1、4 曲线与方程41 曲线与方程01课前 自主梳理02课堂 合作探究03课时 跟踪训练一、方程的曲线与曲线的方程的意义一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线 C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个的实数解建立了如下的关系：1都是这个方程的解；2的点都在曲线上那么，这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线二元方程 f(x，y)0曲线上点的坐标以这个方程的解为坐标二、求曲线方程(直接法)的一般步骤1建立适当的坐标系，用表示曲线上任意一点 M 的坐标；2写出适合条件的点 M 的集合；3用坐标表示条件 p(M)，列出方程；4化方程 f(x，y)0 为最简形式；5说明以化简后的方程的解为
2、坐标的点都在曲线上一般地，步骤 5 可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明，另外也可以省略 2，直接列出曲线方程有序实数对(x，y)PM|p(M)f(x，y)0疑难提示对曲线与方程的理解曲线是满足条件的图形，方程是曲线的方程，包含对其中未知数的限制想一想1如果曲线 C 的方程是 f(x，y)0，那么点 P(x0，y0)在曲线 C 上的充要条件是什么？提示：若点 P 在曲线 C 上，则 f(x0，y0)0；若 f(x0，y0)0，则点 P 在曲线 C 上，点 P(x0，y0)在曲线 C 上的充要条件是 f(x0，y0)0.练一练2设方程 f(x，y)0 的解集非空，如果命题“坐标满足方程 f(
3、x，y)0 的点都在曲线C 上”是不正确的，则下列命题正确的是()A坐标满足方程 f(x，y)0 的点都不在曲线 C 上B曲线 C 上的点的坐标都不满足方程 f(x，y)0C坐标满足方程 f(x，y)0 的点有些在曲线 C 上，有些不在曲线 C 上D一定有不在曲线 C 上的点，其坐标满足 f(x，y)0解析：“坐标满足方程 f(x，y)0 的点都在曲线 C 上”不正确，即“坐标满足方程 f(x，y)0 的点不都在曲线 C 上”是正确的“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故 A、C 错B 显然错答案：D探究一 曲线与方程的概念典例 1 已知方程 x2(y1)210.(1)判断
4、点 P(1，2)，Q(2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点 M(m2，m)在此方程表示的曲线上，求 m 的值解析(1)12(21)210，(2)2(31)2610，点 P(1，2)在方程 x2(y1)210 表示的曲线上，点 Q(2，3)不在方程 x2(y1)210 表示的曲线上(2)点 M(m2，m)在方程 x2(y1)210 表示的曲线上，xm2，ym 适合上述方程，即(m2)2(m1)210，化简整理得 5m28m360，解得 m2 或 m185，m 的值为 2 或185.“曲线的方程”和“方程的曲线”是以平面直角坐标系为平台的两个重要概念，两者必须同时具备以下两个条件：(1)曲
5、线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上也就是说，曲线 C 是一个点集，以方程 f(x，y)0 的实数解为坐标的点的集合 F(x，y)|f(x，y)0，曲线和方程的概念中的两个条件可以表示为(1)CF；(2)FC.由两个集合相等的概念知 CF.所以曲线和方程的概念中的两个条件实际上是两个集合相等，这是判断方程是否为所给曲线的方程，曲线是否为所给方程的曲线的标准1下列曲线(含直线)与方程能否建立“曲线的方程”和“方程的曲线”的关系？说明理由(1)曲线 C：过点 A(2,0)且平行于 y 轴的直线；方程 f(x，y)0：|x|2.(2)曲线 C：到两坐标轴的距离的积等
6、于 1 的点的集合；方程 f(x，y)0：xy1.解析：(1)过点 A(2,0)且平行于 y 轴的直线上的点的坐标 x2 都是方程|x|2 的解；而以方程|x|2 的解为坐标的点不都在这条直线上也就是说，曲线与方程只满足关系(1)而不满足关系(2)，故该曲线 C 的方程为 x2，方程|x|2 表示两条直线(2)到两坐标轴的距离的积等于 1 的点的坐标不都是方程 xy1 的解，如点(1，1)，而以方程 xy1 的解为坐标的点都在曲线 C 上也就是说，曲线与方程只满足关系(2)而不满足关系(1)，故该曲线 C 的方程为 xy1，方程 xy1 表示位于一、三象限的双曲线2(1)判断点 A(4,3)，
7、B(3 2，4)，C(5，2 5)是否在方程 x2y225(x0)所表示的曲线上；(2)方程 x2(x21)y2(y21)所表示的曲线是 C，若点 M(m，2)与点 N32，n 在曲线 C上，求 m，n 的值解析：(1)把点 A(4,3)的坐标代入方程 x2y225 中，满足方程，且点 A 的横坐标满足 x0，则点 A 在方程 x2y225(x0)所表示的曲线上；把点 B(3 2，4)的坐标代入 x2y225，因为(3 2)2(4)23425，所以点 B 不在方程 x2y225(x0)所表示的曲线上；把点 C(5，2 5)的坐标代入 x2y225，得(5)2(2 5)225，满足方程，但因为横
