1、1 从平面向量到空间向量01课前 自主梳理02课堂 合作探究03课时 跟踪训练一、空间向量定义在空间中，既有 又有 的量，叫作空间向量表示方法 用 a，b，c 表示；用表示，如：AB，其中叫作向量的起点，叫作向量的终点自由向量 数学中所讨论的向量与向量的无关，称之为自由向量大小方向有向线段AB起点长度或模与平面向量一样，空间向量AB 或 a 的也叫作向量的长度或模，用或表示定义如图，两非零向量 a，b，在空间中任取一点O，作OA a，OB b，则 叫作向量 a，b 的夹角，记作夹角范围规定向量垂直当a，b 时，向量 a 与 b 垂直，记作向量平行当a，b时，向量 a 与 b 平行，记作大小AO
2、B|AB|a|a，b0a，b2ab0 或 ab二、向量、直线、平面1直线的方向向量设 l 是空间一直线，A，B 是直线 l 上任意两点，则称 为直线 l 的方向向量2平面的法向量如果直线 l 垂直于平面，那么把直线 l 的叫作平面 的法向量平面 有个法向量，平面 的所有法向量都无数平行AB方向向量 a疑难提示空间向量与平面向量的关系平面向量的集合是空间向量集合的子集，空间向量内容是平面向量内容的扩展因此，平面向量的概念在空间向量中仍然成立如零向量、单位向量、相等向量、相反向量、平行向量等概念在空间向量中仍然成立想一想1当空间中两直线平行时，它们的方向向量有什么样的关系？其方向向量的夹角是多少？
3、提示：由于直线与其方向向量平行，故当两直线平行时，它们的方向向量也平行，从而其夹角为 0(同向时)或(反向时)练一练2在长方体 ABCDABCD的棱所在的向量中，与向量AA 的模相等的向量至少有()A0 个 B3 个C7 个D9 个解析：与向量AA 的模一定相等的向量有AA，BB，BB，CC，CC，DD，DD，共 7 个答案：C3下列命题中正确的是()A若 a 与 b 共线，b 与 c 共线，则 a 与 c 共线B若向量 a，b 平行，则 a，b 所在直线平行C零向量没有确定的方向D直线的所有方向向量方向相同解析：对于 A，若 b 为零向量，则 a 与 c 不一定共线，故 A 错；对于 B，考
4、虑到零向量与任意向量平行，可知 B 错；C 正确；显然 D 错，故选 C.答案：C4若空间向量 m，n，p 满足 mn，np，则 m_p.答案：探究一 空间向量的概念辨析典例 1 下列关于单位向量与零向量的叙述中，正确的是()A零向量是没有方向的向量，两个单位向量的模相等B零向量的方向是任意的，所有单位向量都相等C零向量的长度为 0，两个单位向量不一定是相等向量D零向量只有一个方向，模相等的单位向量的方向不一定相同解析 因为零向量的方向是任意的，且长度为 0，两个单位向量的模相等，但方向不一定相同，故选 C.答案 C对于概念辨析题，准确熟练地掌握有关概念的差别，特别是细微之处的差别，是解决这类
5、问题的关键1下列说法正确的有_若|a|b|，则 ab 或 ab；0 方向任意；相等向量是指它们的起点与终点对应重合解析：中|a|b|仅说明模相等，方向没有限定；中相等向量指大小相等、方向相同，但起点与终点不一定重合的向量答案：2如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB3，AD2，AA11.则以八个顶点中的两点分别为起点和终点的向量中：(1)单位向量是哪几个？(2)模为 5的向量是哪些？(3)与AB 相等的向量是哪些？(4)AA1 的相反向量是哪些？解析：(1)由于长方体的高为 1，所以长方体的四条高对应的向量AA1，A1A，BB1，B1B，CC1，C1C，DD1，D1D 为单位向
6、量(2)由于长方体左、右两侧的面的对角线长均为 5，故模为 5的向量有AD1，D1A，A1D，DA1，BC1，C1B，B1C，CB1.(3)与AB 相等的向量有A1B1，DC，D1C1.(4)AA1 的相反向量为A1A，B1B，C1C，D1D.探究二 求向量之间的夹角典例 2 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求：(1)EF，A1C1，A1C1，FE；(2)AB，BC，A1B1，AD1 解析(1)如图所示，连接 AC，E，F 分别是 AB，BC 的中点，EFAC，EF A1C1，且方向相同，EF，A1C1 0.A1C1 FE，且方向相反，A1C1，F
7、E 180.(2)在正方形 ABCD 中，ABBC，AB，BC 90.A1B1平面 A1ADD1，又 AD1平面 A1ADD1，A1B1AD1.A1B1，AD1 90.1在利用平面角求向量角时，要注意两种角的取值范围，线线角的范围是0，2，而向量夹角的范围是0，比如a，b与a，b两个角互补，而它们对应的线线角却是相等的2对于非零向量 a，b 而言，常有以下结论：(1)当 a，b 同向时，夹角为 0；(2)当 a，b 反向时，夹角为 180；(3)当 a，b 垂直时，夹角为 90.3.如图，在正四面体 ABCD 中，AB，CD 的大小为()A.4 B.3C.2D.6解析：在正四面体 ABCD 中
8、，易证 ABCD，所以AB，CD 的大小为2.答案：C4在长方体 ABCD-ABCD中，AB 3，AA1，AD 6，求AC，AB 解析：如图，连接 AC，BC.AC AC，BAC的大小就等于AC，AB 由长方体的性质和三角形勾股定理知，在ABC中AB AA2AB22，AC AB2AD23，BC AD2AA2 7.cosBACAC2AB2BC22ACAB12.BAC3.即AC，AB 3.探究三 直线的方向向量与平面的法向量直与线平的面方的向法向向量量 求直线的方向向量 求平面的法向量 直线的方向向量与平面的法向量的证明5如图所示，长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AE13AA1，AF13A
9、B.(1)EF 可以作为哪些直线的方向向量？(2)与AA1 平行的向量有哪些？解析：(1)EF 可以作为直线 EF，直线 A1B，直线 D1C 的方向向量(2)与AA1 平行的向量有：BB1，CC1，DD1，B1B，C1C，D1D，A1A.6已知正四面体 ABCD.(1)过点 A 作出方向向量为BC 的空间直线；(2)过点 A 作出平面 BCD 的一个法向量解析：(1)如图，过点 A 作直线 AEBC，由直线的方向向量的定义可知，直线 AE即为过点 A 且方向向量为BC 的空间直线(2)如图，取BCD 的中心 O，由正四面体的性质可知，AO 垂直于平面 BCD，故向量AO 可作为平面 BCD
10、的一个法向量对空间向量的概念理解不到位致误典例 下列说法中，错误的个数为()在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AC A1C1；若两个非零向量AB 与CD 满足AB CD，则AB，CD 为相反向量AB CD 的充要条件是 A 与 C 重合，B 与 D 重合A1 B2 C3 D0解析 正确正确.AB CD，且AB，CD 为非零向量，所以AB，CD 为相反向量错误由AB CD，知|AB|CD|，且AB 与CD 同向，但 A 与 C，B 与 D 不一定重合答案 A错因与防范 解答本题易误点：对关于向量的相等理解不到位而致误解答与空间向量有关概念问题时，应将空间向量的有关概念和平面向量的有关概念反复对照，注意它们的区别与联系，特别是细微之处的差别，同时要注意培养空间想象的能力03课时 跟踪训练