1、二十五 几类不同增长的函数模型【基础全面练】(15 分钟 30 分)1下列函数中，随着 x 的增大，增长速度最快的是()Ay50 By1 000 xCy2x1Dy11 000 ln x【解析】选 C.指数函数模型增长速度最快2有一组实验数据如表所示：t12345s1.55.913.424.137下列所给函数模型较适合的是()Aylogax(a1)Byaxb(a1)Cyax2b(a0)Dylogaxb(a1)【解析】选 C.通过所给数据可知 s 随 t 的增大而增大，其增长速度越来越快，而 A，D 中的函数增长速度越来越慢，而 B 中的函数增长速度保持不变3某商品价格前两年递增 20%，后两年递
2、减 20%，则四年后的价格与原来价格相比较，变化情况是()A减少 7.84%B增加 7.84%C减少 9.5%D不增不减【解析】选 A.由题意，设商品原价格为 a 元，则四年后的价格为 a(120%)2(120%)20.921 6a.所以a0.921 6aa7.84%.4已知某工厂生产某种产品的月产量 y 与月份 x 满足关系 ya(0.5)xb，现已知该厂今年 1 月、2 月生产该产品分别为 1 万件、1.5 万件则 3 月份该产品的产量为_万件【解析】因为 ya(0.5)xb，且当 x1 时，y1，当 x2 时，y1.5，则有1a0.5b，1.5a0.25b，解得a2，b2，所以 y2(0
3、.5)x2.所以当 x3 时，y20.12521.75(万件).答案：1.755复利是把前一期的利息和本金加在一起作本金，再计算下一期利息的一种计算利息的方法某人向银行贷款 10 万元，约定按年利率 7%复利计算利息(1)写出 x 年后，需要还款总数 y(单位：万元)和 x(单位：年)之间的函数关系式(2)计算 5 年后的还款总额(精确到元).(3)如果该人从贷款的第二年起，每年向银行还款 x 元，分 5 次还清，求每次还款的金额 x(精确到元).(参考数据：1.0731.225 0，1.0741.310 8，1.0751.402 552，1.0761.500 730)【解析】(1)根据题意求
4、出 x 年后，需要还款总数 y 与 x 之间的函数关系式为y10(17%)x，xN*.(2)5 年后的还款总额为y10(17%)514.025 5(万元).(3)由已知得x(11.071.0721.0731.074)14.025 5，解得 x2.438 9，由此能求出每次还款的金额为 2.438 9 万元【综合突破练】(30 分钟 60 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1下列函数在(0，)上是减函数的是()Af(x)ln x Bf(x)ex Cf(x)xDf(x)1x【解析】选 B.根据题意，依次分析选项：对于 A，f(x)ln x 为对数函数，其底数为 e1，在(0，)上是增函
5、数，不符合题意；对于 B，f(x)ex1ex，为指数函数，其底数为1e，在(0，)上是减函数，符合题意；对于 C，f(x)x x12，为幂函数，在(0，)上是增函数，不符合题意；对于 D，f(x)1x，在(0，)上是增函数，不符合题意2函数 y2xx2 的图象大致是()【解析】选 A.分别画出 y2x，yx2 的图象，由图象可知(图略)，有 3 个交点，所以函数 y2xx2 的图象与 x 轴有 3 个交点，故排除 B，C；当 x1 时，y0 且 a1)的图象有以下叙述：第 4 个月时，剩留量就会低于15；每月减少的有害物质量都相等；若剩留量为12，14，18 时，所经过的时间分别是 t1，t2
6、，t3，则 t1t2t3.其中所有正确叙述的序号是_【解析】根据题意，函数的图象经过点2，49，故函数为 y23t，令 t4 时，y1681 15，故正确；令 t1 时，y23，减少13，当 t2 时，y49，减少29，每月减少有害物质质量不相等，故不正确；分别令 y12，14，18；解得 t1log2312，t2log2314，t3log2318，t1t2t3，故正确答案：三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)9某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度 h(米)与生长时间 t(年)的相关数据，选择 hmtb 与 hloga(t1)来刻画 h 与 t 的关系，你认为哪个符合？并预
