1、2015-2016学年山东省聊城市莘县高中高三（上）第二次段考数学试卷（理科）一、本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合M=x|3+2xx20，N=x|xa，若MN，则实数a的取值范围是( )A3，+）B（3，+）C（，1D（，1）2复数的共轭复数=( )A1+2iB12iC2+iD2i3已知a0，b1，那么下列不等式成立的是( )ABCD4下列说法正确的是( )A命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x1”B若命题p：xR，x22x10，则命题p：xR，x22x10C命题“若x=y，则sinx=siny”的逆
2、否命题为真命题D“x=1”是“x25x6=0”的必要不充分条件5设f（x）=，且f（1）=6，则f（f（2）的值为( )A18B12CD6等比数列an前n项的积为Tn，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是( )AT10BT13CT17DT257与定积分dx相等的是( )AsindxB|sin|dxC|sindx|D以上结论都不对8已知函数f（x）=Acos（x+）（A0，0，0）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，EFG是边长为2的等边三角形，则f（1）的值为( )ABCD9函数y=ln的图象大致为( )ABCD10已知f（x）是定义在R上的
3、增函数，函数y=f（x1）的图象关于点（1，0）对称若对任意的x，yR，不等式f（x26x+21）+f（y28y）0恒成立，则当x3时，x2+y2的取值范围是( )A（3，7）B（9，25）C（13，49）D（9，49）二.本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题纸相应位置.11已知不等式ax2bx+c0的解集为（，2），对于a，b，c有以下结论：（1）a0；（2）b0；（3）c0；（4）a+b+c0；（5）ab+c0，其中正确讨论的序号为_12已知角终边上一点P（4，3），求的值_13已知向量=（1，3），=（2，1），=（m+1，m2），若点A、B、C能构成三角形，则实数m应
4、满足的条件是_14公比为4的等比数列bn中，若Tn是数列bn的前n项积，则有，仍成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，在公差为3的等差数列an中，若Sn是an的前n项和，则有_也成等差数列，该等差数列的公差为_15对定义在区间D上的函数f（x）和g（x），如果对任意xD，都有|f（x）g（x）|1成立，那么称函数f（x）在区间D上可被g（x）替代，D称为“替代区间”给出以下命题：f（x）=x2+1在区间（，+）上可被g（x）=x2+替代；f（x）=x可被g（x）=1替代的一个“替代区间”为；f（x）=lnx在区间1，e可被g（x）=xb替代，则e2b2；其中真命题的有_三、解答题（共6小
5、题，满分75分）16函数f（x）=lg（x22x3）的定义域为集合A，函数g（x）=2xa（x2）的值域为集合B（）求集合A，B；（）若集合A，B满足BUA=，求实数a的取值范围17在ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满足cos2Acos2B=（1）求角B的值；（2）若且ba，求的取值范围18已知向量；令，（1）求f（x）解析式及单调递增区间；（2）若，求函数f（x）的最大值和最小值；（3）若f（x）=，求的值19已知等差数列an满足：an+1an（nN*），a1=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列bn的前三项（）分别求数列an，bn的通项公式an，bn；（）设
6、，若恒成立，求c的最小值20（13分）如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数y=x2+2（0x）的图象，且点M到边OA距离为（1）当t=时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？21（14分）已知函数f（x）=x3+x2+ax+1在（1，0）上有两个极值点x1，x2，且x1x2（1）求实数a的取值范围；（2）
7、证明：当x0 时，f（x）2015-2016学年山东省聊城市莘县高中高三（上）第二次段考数学试卷（理科）一、本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合M=x|3+2xx20，N=x|xa，若MN，则实数a的取值范围是( )A3，+）B（3，+）C（，1D（，1）【考点】集合的包含关系判断及应用；一元二次不等式的解法 【专题】计算题；数形结合【分析】集合M为一个二次不等式的解集，先解出，再由MN利用数轴求解【解答】解：M=x|3+2xx20=x|x22x30=（1，3），因为MN所以a1故选C【点评】本题考查集合的关系、解二次不等式及
