1、高考资源网（） 您身边的高考专家2021年湖北省华大新高考联盟高考数学教学质量测评试卷（理科）（3月份）一、选择题（共12小题）.1设集合Ay|y，Bx|（3x4）（x+1）0，则A（RB）（）A0，B，C0，）D，）2若复数z满足|z23i|5，则复数z的共轭复数不可能为（）A57iB26iC5+2iD28i3根据国家统计局数据显示，我国20102019年研究生在校女生人数及所占比重如图所示，则下列说法错误的是（）A20102019年，我国研究生在校女生人数逐渐增加B可以预测2020年，我国研究生在校女生人数将不低于144万C2017年我国研究生在校女生人数少于男生人数D2019年我国研究生
2、在校总人数不超过285万4设alog15，blog30，clog35，则（）AabcBbacCcbaDbca5小学数学在“认识图形”这一章节中，一般从生活实物人手，抽象出数学图形，在学生正确认识图形特征的基础上，通过习题帮助学生辨认所学图形；例如在小学数学课本中有这样一个21的方格表（如图所示），它由2个单位小方格组成，其中每个小方格均为正方形；若在这21方格表的6个顶点中任取2个顶点，则这2个顶点构成的线段长度不超过的概率为（）ABCD6运行如图所示的程序框图，若为了输出第一个大于50的S的值，则判断框中可以填（）Ab13？Bb21？Cb33？Db34？7已知ABC中，AB2BC4，AC2，
3、点M在线段AC上除A，C的位置运动，现沿BM进行翻折，使得线段AB上存在一点N，满足CN平面ABM；若NB恒成立，则实数的最大值为（）A1BC2D8已知边长为4的正方形ABCD的对角线的交点为O，以O为圆心，6为半径作圆；若点E在圆O上运动，则（）A+72B+56C+36D+289已知ABC中，D，E分别是线段BC，AC的中点，AD与BE交于点O，且BOC90，若BC2，则ABC周长的最大值为（）A2+2B2+C2+2D2+410过双曲线C：1（a0，b0）上一点P作双曲线C的切线l，若直线OP与直线l的斜率均存在，且斜率之积为，则双曲线C的离心率为（）ABCD11函数f（x）5|sin2xs
4、in|x|1在x，上的零点个数为（）A12B14C16D1812已知函数f（x）xlnx+2x，若kZ，使得k+1在x（2，+）恒成立，则k的最大值为（）A2B3C4D5二、填空题（共4小题）.13若实数x、y满足则zx4y的最大值为 14已知m1，若函数f（x）有且仅有2个零点，则实数m的取值范围为 15已知等差数列an的前n项和为Sn，若a1032，S555，则Sn 16已知抛物线C：y24x的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于点M（x1，y1），N（x2，y2），若点P（x2，y2），且SMPF10，则直线MN的斜率为 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1
5、721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17已知等比数列an）的前n项和为Sn，且a3，S3（1）求数列an的通项公式；（2）若an0，求数列的前n项和Tn18已知四棱锥SABCD如图所示，其中SAB，SBC均为等边三角形，二面角ABSC为直二面角，点M为线段BC的中点，点N是线段SD上靠近D的三等分点，BC平面SAD（1）求证：ADSM；（2）若ADBC，求直线AN与平面BNC所成角的正弦值19在某媒体上有这样一句话：买车一时爽，一直养车一直爽，讲的是盲目买车的人最终会成为一个不折不扣的车奴；其实，买车之后的花费主要由加油费
6、、停车费、保险费、保养费、维修费等几部分构成；为了了解新车车主5年以来的花费，打破年轻人买车的恐惧感，研究人员在2016年对A地区购买新车的400名车主进行跟踪调查，并将他们5年以来的新车花费统计如表所示：5年花费（万元）3，5）5，7）7，9）9，11）11，13）13，15人数60100120406020（1）求这400名车主5年新车花费的平均数以及方差（同一区间的花费用区间的中点值替代）；（2）以频率估计概率，假设A地区2016年共有10000名新车车主，若所有车主5年内新车花费可视为服从正态分布N（，2），2分别为（1）中的平均数以及方差s2，试估计2016年新车车主5年以来新车花费在
7、5.2，13.6）的人数；（3）以频率估计概率，若从2016年A地区所有的新车车主中随机抽取4人，记花费在9，15的人数为X，求X的分布列以及数学期望参考数据：1.4；若随机变量服从正态分布N（，2），则P（+）0.6826，P（2+2）0.9544，P（3+3）0.997420已知椭圆C：+1的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点（1）若直线l的倾斜角为45，求|AB|的值；（2）记椭圆C的右顶点为D，若点M（9，yM），N（9yN）分别在直线AD，BD上，求证：FMFN21已知函数f（x）ex（mex1）+x，其中m0（1）若函数f（x）有2个极值点，求实数m的取值范围；（2）