7、测第 8 年的松树高度t/年123456h/米0.611.31.51.61.7【解析】据表中数据作出散点图如图：由图可以看出用一次函数模型不吻合，选用对数型函数比较合理将(2，1)代入 hloga(t1)中，得 1loga3，解得 a3.即 hlog3(t1).当 t8 时，hlog3(81)2，故可预测第 8 年松树的高度为 2 米102020 年 1 月 10 日，中共中央、国务院隆重举行国家科学技术奖励大会，在科技界引发热烈反响，自主创新正成为引领经济社会发展的强劲动力某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值 y 与这种新材料的含量 x(单位：克)的
8、关系为：当 0 x6 时，y 是 x 的二次函数；当 x6 时，y13xt.测得数据如表(部分)x(单位：克)0129y031974(1)求 y 关于 x 的函数关系式 yf(x).(2)求函数 f(x)的最大值【解析】(1)当 0 x6 时，由题意，设 f(x)ax2bxc(a0)，由表格数据可得f（0）c0，f（1）abc74，f（2）4a2bc3，解得a14，b2，c0，所以，当 0 x6 时，f(x)14 x22x，当 x6 时，f(x)13xt.由表格数据可得f(9)139t19，解得 t7.所以当 x6 时，f(x)13x7，综上，f(x)14x22x，0 x6，13x7，x6.(
9、2)当 0 x3，所以函数 f(x)的最大值为 4.【补偿训练】1.某地西红柿从 2 月 1 日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本 Q(单位：元/100 kg)与上市时间 t(单位：天)的数据如表：时间 t(单位：天)60100180种植成本 Q(单位：元/100 kg)11684116根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系Qatb，Qat2btc，Qabt，Qalogbt.利用你选取的函数，求得：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是_(2)最低种植成本是_元/100 kg.【解析】由提供的数据知，描述西红柿种植成本 Q 与上市时间
10、 t 的变化关系函数不可能是常数函数，也不是单调函数，而函数 Qatb，Qabt，Qalogbt 在 a0时，均为单调函数，这与表格提供的数据不吻合，故选取二次函数 Qat2btc 进行描述，将表格所提供的三组数据(60，116)，(100，84)，(180，116)分别代入可得，3 600a60bc116，10 000a100bc84，1802a180bc116，解得 a 1100，b125，c224，所以 Q 1100 t2125 t224，(1)Q 1100 t2125 t224 的对称轴为 t120，开口向上，在对称轴处即 t120 天时函数取最小值(2)当 t120 时，Q 1100
11、 1202125 12022480.答案：(1)120(2)802某跨国饮料公司在对全世界所有人均 GDP(即人均纯收入)在 0.58 千美元的地区销售该公司 A 饮料的情况调查时发现：该饮料在人均 GDP 处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减(1)下列几个模拟函数中：yax2bx；ykxb；ylogaxb；yaxb(x表示人均 GDP，单位：千美元，y 表示年人均 A 饮料的销售量，单位：L).用哪个模拟函数来描述人均 A 饮料销售量与地区的人均 GDP 关系更合适？说明理由(2)若人均 GDP 为 1 千美元时，年人均 A 饮料的销售量为 2 L，人均 GDP 为 4 千美元时，年人均
12、 A 饮料的销售量为 5 L，把(1)中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区中，年人均 A 饮料的销售量最多是多少？【解析】(1)用来模拟比较合适因为该饮料在人均 GDP 处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减而，表示的函数在区间上是单调函数，所以，都不合适，故用来模拟比较合适(2)因为人均 GDP 为 1 千美元时，年人均 A 饮料的销售量为 2 L；人均 GDP 为 4 千美元时，年人均 A 饮料的销售量为 5 L，把 x1，y2；x4，y5 代入 yax2bx，得2ab，516a4b，解得 a14，b94，所以函数解析式为 y14 x294 x.(x0.5，8)，因为 y14 x294 x14 x9228116，所以当 x92 时，年人均 A 饮料的销售量最多是8116 L