8、数形结合思想，属基本运算的考查2复数的共轭复数=( )A1+2iB12iC2+iD2i【考点】复数代数形式的乘除运算 【专题】计算题【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则求得z，即可求得它的共轭复数【解答】解：复数=1+2i，它的共轭复数=12i，故选B【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题3已知a0，b1，那么下列不等式成立的是( )ABCD【考点】不等关系与不等式 【专题】证明题【分析】由0，b1结合不等式的性质可得0a且0，进而得到答案【解答】解：因为a0，b1，所以b21，所以0a因为a0，b1，所以0故选D【点评】解决此类问
9、题的关键是熟悉比较大小的方法（作差、作商）以及不等式的有关性质4下列说法正确的是( )A命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x1”B若命题p：xR，x22x10，则命题p：xR，x22x10C命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题D“x=1”是“x25x6=0”的必要不充分条件【考点】四种命题 【专题】简易逻辑【分析】A，写出它的否命题，即可判定真假；B，写出命题p的否定p；C，判定原命题的真假性，即可得出它的逆否命题的真假性；D，由“x=1”得出“x25x6=0”成立，判定命题是否正确【解答】解：对于A，否命题是“若x21，则x1”，A错误；对于B，命题
10、p的否定p：xR，x22x10，B错误；对于C，命题“若x=y，则sinx=siny”是真命题，它的逆否命题是真命题，C正确；对于D，“x=1”时，“x25x6=0”，是充分条件，D错误；故选：C【点评】本题通过命题真假的判定，考查了四种命题之间的关系，也考查了一定的逻辑思维能力，是基础题5设f（x）=，且f（1）=6，则f（f（2）的值为( )A18B12CD【考点】对数的运算性质 【专题】计算题【分析】题目给出了分段函数，先由已知的f（1）=6求得t的值，把t代回函数解析式后再求f（2），最后求f（f（2）的值【解答】解：因为f（x）=，由f（1）=6，得：2（t+1）=6，所以t=2，所
11、以，则f（2）=，所以f（f（2）=f（log36）=故选B【点评】本题考查了分段函数，考查了对数的运算性质，注意分段函数的函数值要分段求，此题是中低档题6等比数列an前n项的积为Tn，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是( )AT10BT13CT17DT25【考点】等比数列的性质 【专题】等差数列与等比数列【分析】利用等比数列的通项公式、同底数幂的乘法法则化简a3a6a12 =a73 是一个确定的常数，列举出T13的各项，利用等比数列的性质得到 T13 =a713，即可得到T13为常数【解答】解：由a3a6a18=a1q2a1q5a1 q1
12、7=（a1 q8）3 =为常数，所以a9为常数，则 T17=a1a2a17=（a1a17）（a2a16）（a3a15）（a4a14）（a5 a13）（a6a12）（ a7a11）（a8a10） a9=， 为常数故选C【点评】此题主要考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，要求学生掌握等比数列的性质，是一道中档题7与定积分dx相等的是( )AsindxB|sin|dxC|sindx|D以上结论都不对【考点】定积分 【专题】导数的概念及应用【分析】根据二倍角公式，化简原函数，即可求出答案【解答】解：dx=dx=|sin|dx，故选：B【点评】本题考查了二倍角公式，以及定积分的意义，属于基础题8
13、已知函数f（x）=Acos（x+）（A0，0，0）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，EFG是边长为2的等边三角形，则f（1）的值为( )ABCD【考点】余弦函数的奇偶性；余弦函数的图象 【专题】计算题【分析】由f（x）=Acos（x+）为奇函数，利用奇函数的性质可得f（0）=Acos=0结合已知0，可求 =，再由EFG是边长为2的等边三角形，可得=A，结合图象可得，函数的周期T=4，根据周期公式可得，从而可得f（x），代入可求f（1）【解答】解：f（x）=Acos（x+）为奇函数f（0）=Acos=0 0=f（x）=Acos（x）=Asinx EFG是边长为2的等边三角形，则=A又函数的周期
14、 T=2FG=4，根据周期公式可得，=f（x）=Asinx=则f（1）=故选D【点评】本题中的重要性质要注意灵活运用：若奇函数的定义域包括0，则f（0）=0；解决本题的另一关键是要由EFG是边长为2的等边三角形，及三角形与函数图象之间的关系得到=A，这也是本题的难点所在9函数y=ln的图象大致为( )ABCD【考点】函数的图象 【专题】函数的性质及应用【分析】化简函数的解析式为ln（1），求出它的定义域为（0，+），y0，且y是（0，+）上的增函数，结合所给的选项，得出结论【解答】解：函数y=ln=ln=ln（1），由 10 可得x0，故函数的定义域为（0，+）再由 011，可得 y0，且y是
