1、第十一章计数原理、随机变量及分布列第4课时离散型随机变量及分布列、 超几何分布(对应学生用书(理)171173页)考情分析考点新知本部分重点以应用题为背景，考查离散型随机变量的分布列及某范围内的概率等. 本节内容属于理科加试必做题的内容，考查题型为解答题，是近几年高考的热点.理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握概率分布列的基本性质，会求一些简单的离散型随机变量的概率分布列.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.理解随机变量的概率分布，掌握01分布，超几何分布的分布列，并能处理简单的实际问题.1. (选修23P52习题1改编)下列问题属于超几何分布的有_(填序号) 抛掷三枚骰子，
2、所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的概率分布列； 有一批种子的发芽率为70%，现任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X，求X的概率分布列； 一盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，现任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的概率分布列； 某班级有男生25人，女生20人，现选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的概率分布列答案：解析：注意超几何分布的特征，其中涉及三个参量，、属于独立重复试验问题2. (选修23P47例题3改编)设随机变量X的分布列为P(Xk)(k1，2，3，4，5)，则P_.答案：解析：PP(X1)P(X2).3. (
3、选修23P52习题4改编)口袋内装有10个相同的球，其中5个球标有数字0，5个球标有数字1.若从袋中摸出5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是_答案：解析：数字之和小于2或大于3的对立事件为数字之和为2或者3，发生的概率为2，所以数字之和小于2或大于3的概率为12.4. (选修23P51练习2改编)设50件商品中有15件一等品，其余为二等品现从中随机选购2件，则所购2件商品中恰有一件一等品的概率为_答案：解析：N50，M15，n2，r1，P(X1)H(1，2，15，50).5. (选修23P50例1改编)某班级有男生12人、女生10人，现选举4名学生分别担任班长、副班长、团
4、支部书记和体育班委，则至少两名男生当选的概率为_答案：解析：把选出的4人中男生的人数记为X，显然随机变量X满足超几何分布，所求事件的概率可以表示为P(X2)有P(X2)P(X2)P(X3)P(X4).1. 离散型随机变量的分布列(1) 如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量；按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量(2) 设离散型随机变量X可能取的值为x1，x2，xn，X取每一个值xi (i1，2，n)的概率P(Xxi)pi，则称表Xx1x2xixnPp1p2pipn为随机变量X的概率分布，具有性质：pi0，i1，2，n；p1p2pipn1.离散型随机变
5、量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和2. 如果随机变量X的分布列为X10Ppq其中0p1，q1p，则称离散型随机变量X服从参数为p的01分布(或两点分布)3. 超几何分布列在含有M件次品数的N件产品中，任取n件，其中含有X件次品数，则事件Xr发生的概率为P(Xr)(r0，1，2，l)，其中lminn，M，且nN，MN，n、M、NN，称分布列为超几何分布列记为XH(n，M，N)，并将P(Xr)记为H(r；n，M，N)X01lP备课札记题型1离散型随机变量的概率分布例1随机地将编号为1，2，3的三个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子放入一个小球，当球的编号与盒子的
6、编号相同时叫做“放对球”，否则叫做“放错球”，设放对球的个数为.求的分布列解：的分布列为0123P0在0，1，2，3，9这十个自然数中，任取三个不同的数字将取出的三个数字按从小到大的顺序排列，设为三个数字中相邻自然数的组数(例如：若取出的三个数字为0，1，2，则相邻的组为0，1和1，2，此时的值是2)，求随机变量的分布列解：随机变量的取值为0、1、2，的分布列为012P题型2超几何分布例2已知盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品需要从中取出2只正品，每次取一个，取出后不放回，直到取出2个正品为止设X为取出的次数，求X的概率分布列解：P(X2)，P(X3)，P(X4)1P(X2)P(X3)，
7、所以X的概率分布列如下表X234P一盒中有9个正品和3个次品零件，每次取一个零件，如果取出的是次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数X的概率分布，并求P.解：易知X的可能取值为0、1、2、3这四个数字，而Xk表示，共取了k1次零件，前k次取得的都是次品，第k1次才取得正品，其中k0、1、2、3.故X的分布列为X0123PPP(X1)P(X2).题型3实际问题例3已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球现从甲、乙两个盒内各任取2个球(1) 求取出的4个球均为黑球的概率；(2) 求取出的4个球中恰有1个红球的概率；(3) 设为取出的4个球中红球的个数，求的
8、分布列解：(1) 设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B.由于事件A、B相互独立，且P(A)，P(B).故取出的4个球均为黑球的概率为P(AB)P(A)P(B).(2) 设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.由于事件C、D互斥，且P(C)，P(D).故取出的4个球中恰有1个红球的概率为P(CD)P(C)P(D).(3) 可能的取值为0，1，2，3.由(1)，(2)得P(0)，P(1)，P(3).从而P(2)
