1、3 双曲线31 双曲线及其标准方程01课前 自主梳理02课堂 合作探究03课时 跟踪训练一、双曲线的定义平面内到两定点 F1、F2 的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作；这两个定点叫作双曲线的，两个焦点之间的距离叫作双曲线的二、双曲线的标准方程焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上标准方程x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)焦点坐标(c,0)(0，c)a、b、c 关系c2双曲线焦点焦距a2b2疑难提示双曲线定义的理解(1)定义中的前提条件为“平面内”，这一限制条件十分重要，不能丢掉，否则就成了空间曲线，不是平面曲线了(2)双曲线的
2、定义中要注意两点：距离之差的绝对值；2a|F1F2|.这两点与椭圆的定义有本质的不同，若|PF1|PF2|2a|F1F2|，点 P 的轨迹仅为双曲线焦点 F2 这一侧的一支，若|PF2|PF1|2a|F1F2|，点 P 的轨迹仅为双曲线焦点 F1 这一侧的一支，而双曲线是由两个分支组成的，故定义中应为“差的绝对值”想一想1双曲线中的 a，b，c 的关系与椭圆中的关系一样吗？提示：不一样，双曲线中为 c2a2b2，椭圆中为 c2a2b2.练一练2动点 P 到点 M(1,0)及点 N(5,0)的距离之差为 2a，则当 a1 和 a2 时，点 P 的轨迹分别是()A双曲线和一条直线B双曲线和一条射线
3、C双曲线的一支和一条射线D双曲线的一支和一条直线解析：由题意，知|MN|4，当 a1 时，|PM|PN|2a20，b0)M(1,1)，N(2,5)在双曲线上，1a2 1b21，22a252b21，解得a278，b27.若焦点在 y 轴上，设双曲线的标准方程为y2a2x2b21(a0，b0)同理有 1a2 1b21，52a222b21，解得a27，b278，(舍去)所求双曲线的标准方程为x278y271.解法二 设所求双曲线的方程为mx2ny21(mn0，b0)因为 a4，c5，所以 b2c2a225169.所以双曲线的标准方程为x216y291.(2)若所求的双曲线标准方程为x2a2y2b21
4、(a0，b0)，则将 a4 代入得x216y2b21.因为点 A(1，4 103)在此双曲线上，所以 1161609b21，由此得 b20，b0)，同理解得 b29.所以双曲线的标准方程为y216x29 1.探究二 双曲线标准方程的应用典例 2 求适合下列条件的参数的值或范围(1)已知 x21ky2|k|31，当 k 为何值时，方程表示双曲线；表示焦点在 x 轴上的双曲线；表示焦点在 y 轴上的双曲线(2)已知双曲线方程为 2x2y2k，焦距为 6，求 k 的值(3)椭圆x24 y2a21 与双曲线x2a y221 有相同的焦点解析(1)若方程表示双曲线，则需满足1k0|k|30 或1k0，|
5、k|30.解得 k3 或1k3；若方程表示焦点在 x 轴上的双曲线，则 1k3；若方程表示焦点在 y 轴上的双曲线，则 k0)由椭圆方程可知 c 4a2，a24a2，即 a2a20.解得 a1 或 a2(舍去)a 的值为 1.解决这类题的基本方法是分类讨论，在分类讨论的过程中应做到不重不漏，选择适当的分界点3(1)设 34，则关于 x，y 的方程 x2sin y2cos 1 所表示的曲线是()A焦点在 y 轴上的双曲线B焦点在 x 轴上的双曲线C焦点在 y 轴上的椭圆D焦点在 x 轴上的椭圆解析：由题意，知 x2sin y2cos 1，因为 34，所以 sin 0，cos 0，则方程表示焦点在
6、 x 轴上的双曲线故选 B.答案：B(2)设双曲线 x2y281 的两个焦点分别为 F1，F2，P 是双曲线上的一点，且|PF1|PF2|34，则PF1F2 的面积等于()A10 3 B8 3C8 5D16 5答案：C4已知曲线 C：x2t2 y2t211(t0，t1)(1)求 t 为何值时，曲线 C 分别为椭圆、双曲线；(2)求证：不论 t 为何值，曲线 C 有相同的焦点解析：(1)当|t|1 时，t20，t210，曲线 C 为椭圆；当|t|0，t211 时，曲线 C 是椭圆，且 t2t21，因此 c2a2b2t2(t21)1.焦点为 F1(1,0)，F2(1,0)当|t|0，|m|30或2m0，解得3m3.所以 m 的取值范围是m|3m3答案 m|3m3错因与防范(1)本例易误认为焦点在 x 轴上而忽略焦点在 y 轴上的情况；(2)对于x2my2n1，当 m，n0 且 mn 时表示椭圆，当 mn0 时，表示双曲线03课时 跟踪训练