15、（0，+）上的增函数，故选C【点评】本题主要考查函数的图象特征，函数的定义域和单调性的应用，属于基础题10已知f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x1）的图象关于点（1，0）对称若对任意的x，yR，不等式f（x26x+21）+f（y28y）0恒成立，则当x3时，x2+y2的取值范围是( )A（3，7）B（9，25）C（13，49）D（9，49）【考点】函数单调性的性质；奇偶函数图象的对称性 【专题】综合题；压轴题；转化思想【分析】由函数y=f（x1）的图象关于点（1，0）对称，结合图象平移的知识可知函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，从而可知函数y=f（x）为奇函数，由f（x26
16、x+21）+f（y28y）0恒成立，可把问题转化为（x3）2+（y4）24，借助于的有关知识可求【解答】解：函数y=f（x1）的图象关于点（1，0）对称 函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即函数y=f（x）为奇函数，则f（x）=f（x）又f（x）是定义在R上的增函数且f（x26x+21）+f（y28y）0恒成立（x26x+21）f（y28y）=f（8yy2 ）恒成立x26x+218yy2 （x3）2+（y4）24恒成立设M （x，y），则当x3时，M表示以（3，4）为圆心2为半径的右半圆内的任意一点，则x2+y2表示在半圆内任取一点与原点的距离的平方由图可知，最短距离为OA=，最大距
17、离OB=OC+BC=5+2=713x2+y249故选 C【点评】本题考查了函数图象的平移、函数的奇偶性、单调性及圆的有关知识，解决问题的关键是把“数”的问题转化为“形”的问题，借助于图形的几何意义减少了运算量，体现“数形结合：及”转化”的思想在解题中的应用二.本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题纸相应位置.11已知不等式ax2bx+c0的解集为（，2），对于a，b，c有以下结论：（1）a0；（2）b0；（3）c0；（4）a+b+c0；（5）ab+c0，其中正确讨论的序号为（3）（5）【考点】命题的真假判断与应用；一元二次不等式的解法 【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应
18、用【分析】（1）利用不等式ax2bx+c0的解集为（，2），可知a0，可判断（1）；（2）与（3）依题意，与2为方程ax2bx+c=0的两个根，结合（1）可判断（2）与（3）；（4）令f（x）=ax2bx+c，则y=f（x）为开口向下的抛物线，其对称轴x=，可知f（1）=a+b+c0，可判断（4）；（5）不等式ax2bx+c0的解集为（，2），可知f（1）=ab+c0，可判断（5）【解答】解：不等式ax2bx+c0的解集为（，2），a0，故（1）错误；依题意，与2为方程ax2bx+c=0的两个根，由得b=a0，c=2a0，故（2）错误，（3）正确令f（x）=ax2bx+c，则y=f（x）为开口
19、向下的抛物线，其对称轴x=，则f（1）=a+b+cf（）=0，故（4）错误；不等式ax2bx+c0的解集为（，2），f（1）=ab+c0，故（5）正确故答案为：（3）（5）【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查方程思想、构造函数思想与综合运算求解能力，属于中档题12已知角终边上一点P（4，3），求的值【考点】同角三角函数基本关系的运用 【专题】计算题【分析】利用角终边上一点P的坐标求得tan的值，然后利用诱导公式对原式化简整理后，把tan的值代入即可求得答案【解答】解：故答案为：【点评】本题主要考查了同角三角函数的基本关系的应用，诱导公式的化简求值注意利用好三角函数中平方关系，倒数关系和商
20、数关系13已知向量=（1，3），=（2，1），=（m+1，m2），若点A、B、C能构成三角形，则实数m应满足的条件是m1【考点】平行向量与共线向量；平面向量共线（平行）的坐标表示 【专题】计算题【分析】若点A、B、C能构成三角形，则A，B，C三点不共线，我们求出A，B，C三点共线时m的取值范围，其补集即为A、B、C能构成三角形时，实数m应满足的条件【解答】解：若点A、B、C不能构成三角形，则只能共线=（2，1）（1，3）=（1，2），=（m+1，m2）（1，3）=（m，m+1）假设A、B、C三点共线，则1（m+1）2m=0，即m=1若A、B、C三点能构成三角形，则m1故答案：m1【点评】本题考