8、若关于x的方程f（x）a仅有1个实数根，求实数a的取值范围（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22已知平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为216cos+320（1）求曲线C的普通方程以及曲线C的直角坐标方程；（2）已知过原点的直线l与曲线C仅有1个交点M，若l与曲线C也仅有1个交点N，求点M的极坐标选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|ax3|+a|x2|的图象关于原点对称（1）求不等式f（x）x+2的解集；（2）
9、若关于x的不等式f（x）mx2+恒成立，求实数m的取值范围参考答案一、选择题（共12小题）.1设集合Ay|y，Bx|（3x4）（x+1）0，则A（RB）（）A0，B，C0，）D，）解：，故选：A2若复数z满足|z23i|5，则复数z的共轭复数不可能为（）A57iB26iC5+2iD28i解：设za+bi，因为复数z满足|z23i|5，则有（a2）2+（b3）225，对于A，若复数z的共轭复数为57i，则z5+7i，故a5，b7，符合式；对于B，若复数z的共轭复数为26i，则z2+6i，故a2，b6，符合式；对于C，若复数z的共轭复数为5+2i，则z52i，故a5，b2，不符合式；对于D，若复数
10、z的共轭复数为28i，则z2+8i，故a2，b8，符合式故选：C3根据国家统计局数据显示，我国20102019年研究生在校女生人数及所占比重如图所示，则下列说法错误的是（）A20102019年，我国研究生在校女生人数逐渐增加B可以预测2020年，我国研究生在校女生人数将不低于144万C2017年我国研究生在校女生人数少于男生人数D2019年我国研究生在校总人数不超过285万解：对于A，通过统计图可以得到女生人数从2010年的73.6万人增长到了2019年的144.8万人，每年都在逐渐增加，故选项A正确；对于B，根据统计图中增长的趋势，预测2020年人数比2019年多，也就是说会高于144，8万
11、人，故不低于144万人，故选项B正确；由统计图可知，2017年女生所占比例为48.4%，小于50%，即女生的人数少于男生的人数，故选项C正确；对于D，2019年女生总数为144.8万人，占比例为50.6%，故总人数为286.2万人，超过285万人，故选项D错误故选：D4设alog15，blog30，clog35，则（）AabcBbacCcbaDbca解：，0log53log56log57，abc故选：A5小学数学在“认识图形”这一章节中，一般从生活实物人手，抽象出数学图形，在学生正确认识图形特征的基础上，通过习题帮助学生辨认所学图形；例如在小学数学课本中有这样一个21的方格表（如图所示），它由
12、2个单位小方格组成，其中每个小方格均为正方形；若在这21方格表的6个顶点中任取2个顶点，则这2个顶点构成的线段长度不超过的概率为（）ABCD解：作出图形如图所示，因为小正方形的边长为1，则AEBFECBD，6个顶点中任取2个顶点的取法为：AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF共15种，其中AB，BC，CD，DE，EF，AF，BE的长度为1，AE，BF，EC，BD的长度为，所以线段长度不超过的取法共有7+411种，所以所求的概率为故选：B6运行如图所示的程序框图，若为了输出第一个大于50的S的值，则判断框中可以填（）Ab13？Bb21？Cb33？
13、Db34？解：模拟程序的运行，可得：a1，b1，i3，S2，c2，S4，a1，b2满足循环的条件，i4，c3，S7，a2，b3满足循环的条件，i5，c5，S12，a3，b5满足循环的条件，i6，c8，S20，a5，b8满足循环的条件，i7，c13，S33，a8，b13满足循环的条件，i8，c21，S54，a13，b21由题意，此时应该不满足循环的条件，退出循环输出S的值为54，可得判断框内的条件为b21？故选：B7已知ABC中，AB2BC4，AC2，点M在线段AC上除A，C的位置运动，现沿BM进行翻折，使得线段AB上存在一点N，满足CN平面ABM；若NB恒成立，则实数的最大值为（）A1BC2D