9、1P(0)P(1)P(3).的分布列为0123P黄山旅游公司为了体现尊师重教，在每年暑假期间对来黄山旅游的全国各地教师和学生，凭教师证和学生证实行购买门票优惠某旅游公司组织有22名游客的旅游团到黄山旅游，其中有14名教师和8名学生但是只有10名教师带了教师证，6名学生带了学生证(1) 在该旅游团中随机采访3名游客，求恰有1人持有教师证且持有学生证者最多1人的概率；(2) 在该团中随机采访3名学生，设其中持有学生证的人数为随机变量，求的分布列解：(1) 记事件A为“采访3名游客中，恰有1人持有教师证且持有学生证者最多1人”，则该事件分为两个事件A1和A2，A1为“1名教师有教师证，1名学生有学生
10、证”； A2为“1名教师有教师证，0名学生有学生证”P(A)P(A1)P(A2)， 在随机采访3人，恰有1人持有教师证且持有学生证者最多1人的概率为. (2) 由于8名学生中有6名学生有学生证， 的可能取值为1，2，3 ，则P(1)，P(2)，P(3)， 的分布列为123P1. (2012广东理)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是_答案：解析：两位数共有90个，其中个位数与十位数之和为奇数的两位数有45个，个位数为0的有5个，所以概率为.2. (2013新课标)从n个正整数1，2，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n_答案：8解析：从n
11、个正整数1，2，n中任意取出两个不同的数，取出的两数之和等于5的情况有：(1，4)，(2，3)共2种情况；从n个正整数1，2，n中任意取出两个不同的数的所有不同取法种数为C，由古典概型概率计算公式，得从n个正整数1，2，n中任意取出两个不同的数，取出的两数之和等于5的概率为P.所以C28，即28，解得n8.3. (2013江苏)现在某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m7，n9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为_答案：解析：m可以取的值有：1，2，3，4，5，6，7共7个，n可以取的值有：1，2，3，4，5，6，7，8，9共9个，所以总共有7963种可能，符合题意的m可以取1，3，
12、5，7共4个，符合题意的n可以取1，3，5，7，9共5个，所以总共有4520种可能符合题意，所以符合题意的概率为.4. 如图，从A1(1，0，0)、A2(2，0，0)、B1(0，1，0)、B2(0，2，0)、C1(0，0，1)、C2(0，0，2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V0)(1) 求V0的概率；(2) 求V的分布列及数学期望E(V)解：(1) 从6个点中随机选取3个点总共有C20种取法，选取的3个点与原点在同一个平面内的取法有CC12种，因此V0的概率为P(V
13、0).(2) V的所有可能取值为0、，因此V的分布列为V0P则V的数学期望E(V)0.1. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是_答案：解析： 以1为首项，3为公比的等比数列的10个数为1，3，9，27，其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8， 从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是.2. 在一次面试中，每位考生从4道题a、b、c、d中任抽两题做，假设每位考生抽到各题的可能性相等，且考生相互之间没有影响(1) 若甲考生抽到a、b题，求乙考生与甲考生恰好有一题相同的概率；(2) 设某两位考生抽到的题中恰好有X道相
14、同，求随机变量X的概率分布解：(1) P.(2) X的可能取值为0、1、2，P(X0)， P(X2)，P(X1)1P(X0)P(X2)，所以随机变量X的概率分布为X012P1/62/31/63. 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止所需要的取球次数(1) 求袋中原有白球的个数；(2) 求随机变量的概率分布；(3) 求甲取到白球的概率解：(1) 设袋中原有n个白球，由题意知，n(n1)6，得n3或n2(舍去)，即袋中
15、原有3个白球(2) 由题意，的可能取值为1、2、3、4、5.P(1)；P(2)；P(3)； P(4)；P(5).所以的分布列为：12345P(3) 因为甲先取，所以甲只有可能在第1次、第3次和第5次取球，记“甲取到白球”为事件A，则P(A)P(“1”，或“3”，或“5”)事件“1”，或“3”，或“5”两两互斥，P(A)P(1)P(3)P(5).4. 老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1) 抽到他能背诵的课文的数量的分布列；(2) 他能及格的概率解：(1) 设随机抽出的3篇课文中该同学能背诵的篇数为X，则X是一个随机变量，它
16、可能的取值为0、1、2、3，且X服从超几何分布，分布列如下： X0123P即 X0123P(2) 该同学能及格表示他能背出2或3篇，故他能及格的概率为P(X2)P(X2)P(X3)0.667.超几何分布中的注意问题：(1) 超几何分布常应用在产品合格问题、球盒取球(两色)问题、男女生选举问题上，这类问题有一个共同特征，就是对每一个个体而言，只研究其相对的两种性质而不涉及其他性质，如产品的“合格”与“不合格”，球的“红色”与“非红色”，学生的“男生”与“女生”等(2) 超几何分布问题涉及四个参数，学习中要多注意它们的特征和顺序如产品问题中，H(r；n，M，N)的意义是“超几何分布(取出产品中不合格品数；取出产品数，所有产品中不合格品数，所有产品数)”；再如取球问题中，H(r；n，M，N)的意义是“超几何分布(取出球中红色球数；取出的球数，所有球中红色球数，所有球数)”(3) 公式的记忆要联系组合数的意义，超几何分布问题中事件的意义，掌握公式中每个式子的意义，这样记起来就事半功倍了备课札记
