1、3 全称量词与存在量词01课前 自主梳理02课堂 合作探究03课时 跟踪训练一、全称量词、存在量词与全称命题、特称命题二、特称命题的否定特称命题：存在 x0M，p(x0)成立，它的否定：，特称命题的否定是三、全称命题的否定全称命题：任意 xM，p(x)成立，它的否定：，全称命题的否定是任意xM，p(x)不成立全称命题存在x0M，p(x0)不成立特称命题疑难提示省略量词的命题的否定对含有量词的命题，容易知道它是全称命题还是特称命题一般地，省略了量词的命题是全称命题，可加上“所有的”或“任意”，它的否定是特称命题想一想1同一个全称命题或特称命题的表述是否唯一？提示：不唯一对于同一个全称命题或特称命
2、题，由于自然语言不同，可以有不同的表述方法，只要形式正确即可练一练2下列命题中全称命题的个数是()任意一个自然数都是正整数；所有的素数都是奇数；有的等差数列也是等比数列；三角形的内角和是 180.A0 B1C2 D3解析：命题含有全称量词，而命题可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180”，故有三个全称命题答案：D3已知命题 p：对任意 xR，都有 cos x1，则命题 p 的否定为()A存在 x0R，使得 cos x01B对任意 xR，都有 cos x1C存在 x0R，使得 cos x01D存在 x0R，使得 cos x01解析：根据全称命题的否定，知全称量词改为存在量词，同时把小于等于号改
3、为大于号，故选 C.答案：C探究一 判断全称命题与特称命题及其真假典例 1 试判断以下命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假：(1)对任意的 xR，x220；(2)对任意的 xN，x41；(3)存在 xZ，x30，所以该命题是真命题(2)命题中含有全称量词“任意的”，故该命题为全称命题因为 0N，当 x0 时，x41 不成立，所以该命题是假命题(3)命题中含有存在量词“存在”，故该命题为特称命题因为1Z，当 x1 时，能使 x30，且 a1，则对任意实数 x，ax0.(2)对任意实数 x1，x2，若 x1x2，则 tan x10(a0，且 a1)恒成立，命题(1)是真命题(2)是全称命题存在
4、 x10，x2，x112成立；(2)存在实数，使 cos()cos cos 成立；(3)对任意 x，yN，都有(xy)N；(4)存在 x，yZ，使 2xy3 成立解析：(1)解法一 当 xR 时，x2x1(x12)2343412，所以该命题是真命题解法二 x2x112x2x120，由于 1412112的解集是 R，所以该命题是真命题(2)当 4，2时，cos()cos(42)cos(4)cos4 22，cos cos cos4cos2 22 0 22，此时 cos()cos cos，所以该命题是真命题(3)当 x2，y4 时，xy2N，所以该命题是假命题(4)当 x0，y3 时，2xy3，即存
5、在 x，yZ，使 2xy3，所以该命题是真命题探究二 全称命题与特称命题的否定典例 2 写出下面命题的否定，并判断其真假(1)p：任意 xR，都有|x|x；(2)p：任意 xR，都有 x3x2；(3)p：至少有一个二次函数没有零点解析(1)p 是全称命题其否定为：存在 x0R，使得|x0|x0；如 x01，则|1|11，所以其否定是真命题(2)p 是全称命题其否定为：存在 x0R，使得 x30 x20；如 x01 时，(1)31(1)2，所以其否定是真命题(3)p 是特称命题其否定为：所有二次函数都有零点；如二次函数 yx22x3(x1)220，无零点，所以其否定为假命题一般而言，全称命题的否
6、定是一个特称命题，特称命题的否定是一个全称命题因此，在叙述命题的否定时，要注意量词间的转换同时，还要注意原命题中是否有省略的量词，要理解原命题的本质如“三角形有外接圆”的本质应为“所有三角形都有外接圆”，因此，其否定为“存在一个三角形没有外接圆”3判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出其否定形式(1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数能被 2 整除且能被 5 整除；(3)存在 xR，使 log2x0 成立；(4)对任意 mZ，都有 m230 成立解析：(1)命题省略了全称量词“所有”，所以是全称命题；否定形式：有的对数函数不是单调函数(2)命题含有存在量词“至少”，所以是特称命题；
7、否定形式：所有整数不能被 2 整除或不能被 5 整除(3)命题含有存在量词，所以是特称命题；否定形式：对任意 xR，都有 log2x0.(4)命题中含有全称量词“任意”，所以是全称命题；否定形式：存在 mZ，使 m230成立4判断下列命题的真假，写出这些命题的否定并判断其真假(1)每条直线在 y 轴上都有一个截距；(2)平面内，存在一个三角形，它的内角和小于 180；(3)存在一个四边形没有外接圆解析：(1)命题为假命题；命题的否定为：“并非每条直线在 y 轴上都有一个截距”或“存在一条直线在 y 轴上没有截距”，其命题的否定为真命题(2)命题为假命题；命题的否定为：“平面内，不存在一个三角形
8、，它的内角和小于180”或“对任意三角形，它的内角和都不小于 180”，其命题的否定为真命题(3)命题为真命题；命题的否定为：“不存在一个四边形没有外接圆”或“对任意一个四边形，都有外接圆”，其命题的否定为假命题探究三 全称命题、特称命题的应用全称命题、特称命题的应用 命题的否定与否命题的区别 求变量的取值范围 求参数的取值范围5写出下列命题的否定与否命题(1)正数 a 的平方根不等于零；(2)平行四边形的对边相等解析：(1)命题的否定：正数 a 的平方根等于零；否命题：若 a 不是正数，则 a 的平方根等于零(2)命题的否定：平行四边形的对边不相等；否命题：若一个四边形不是平行四边形，则它的
9、对边不相等6已知 p(x)为真命题，求实数 x 的取值范围(1)p(x)：log2x210；(2)p(x)：4x2x130，得 x22，解得 x(，2)(2，)(2)由 4x2x130，得(2x3)(2x1)0，所以 2x0 恒成立”为真命题，求实数 m 的取值范围；(2)若命题“存在实数 x 使不等式 mf(x)0 成立”为真命题，求实数 m 的取值范围解析：(1)不等式 mf(x)0 可化为 mf(x)，即 mx22x5(x1)24.要使 m(x1)24 对于任意 xR 恒成立，则 m4，故实数 m 的取值范围是(4，)(2)不等式 mf(x)0 可化为 mf(x)若存在实数 x 使不等式
10、 mf(x)成立，只需 mf(x)min.又 f(x)(x1)24，得 f(x)min4，所以 m4.故所求实数 m 的取值范围是(4，)因否定不全面致误典例 写出命题 p：“存在 x0,1，xx2x1 0”的否定，并判断 p 与其否定的真假解析 p 的否定为：“对任意 x0,1，xx2x1 0 或xx2x1 无意义”由于不存在 x0,1，使xx2x1 0 成立，故 p 为假命题其否定为真命题错因与防范(1)本例易出现把 p 的否定写为“对任意的 x0,1，xx2x1 0”，从而漏掉xx2x1 无意义这一可能出现的情况(2)对于含有一个量词的命题否定时，应注意无意义的情况是否可能出现03课时 跟踪训练