14、解：因为AB2BC4，AC2，且点M在线段AB上除A、C的位置运动，要使AB上存在一点N，满足CN平面ABM，使NB恒成立，则当M恰好为C点时，为临界条件（M不可为C点，但可用来计算），即CNAB，且NB，因为AB4，可得CN242，CN2（2）2（4）2，所以4212（4）2，解得1，所以的最大值为1故选：A8已知边长为4的正方形ABCD的对角线的交点为O，以O为圆心，6为半径作圆；若点E在圆O上运动，则（）A+72B+56C+36D+28解：建立坐标系如图：则A（2，2），B（2，2），C（2，2），D（2，2），E（6cos，6sin），则（26cos，26sin），（26cos，26s
15、in），（26cos，26sin），（26cos，26sin），则（26cos，26sin）（26cos，26sin）（26cos）2+（26sin）（26sin）36+24cos，（26cos，26sin）（26cos，26sin）（26cos）（26cos）+（26sin）236+24sin，（26cos，26sin）（26cos，26sin）（26cos）2+（26sin）（26sin）3624cos，（26cos，26sin）（26cos，26sin）（26sin）2+（26cos）（26cos）3624sin，则+36+24cos+3624cos+36+24sin+3624sin14
16、4，故AC错误，（26cos，26sin）（26cos，26sin）（26cos）（26cos）+（26sin）（26sin）36cos24+36sin2436828，（26cos，26sin）（26cos，26sin）（26cos）（26cos）+（26sin）（26sin）36cos24+36sin2436828，则+28+2856，故D错误，B正确，故选：B9已知ABC中，D，E分别是线段BC，AC的中点，AD与BE交于点O，且BOC90，若BC2，则ABC周长的最大值为（）A2+2B2+C2+2D2+4解：因为BOC90，故ODBC1，则AD3OD3；而AD2（AB2+AC2+2ABA
17、CcosA）（AB2+AC2+2ABAC）（2AB2+2AC2BC2），故AB2+AC22AD2+BC220，则AB+AC2，当且仅当ABAC时等号成立，故ABC周长的最大值为2+2故选：A10过双曲线C：1（a0，b0）上一点P作双曲线C的切线l，若直线OP与直线l的斜率均存在，且斜率之积为，则双曲线C的离心率为（）ABCD解：设点P的坐标为（x0，y0），则直线OP的斜率为，直线l的方程为，其斜率为，直线OP与直线l的斜率之积为，即，离心率e故选：C11函数f（x）5|sin2xsin|x|1在x，上的零点个数为（）A12B14C16D18解：由题意得：f（x）5|sin2xsin|x|1
18、f（x），故f（x）是偶函数，故只需讨论f（x）在0，上的零点个数即可，此时f（x）5|sin2xsinx|15|sinx（sinx1）|1，sinx10一定成立，f（x），令sinxt，则得到5t2+5t10或5t25t10，解得：t或t，又1t1，故t，结合ysinx在0，和2，上的图像，可知直线t与ysinx在0，和2，上有6个交点，t与ysinx在，2上有2个交点，故在0，上有8个交点，故在，上有16个交点，故选：C12已知函数f（x）xlnx+2x，若kZ，使得k+1在x（2，+）恒成立，则k的最大值为（）A2B3C4D5解：因为kZ，使得k+1在x（2，+）恒成立，所以f（x）+2
19、kkx+x在x（2，+）恒成立，所以k（x2），令g（x）（x2），则g（x），令h（x）x2lnx4，则h（x）1，当x2时，h（x）0，h（x）单调递增，因为h（8）42ln80，h（9）52ln90，所以x0（8，9）使得h（x0）0，即x02lnx040，所以lnx02，所以当x（2，x0）时，g（x）0，g（x）单调递减，当x（x0，+）时，g（x）0，g（x）单调递增，所以g（x）ming（x0）（4，），又因为kZ，所以kmax4，故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13若实数x、y满足则zx4y的最大值为2解：作出不等式组对应的平面区域如图：A（，1），B（
20、2，1），C（，），作直线l：yx的平行线，当直线l，经过点B时，直线yxz的纵截距最小，此时z最大此时zmax2412，故答案为：214已知m1，若函数f（x）有且仅有2个零点，则实数m的取值范围为m|1m2或m3解：在实数域上解方程：2x25x30可得：，函数ylog2（x1）在定义域内单调递增，且x3时，y10，结合函数f（x）的解析式可知，当m3时，函数有2个零点，当2m3时，ylog2（x1）0，故此时函数f（x）只有一个零点，当1m2时，由2x25x30 可得，由log2（x1）0 可得x2，此时函数有两个零点，综上可得，实数m的取值范围是：m|1m2或m3故答案为：m|1m2或m
