1、第二章等式与不等式专题强化练3利用均值不等式求最值一、单项选择题1.()若a,b,c均大于0,且2a+b+c=6,则a(a+b+c)+bc的最大值为()A.34B.3C.32D.22.()若abc0,则2a2+1ab+1a(a-b)-10ac+25c2的最小值是()A.2B.4C.25D.53.(2020广东化州高三第一次模拟,)若正实数x,y满足x+3y=5xy,当3x+4y取得最小值时,x+2y的值为()A.245B.2C.285D.5二、填空题4.()若x,y均为正实数,且2x+8y-xy=0,则x+y的取值范围是.5.(2020江西南昌第十中学高一月考,)设a0,b1,若a+b=2,则
2、4a+1b-1的最小值为.6.(2020湖南常德二中高一上第一次测试,)设x0,y0,x+2y=4,则(x+1)(2y+1)xy的最小值为.7.()已知a2+b2+c2=1,x2+y2+z2=9,则ax+by+cz的最大值为.三、解答题8.()设0x1,求2x+1x-1的最小值;(2)已知xy0,求x2+4y(x-y)的最小值.10.()某公司计划在办公大厅建一面长为a米的玻璃幕墙.先等距安装x根立柱,然后在相邻的立柱之间安装一块与立柱等高的同种规格的玻璃.一根立柱的造价为6 400元,一块长为m米的玻璃造价为(50m+100m2)元.假设所有立柱的粗细都忽略不计,且不考虑其他因素,记总造价为
3、y元(总造价=立柱造价+玻璃造价).(1)求y关于x的函数解析式;(2)当a=56时,怎样设计能使总造价最低?11.()若x0,y0,且2x2+y23=8,求x6+2y2的最大值.答案全解全析第二章等式与不等式专题强化练3利用均值不等式求最值一、单项选择题1.Ca,b,c均大于0,a(a+b+c)+bc=a2+ab+ac+bc=(a2+ac)+(ab+bc)=a(a+c)+b(a+c)=(a+b)(a+c)(a+b)+(a+c)22=2a+b+c22=622=32,当且仅当a+b=a+c=62时,等号成立,a(a+b+c)+bc的最大值为32.故选C.2.Babc0,原式=a2+1ab+1a(
4、a-b)-10ac+25c2+a2=a2-ab+1a(a-b)+ab+1ab+(a-5c)22(a2-ab)1a(a-b)+2ab1ab+0=2+2+0=4,当且仅当a(a-b)=1,ab=1,a-5c=0,即a=2,b=22,c=25时取等号,所求代数式的最小值是4.3.Bx+3y=5xy,x0,y0,15y+35x=1,3x+4y=(3x+4y)15y+35x=135+3x5y+12y5x135+23x5y12y5x=5,当且仅当3x5y=12y5x,即x=2y=1时等号成立,此时x+2y=2.故选B.二、填空题4.答案18,+)解析由原方程可得y(x-8)=2x(x8),y=2xx-8,
5、x0,y0,x-80,x+y=x+2xx-8=x-8+16x-8+102(x-8)16x-8+10=18,当且仅当x-8=16x-8,即x=12时,等号成立.故x+y的取值范围为18,+).5.答案9解析因为a+b=2,所以a+b-1=1,所以4a+1b-1=4a+1b-1a+(b-1)=5+4(b-1)a+ab-1.因为b1,所以b-10,又a0,所以5+4(b-1)a+ab-19,当且仅当4(b-1)a=ab-1,即a=23,b=43时等号成立,故4a+1b-1的最小值为9.6.答案92解析由x0,y0,得x+2y=422xy,所以xy2,当且仅当x=2y,即x=2,y=1时,等号成立.所
6、以(x+1)(2y+1)xy=2xy+x+2y+1xy=2xy+5xy=2+5xy2+52=92,故所求的最小值为92.7.答案3解析9a2+x26ax,9b2+y26by,9c2+z26cz,6(ax+by+cz)9(a2+b2+c2)+(x2+y2+z2)=18(当且仅当x=3a,y=3b且z=3c时,等号成立),ax+by+cz3.三、解答题8.解析0x2,03x20,y=3x(8-3x)3x+(8-3x)2=82=4,当且仅当3x=8-3x,即x=43时取等号.当x=43时,y=3x(8-3x)有最大值4.9.解析(1)因为x1,所以x-10,所以2x+1x-1=2(x-1)+1x-1
7、+222(x-1)1x-1+2=2+22,当且仅当2(x-1)=1x-1(x1),即x=1+22时,等号成立,故2x+1x-1的最小值为2+22.(2)因为xy0,所以x-y0,所以0y0,即x=2,y=1时,等号成立,故x2+4y(x-y)的最小值为8.10.解析(1)依题意可知需安装玻璃的块数为am=x-1,所以m=ax-1,y=6 400x+50ax-1+100ax-12(x-1)=6 400x+50a+100a2x-1(xN,且x2).(2)y=6 400x+50a+100a2x-1=10064(x-1)+a2x-1+50a+6 400.xN,且x2,x-10,y20064(x-1)a2x-1+50a+6 400=1 650a+6 400,当且仅当64(x-1)=a2x-1,即x=a8+1时,等号成立,又a=56,当x=8时,ymin=98 800.安装8根立柱时,总造价最低.11.解析因为(x6+2y2)2=x2(6+2y2)=32x21+y2332x2+1+y2322=3922=2434,当且仅当2x2=1+y23,2x2+y23=8,即x=32,y=422时,等号成立,所以x6+2y22434=932,故x6+2y2的最大值为932.