1、二十二 幂 函 数 基础全面练(15分钟 30分)1已知幂函数f(x)kx的图象过点12，2，则k等于()A12 B1 C32 D2【解析】选A.因为幂函数f(x)kx(kR，R)的图象过点 12，2，所以k1，f1212 2，即12，所以k12.2已知幂函数y(m22m2)xm2m1在(0，)上单调递增，则实数m的值为()A1 B3 C1或3 D1或3【解析】选B.幂函数y(m22m2)xm2m1在(0，)上单调递增，所以m22m21，解得m3或m1；又m2m10，所以m3时满足条件，则实数m的值为3.【补偿训练】已知幂函数f(x)(m2m1)xm1在(0，)上单调递减，则m的值为()A1
2、B2 C1或2 D2【解析】选A.因为幂函数f(x)(m2m1)xm1在(0，)上单调递减，所以m2m11，m10，解得m2或m1，m1，所以m的值为1.3在下列四个图形中，yx12 的图象大致是()【解析】选D.函数yx12 的定义域为(0，)，是减函数4函数f(x)(m2m1)xm2m3是幂函数，且当x(0，)时，f(x)是增函数，则f(x)的解析式为_.【解析】根据幂函数定义，得m2m11，解得m2或m1.当m2时，f(x)x3在(0，)上是增函数，符合题意；当m1时，f(x)x3在(0，)上是减函数，不合题意综上f(x)的解析式为f(x)x3.答案：f(x)x35已知幂函数yf(x)的
3、图象过点(4，m)和(2，8).(1)求m的值(2)求函数g(x)12f（x）在区间1，2上的值域【解析】(1)设幂函数yf(x)x，为实数，其图象过点(4，m)和(2，8)，所以28，解得3，所以f(x)x3，所以mf(4)4364，即m的值是64.(2)由题意知，x1，2时，f(x)x31，8，所以g(x)12f（x）1256，2，所以g(x)在区间1，2上的值域是1256，2.综合突破练(30分钟 60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1幂函数yxn的图象一定经过(0，0)，(1，1)，(1，1)，(1，1)中的()A一点B两点C三点D四点【解析】选A.当n0时，一定过(1，1)点，
4、当n0，若a，bR，且ab0，则f(a)f(b)的值()A恒大于0 B恒小于0C等于0 D无法判断【解析】选A.对任意的x1，x2(0，)，且x1x2，f（x1）f（x2）x1x20，则f(x)在(0，)上单调递增，所以m22m50，又f(x)为幂函数，所以m2m11，由，得m2，所以f(x)x3，又ab0，所以ab，所以a3(b)3，所以f(a)f(b)0.5设 1，1，12，3，则使函数yx的定义域为R且为奇函数的所有的值为()A1，1，3 B12，1C1，3 D1，3【解析】选D.当1时，函数的定义域为x|x0，不满足定义域为R；当1时，函数的定义域为R且为奇函数，满足要求；当12 时，
5、函数的定义域为x|x0，不满足定义域为R；当3时，函数的定义域为R且为奇函数，满足要求二、填空题(每小题5分，共15分)6(2020江苏高考)已知yf(x)是奇函数，当x0时，f(x)x23，则f(8)的值是_【命题意图】本题主要考查函数性质，利用奇偶性求函数值【解析】yf(x)是奇函数，当x0时，f(x)x23，则f(8)f(8)823 4.答案：47若(a1)23|32a|0，即(a1)2(32a)2且a32，解得23 a4，且a32.答案：23，3232，48定义maxa，ba，ab，b，ab，若f(x)maxx2，x2，x(，0)(0，)，则f(x)的最小值是_【解题指南】根据题意，利
6、用数形结合思想，先得出解析式，再利用图象解决问题【解析】x2x2x21x2（x21）（x1）（x1）x2，则当x1或x1时，x2x2；当1x1且x0时，x2x2.所以f(x)x2（x1或x1），x2（1x0或0 x1），作出f(x)的图象(如图)，由图象可知f(x)minf(1)1.答案：1三、解答题(每小题10分，共20分)9已知幂函数f(x)(m25m7)xm1为偶函数(1)求f(x)的解析式(2)若g(x)f(x)ax3在1，3上不是单调函数，求实数a的取值范围【解析】(1)由题意，m25m71，解得m2或3，因为f(x)是偶函数，故f(x)x2.(2)g(x)f(x)ax3x2ax3，
7、g(x)的对称轴是xa2，若g(x)在1，3上不是单调函数，则1a2 3，解得：2a6.【补偿训练】已知幂函数f(x)xa的图象过点(2，4).(1)求函数f(x)的解析式(2)设函数h(x)4f(x)kx8在5，8上是单调函数，求实数k的取值范围【解析】(1)幂函数f(x)xa的图象过点(2，4)，所以f(2)2a4，所以a2，所以f(x)x2.(2)函数h(x)4f(x)kx8，所以h(x)4x2kx8，对称轴为xk8；当h(x)在5，8上为增函数时，k8 5，解得k40；当h(x)在5，8上为减函数时，k8 8，k64；所以k的取值范围为(，4064，).10已知幂函数f(x)x93m(
8、mN*)的图象关于原点对称，且在R上单调递增(1)求f(x)的表达式(2)求满足f(a1)f(3a4)0的a的取值范围【解析】(1)幂函数f(x)x93m(mN*)的图象关于原点对称，且在R上单调递增，可得93m0，解得m3，mN*，可得m1，2，若m1，则f(x)x6的图象不关于原点对称，舍去；若m2，则f(x)x3的图象关于原点对称，且在R上单调递增，成立，则f(x)x3.(2)由(1)可得奇函数f(x)在R上单调递增，f(a1)f(3a4)0，可得f(a1)f(3a4)f(43a)，即为a143a，解得a34.应用创新练 已知幂函数g(x)过点2，12，且f(x)x2ag(x).(1)求
9、g(x)的解析式(2)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由【解析】(1)设幂函数的解析式g(x)x.因为幂函数g(x)过点2，12，所以212，解得：1，所以g(x)1x.(2)由(1)得：f(x)x2ax.当a0时，f(x)x2，由于f(x)(x)2x2f(x)，可知f(x)为偶函数当a0时，由于f(x)(x)2 axx2ax x2ax f(x)，且f(x)(x)2 axx2ax x2axf(x)，所以f(x)是非奇非偶函数综上，a0时，f(x)为偶函数，a0时，f(x)为非奇非偶函数【补偿训练】已知幂函数f(x)xa的图象经过点A12，2.(1)求实数a的值；(2)求证：f(x)在区间(0，)上是减函数【解析】(1)因为f(x)xa的图象经过点A12，2，所以12a 2，即2a212，解得a12.(2)由(1)可知，f(x)x12，任取x1，x2(0，)，且x1x2，则x2x10，所以f(x1)f(x2)x12 1x12 2 1x1 1x2x2 x1x1x2（x2 x1）（x2 x1）x1x2（x2 x1）x2x1x1x2（x2 x1）0，即f(x1)f(x2).所以f(x)x12 在区间(0，)上是减函数