21、315已知等差数列an的前n项和为Sn，若a1032，S555，则Sn解：设等差数列an的公差为d，由题设可得：，解得：，Sn5n+3，故答案为：16已知抛物线C：y24x的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于点M（x1，y1），N（x2，y2），若点P（x2，y2），且SMPF10，则直线MN的斜率为解：抛物线C的焦点坐标为F（1，0），设直线MN的方程为xmy+1，联立，得y24my40，所以，所以|MF|y1|，点P到直线MN的距离d，所以SMPF|MN|d|y1|my1y2|4m|10，所以m，故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题
22、，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17已知等比数列an）的前n项和为Sn，且a3，S3（1）求数列an的通项公式；（2）若an0，求数列的前n项和Tn解：（1）由题意可得，解得或，故通项公式为an（）n1，或an（）n1；（2）由an0，则an（）n1，n2n1，Tn120+221+322+n2n1，2Tn121+222+323+n2n，Tn1+21+22+2n1n2nn2n（1n）2n1，Tn（n1）2n+118已知四棱锥SABCD如图所示，其中SAB，SBC均为等边三角形，二面角ABSC为直二面角，点M为线段BC的中点，点N是线段S
23、D上靠近D的三等分点，BC平面SAD（1）求证：ADSM；（2）若ADBC，求直线AN与平面BNC所成角的正弦值解：（1）证明：BC平面SAD，BC平面ABCD，平面ABCD平面SADAD，BCAD，SBC为等边三角形，且BMCM，SMBC，SMAD（2）取SB的中点O，连接AO，CO，SAB，SBC均为等边三角形，AOSB，COSB，二面角ABSC为直二面角，平面ABS平面CBS，AO平面ABS，平面ABS平面CBSBS，AO平面SBC，以O为坐标原点，OB，OC，OA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AB2，则S（1，0，0），B（1，0，0），C（0，0），A（0，0，）
24、，（1，0），（），D（），（），（），N（），（1，0），（，），（），设平面BNC的法向量（x，y，z），则，令y1，得（），设直线AN与平面BNC所成角为，则直线AN与平面BNC所成角的正弦值为：sin19在某媒体上有这样一句话：买车一时爽，一直养车一直爽，讲的是盲目买车的人最终会成为一个不折不扣的车奴；其实，买车之后的花费主要由加油费、停车费、保险费、保养费、维修费等几部分构成；为了了解新车车主5年以来的花费，打破年轻人买车的恐惧感，研究人员在2016年对A地区购买新车的400名车主进行跟踪调查，并将他们5年以来的新车花费统计如表所示：5年花费（万元）3，5）5，7）7，9）9，11）
25、11，13）13，15人数60100120406020（1）求这400名车主5年新车花费的平均数以及方差（同一区间的花费用区间的中点值替代）；（2）以频率估计概率，假设A地区2016年共有10000名新车车主，若所有车主5年内新车花费可视为服从正态分布N（，2），2分别为（1）中的平均数以及方差s2，试估计2016年新车车主5年以来新车花费在5.2，13.6）的人数；（3）以频率估计概率，若从2016年A地区所有的新车车主中随机抽取4人，记花费在9，15的人数为X，求X的分布列以及数学期望参考数据：1.4；若随机变量服从正态分布N（，2），则P（+）0.6826，P（2+2）0.9544，P（
26、3+3）0.9974解：（1）这400名车主5年新车花费的平均数为：+12，方差为s+（88）+（148），（2）由（1）可知，8，28，所以22.8，则P（5.213.6）P（+2），故所求人数为1000000.818581850；（3）由题意可知，XB（4，），P（X0）（），P（X1）C，P（X2）C，P（X3）C，P（X4）（）4，X的分布列如下： X 0 1 2 3 4 P 则E（X）420已知椭圆C：+1的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点（1）若直线l的倾斜角为45，求|AB|的值；（2）记椭圆C的右顶点为D，若点M（9，yM），N（9yN）分别在直线AD，BD上，