8、坐标 5不满足 x0 的条件，所以点 C 不在方程 x2y225(x0)所表示的曲线上(2)因为点 M(m，2)，N32，n 在曲线 C 上，所以它们的坐标都是方程的解，所以 m2(m21)21，3414 n2(n21)，解得 m 2，n12或 32.探究二 根据方程研究曲线典例 2 方程 y|x|x2所表示的图形是()解析 方程 y|x|x21x，x0，1x，x0，结合各选项的图形可得正确的图形为 B.答案 B判断方程表示什么曲线的问题，一般的解题方法是对方程进行同解变形，此时可将方程视为函数，研究其定义域，从而把方程变形到易于判断或熟知的方程为止对于复杂的方程，需进行因式分解，得到每个简单
9、方程表示的曲线，此时，原方程表示的曲线即为上述各曲线3方程(2x3y1)(x31)0 表示的曲线是()A两条直线 B两条射线C两条线段D一条直线和一条射线解析：由(2x3y1)(x31)0，得 2x3y10(x3)或 x310，即 2x3y10(x3)或 x4，所以方程(2x3y1)(x31)0 表示的曲线是一条直线和一条射线故选 D.答案：D4(1)方程(xy1)x10 表示什么曲线？(2)方程 2x2y24x2y30 表示什么曲线？解析：(1)由方程(xy1)x10 可得：x10，xy10，或 x10，即 xy10(x1)或 x1，方程表示直线 x1 和射线 xy10(x1)，(2)方程的
10、左边配方得 2(x1)2(y1)20，而 2(x1)20，(y1)20，2x120，y120，x1，y1，方程表示的图形为点 A(1，1)探究三 求曲线的方程求曲线方程的常用方法 直接法 定义法 代入法 参数法5已知 A(0,4)，点 B 是曲线 2x21y0 上任意一点，且 M 是线段 AB 的中点，求动点 M 的轨迹方程解析：设 B(x1，y1)，M(x，y)，由 M 是线段 AB 的中点，得xx12yy142，x12xy12y4.又点 B 在曲线 2x21y0 上，2x211y10，2(2x)21(2y4)0，即 8x22y50，动点 M 的轨迹方程是 8x22y50.6已知两圆 C1：
11、(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆在C1 的内部，且和C1 内切，和C2 外切，求动圆圆心的轨迹方程解析：由已知可得圆 C1 与 C2 的圆心坐标分别为 C1(4,0)，C2(4，0)，其半径分别为 r113，r23.设动圆的圆心为 C，其坐标为(x，y)，动圆的半径为 r.由于圆 C1与圆 C 相内切，依据两圆内切的充要条件，可得|C1C|r1r.由于圆 C2与圆 C 相外切，依据两圆外切的充要条件，可得|C2C|r2r.由可得|CC1|CC2|r1r213316，即点 C 到两定点 C1 与 C2的距离之和为 16，且|C1C2|8，可知动点 C 的轨迹是以 C1 与 C2
12、 为焦点的椭圆由题意，得 c4，a8，b2a2c2641648.即动圆圆心的轨迹为焦点在 x 轴上的椭圆，其方程为x264y2481.7已知 A 为定点，线段 BC 在定直线 l 上滑动，|BC|4，点 A 到直线 l 的距离为 3，求ABC 外心的轨迹方程解析：建立平面直角坐标系，使 x 轴与 l 重合，点 A 在 y 轴上(如图所示)，则 A(0,3)设ABC 的外心为 P(x，y)，因为点 P 在线段 BC 的垂直平分线上，所以不妨令 B(x2,0)，C(x2,0)连接 AP，BP.因为点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，所以|PA|PB|，即 x2y32 22y2，化简得 x26y5
13、0.于是ABC 外心的轨迹方程为 x26y50.8A 为定点，线段 BC 在定直线 l 上滑动，已知|BC|4，A 到 l 的距离为 3，求ABC 的外心的轨迹方程解析：解法一(直接法)建立平面直角坐标系，使 x 轴与 l 重合，A 点在 y 轴上(如图所示)，则 A(0，3)设外心 P 的坐标为(x，y)，P 在 BC 的垂直平分线上，B(x2,0)，C(x2,0)P 也在 AB 的垂直平分线上，|PA|PB|，即 x2y32 22y2，化简，得 x26y50.即ABC 的外心的轨迹方程为 x26y50.解法二(参数法)建立坐标系(同解法一)，得 A(0,3)设 BC 边的垂直平分线的方程为
14、 xt，则点 B 的坐标为(t2,0)，于是 AB 的中点是t22，32，从而 AB 的垂直平分线方程为 y32t23xt22.由式消去 t，得 x26y50，即为所求转化思想在求解有关轨迹方程问题中的应用典例 已知点 Q(2,0)和圆 x2y21，动点 M 到圆 O 的切线长等于圆 O 的半径与|MQ|的和，求动点 M 的轨迹方程解析 如图，过 M 作圆的切线 MN，N 为切点，设 M(x，y)由题意知|MN|MQ|ON|，由于|MN|OM|2|ON|2x2y21，|MQ|x22y2，|ON|1，所以 x2y21 x22y21两边平方整理得2x3 x22y2，再两边平方整理得3x2y28x50.即：9 x4323y21.因为2x3x22y2 中2x30，所以x 32.所以动点M的轨迹方程为9x4323y21x32.感悟提高(1)对方程的化简及自变量的取值是重难点(2)求曲线方程要注意两个等价：一是所列方程与题目要求是否等价；二是对方程化简变形是否等价03课时 跟踪训练