1、二十三 方程的根与函数的零点【基础全面练】(20 分钟 35 分)1函数 f(x)x3x 的零点个数是()A0 B1 C2 D3【解析】选 D.f(x)x(x1)(x1)，令 x(x1)(x1)0，解得 x0 或 x1 或 x1，即函数的零点为1，0，1，共 3 个2函数 f(x)lg x9x 的零点所在的大致区间是()A(6，7)B(7，8)C(8，9)D(9，10)【解析】选 D.因为 f(6)lg 696 lg 632 0，f(7)lg 797 0，f(8)lg 898 0，f(9)lg 910，所以 f(9)f(10)0.所以 f(x)lg x9x 的零点所在的大致区间为(9，10).
2、故选 D.3若函数 yf(x)在区间a，b上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是()A若 f(a)f(b)0，则不存在实数 c(a，b)，使得 f(c)0B若 f(a)f(b)0，则存在且只存在一个实数 c(a，b)，使得 f(c)0C若 f(a)f(b)0，则有可能存在实数 c(a，b)，使得 f(c)0D若 f(a)f(b)0，则有可能不存在实数 c(a，b)，使得 f(c)0【解析】选 C.根据函数零点存在性定理可判断，若 f(a)f(b)0，则一定存在实数 c(a，b)，使 f(c)0，但 c 的个数不确定，故 B，D 错若 f(a)f(b)0，则有可能存在实数 c(a，b)
3、，使得 f(c)0，如 f(x)x21，f(2)f(2)0，但 f(x)x21 在(2，2)内有两个零点，故 A 错，C 正确4若函数 y12|x|m 有两个零点，则 m 的取值范围是_.【解析】在同一直角坐标系内，画出 y112|x|和 y2m 的图象，如图所示，由于函数有两个零点，故 0m1.答案：0m15根据表格中的数据，可以判定方程 exx20 的一个实根所在的区间为(k，k1)(kN)，则 k 的值为_x10123ex0.3712.727.3920.09x212345【解析】记 f(x)exx2，则该函数的零点就是方程 exx20 的实根由题表可知 f(1)0.3710，f(0)12
4、0，f(1)2.7230，f(3)20.0950.由零点存在性定理可得 f(1)f(2)0，故函数的零点所在的区间为(1，2)，所以 k1.答案：16(2020东城高一检测)已知函数 yf(x)为定义在(，0)(0，)上的奇函数，且当 x0 时 f(x)13x22，03，(1)试求 f(2)的值(2)求出 f(x)的零点【解析】(1)由已知得 f(2)f(2)，2(0，3，f(2)23，所以 f(2)23.(2)由13 x220，且 0 x3，解得 x 6，又 f(x)为奇函数，可得另一个零点为 x 6，综上，f(x)的零点为 6 和 6.【综合突破练】(30 分钟 60 分)一、选择题(每小
5、题 5 分，共 25 分)1已知函数 f(x)的图象是连续不断的，给出 x，f(x)的对应值表由表可知函数 f(x)存在零点的区间至少有()A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【解析】选 D.因为 f(2)f(3)0，f(3)f(4)0，f(4)f(5)0，f(6)f(7)2，x3，所以 f(x)（x1）ln（x2）x30，即无零点3若方程|lg x|13xa0 有两个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是()A13，B，13C(1，)D(，1)【解析】选 B.因为|lg x|13xa0 有两个不相等的实数根函数 y|lg x|与 函数 y13xa 的图象有两个不同的交点，在同一直角坐标系
6、中画出两个函数的图象，如图：要使两个函数的图象有两个交点，必须有131a0，解得 a13.4已知 f(x)(xa)(xb)2，并且，是函数 f(x)的两个零点，则实数 a，b，的大小关系可能是()Aab BabCab Dab【解析】选 C.因为，是函数 f(x)的两个零点，所以 f()f()0.又因为 f(x)(xa)(xb)2，所以 f(a)f(b)20 的解集是()A(1，1)B(，1)(1，)C(0，1)D(，0)(1，)【解析】选 D.结合选项，发现区间端点有1，0，1，特殊值法，检验 f(2)10，所以解集里有 2，排除 A，C，f(1)12 0，所以解集里有1，排除 B，选 D.二
7、、填空题(每小题 5 分，共 15 分)6已知函数 f(x)1x，x1x3，x1，若关于 x 的方程 f(x)k 有两个不同零点，则 k 的取值范围是_【解析】作出 f(x)的函数图象如图所示：因为 f(x)k 有两个不同解，所以 0k1.答案：(0，1)7函数 f(x)3xx5 的零点 x0a，b，且 ba1，a，bN*，则 ab_【解析】因为 ba1，a，bN*，f(1)31510，f(2)92560，所以 f(1)f(2)0，所以 a1，b2，则 ab3.答案：38已知函数 f(x)12x34，x2，log2x，0 x0，即 k56 或 k23 时，两函数图象有两个不同的交点，对应方程有
8、两个不等实根10已知函数 f(x)x2x，x1，log2（x1），x1.(1)在如图的坐标系中，作出函数 f(x)的图象并写出单调区间(2)若 f(a)2，求实数 a 的值(3)当 m 为何值时，f(x)m0 有三个不同的零点【解析】(1)函数图象如图，由图可知，函数的减区间为，12；增区间为12，1，(1，).(2)由 f(a)2，得 a2a2(a1)或 log2(a1)2(a1).解得 a1 或 a5.(3)由图可知要使 f(x)m0 有三个不同的零点，则14 m0，解得 0m14.【应用创新练】1已知函数 f(x)x24xa，x1，ln x1，x1.若方程 f(x)2 有两个解，则实数
9、a 的取值范围是_【解析】函数 f(x)x24xa，x12，则在(0，)上，f(x)12，又由函数 f(x)为奇函数，则当 x0 时，f(x)12，故函数 f(x)的值域为，1212，；则当12 a12 时，f(x)a 无实根，此时函数 g(x)没有零点【补偿训练】已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x0 时，f(x)x22x.(1)求 f(0)及 f(f(1)的值(2)求函数 f(x)在(，0)上的解析式(3)若关于 x 的方程 f(x)m0 有四个不同的实数解，求实数 m 的取值范围【解析】(1)根据题意当 x0 时，f(x)x22x；则 f(0)0，f(1)121，又由函数 f(x)为偶函数，则 f(1)f(1)1，则 f(f(1)f(1)1.(2)设 x0，则x0，则有 f(x)(x)22(x)x22x，又由函数 f(x)为偶函数，则 f(x)f(x)x22x，则当 x0 时，f(x)x22x.(3)若方程 f(x)m0 有四个不同的实数解，则函数 yf(x)与直线 ym 有 4 个交点，而 yf(x)的图象如图：分析可得1m0；故 m 的取值范围是(1，0).