27、求证：FMFN解：（1）由椭圆的方程可得右焦点F（1，0），由题意可得直线l的方程为：yx1，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理可得：17x218x630，所以x1+x2，x1x2，所以弦长|AB|x1x2|；（2）证明：由题意可得右顶点D（3，0），当直线l的斜率不存在时x1，可以求得M（9，8），N（9，8），所以kFMkFN1，所以可证得FMFN；当直线l的斜率存在时设直线l的方程为：yk（x1），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理可得：（8+9k2）x218k2x+9k2720，x1+x2，x1x2，y1y2k（x11）k（x21）k2x1x2k2（x1+x
28、2）+k2，由D，A，M共线，解得yM，由D，B，N共线，解得yN，故直线FM，FN的斜率之积kFMkFN1，所以可证得：FMFN21已知函数f（x）ex（mex1）+x，其中m0（1）若函数f（x）有2个极值点，求实数m的取值范围；（2）若关于x的方程f（x）a仅有1个实数根，求实数a的取值范围解：（1）依题意，f（x）2me2xex+1，令tex，则由f（x）0，可得2mt2t+10，则18m，当m时，0，此时f（x）0，所以函数f（x）在（，+）上单调递增，无极值点，不合题意，当0m时，0，f（x）0，得ex，则令x1ln，x2ln，则当x（，x1）时，f（x）0，f（x）单调递增，当x
29、（x1，x2）时，f（x）0，f（x）单调递减，当x（x2，+）时，f（x）0，f（x）单调递增，所以函数f（x）有两个极值点，符合题意，综上所述，实数m的取值范围为（0，）（2）依题意，ex（mex1）+xa，记g（x）ex（mex1）+xa，则g（x）f（x），1由（1）可知当m时，g（x）0，则函数g（x）在（，+）上单调递增，可知当x时，g（x）；当x+时，g（x）+，所以当m时，函数g（x）恰有1个零点，此时aR2当0m时，g（x）在（，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+）上单调递增，g（x1）2mee+1g（x2）2mee+10，则m，所以g（x）极大值g（
30、x1）mee+x1a+x1a，g（x）极小值g（x2）mee+x2a+x2a，因为当x时，g（x）；当x+时，g（x）+；所以只需g（x1）0，或g（x2）0，令h（x）+x，则h（x）+1，所以当x（，ln2）时，h（x）0；当x（ln2，+）时，h（x）0，又x1lnln，x2ln，又0m，故（0，1），故x1（0，ln2），x2（ln2，+），所以h（x1）（1，+ln2），h（x2）（，+ln2），故a+ln2，综上所述，实数a的取值范围为+ln2，+）（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22已知平面
31、直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为216cos+320（1）求曲线C的普通方程以及曲线C的直角坐标方程；（2）已知过原点的直线l与曲线C仅有1个交点M，若l与曲线C也仅有1个交点N，求点M的极坐标解：（1）曲线C的参数方程为（t为参数），转换为普通方程为yx22（x2或x2）；曲线C的极坐标方程为216cos+320，根据，转换为直角坐标方程为（x8）2+y232；（2）设直线l的方程为ykx，所以，整理得（1+k2）x216x+320，利用0，解得k1或1，故直线的方程为yx或yx；直线lyx和yx与yx
32、22（x2或x2）；构建方程组：或，得到M（2，2）或M（2，2）转换为极坐标为或选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|ax3|+a|x2|的图象关于原点对称（1）求不等式f（x）x+2的解集；（2）若关于x的不等式f（x）mx2+恒成立，求实数m的取值范围解：（1）函数f（x）|ax3|+a|x2|的图象关于原点对称，可得f（x）为R上的奇函数，即有f（0）0，即3+2a0，解得a，不等式（|x+2|x2|）x+2，等价为或或，解得x8或1x2或2x4，则原不等式的解集为（，8）（1，4）；（2）若关于x的不等式f（x）mx2+恒成立，可得（|x+2|x2|）mx2+恒成立，当x2时，6mx2+，即m，由x24，0，可得m；当x2时，6mx2+，即m恒成立，由x24，0，可得m；由可得m又2x2时，3xmx2+恒成立，当2x0时，原不等式显然成立；当0x2时，m恒成立，由y（1）2+1，当x时，y取得最大值1，所以m1，综上可得，m的取值范围是1，+）- 24 - 版权所有高考资源网