1,1)(0，14，1)，|C1G|174.又EF C1G 12012(14)(12)(1)38，|EF|141414 32.cosEF，C1
15、G EF C1G|EF|C1G|5117.(3)F(12，12，0)，H(0，78，12)，FH(12，38，12)|FH|122382122 418.即 FH 的长为 418.因忽视隐含条件致误典例 已知向量 a(2,3，1)，b(2，m,1)，若 a 与 b 的夹角为钝角，则实数m 的取值范围为_解析 由已知 ab2(2)3m13m5.因为 a 与 b 的夹角为钝角，所以 ab0，所以 3m50，即 m53.若 a 与 b 的夹角为，则存在 0，使 ab(0)，即(2,3，1)(2，m,1)，所以22，3m，1，所以 m3，故 m 的取值范围是(，3)3，53.答案(，3)3，53错因与防范 本例易列出 ab0 求解而得出错误的答案，53，忽略了 ab(0，ab0，a，b2，ab0，ab0.03课时 跟踪训练