21、查的知识点是平面向量共线（平行）的坐标表示，平行向量与共线向量，如果从正面进行解答，需要复杂的分类讨论，故根据正难则反的原则，先确定A，B，C三点共线时m的取值范围，进而得到答案是解答本题的关键14公比为4的等比数列bn中，若Tn是数列bn的前n项积，则有，仍成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，在公差为3的等差数列an中，若Sn是an的前n项和，则有S20S10，S30S20，S40S30也成等差数列，该等差数列的公差为300【考点】归纳推理；等差数列的性质 【专题】计算题【分析】等差数列与等比数列有很多地方相似，因此可以类比等比数列的性质猜想等差数列的性质，因此商的关第与差的关系正好
22、与等比数列的二级运算及等差数列的一级运算可以类比，因此我们可以大胆猜想，数列S20S10，S30S20，S40S30也是等差数列再根据等差数列的定义求出公差即可【解答】解：由等比数列bn中，若Tn是数列bn的前n项积，则有，仍成等比数列，且公比为4100；我们可以类比推断出：S20S10，S30S20，S40S30也构成等差数列公差为100d=300；故答案为：S20S10，S30S20，S40S30，300【点评】类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）15对定义在区间D上的函数f（x）和g（x），
23、如果对任意xD，都有|f（x）g（x）|1成立，那么称函数f（x）在区间D上可被g（x）替代，D称为“替代区间”给出以下命题：f（x）=x2+1在区间（，+）上可被g（x）=x2+替代；f（x）=x可被g（x）=1替代的一个“替代区间”为；f（x）=lnx在区间1，e可被g（x）=xb替代，则e2b2；其中真命题的有【考点】命题的真假判断与应用 【专题】新定义；转化思想【分析】注要考查了新型定义的理解，利用所给的定义分别判断是否符合，得出结论【解答】解：中|f（x）g（x）|=1，故f（x）=x2+1在区间（，+）上可被g（x）=x2+替代，故正确；中|f（x）g（x）|=x+1，x，记h（x
24、）=x+1，x，易得h（x）=x+10，所以|f（x）g（x）|1，故正确；中，|f（x）g（x）|=|lnxx+b|1等价于xlnx1bxlnx+1对任意x 1，e恒成立，易得（xlnx+1）min=2，（xlnx1）max=e2，故e2b2，正确；故答案为：【点评】考查了对新概念的理解能力和对问题的分析转换能力，学生应对定义透彻理解三、解答题（共6小题，满分75分）16函数f（x）=lg（x22x3）的定义域为集合A，函数g（x）=2xa（x2）的值域为集合B（）求集合A，B；（）若集合A，B满足BUA=，求实数a的取值范围【考点】对数函数的定义域；交、并、补集的混合运算；函数的值域 【专
25、题】函数的性质及应用【分析】（I）利用一元二次不等式的解法即可化简集合A，利用指数函数的单调性即可化简B（II）利用集合的运算性质可得BA，即可得出a的取值范围【解答】解：（）A=x|x22x30=x|（x3）（x+1）0=x|x1或x3，B=y|ay22a（）满足BUA=，BA，4a1或a3，解得a3或a5，即a的取值范围是（，3）（5，+）【点评】本题考查了一元二次不等式的解法、指数函数的单调性、集合的运算性质，属于中档题17在ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满足cos2Acos2B=（1）求角B的值；（2）若且ba，求的取值范围【考点】正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应
26、用 【专题】解三角形【分析】（1）由条件利用三角恒等变换化简可得 22sin2A2cos2B=2sin2A，求得cos2B 的值，可得cosB的值，从而求得B的值（2）由b=a，可得B=60再由正弦定理可得【解答】解：（1）在ABC中，cos2Acos2B=2（cosA+sinA）（cosAsinA）=2（cos2Asin2A）=cos2Asin2A=2sin2A又因为 cos2Acos2B=12sin2A（2cos2B1）=22sin2A2cos2B，22sin2A2cos2B=2sin2A，cos2B=，cosB=，B=或（2）b=a，B=，由正弦=2，得a=2sinA，c=2sinC，故
27、ac=2sinAsinC=2sinAsin（A）=sinAcosA=sin（A），因为ba，所以A，A，所以ac=sin（A），）【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，三角恒等变换，属于中档题18已知向量；令，（1）求f（x）解析式及单调递增区间；（2）若，求函数f（x）的最大值和最小值；（3）若f（x）=，求的值【考点】平面向量的综合题；三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性；三角函数的最值 【专题】综合题【分析】（1）由向量，知=+2，由此能求出f（x）解析式及单调递增区间（2）由f（x）=2+2cos（x+），知，由此能求出f（x）=2+2cos（x+）的最大值和最小值（
28、3）由f（x）=，知，由此能够求出的值【解答】解：（1）向量，=+2=2+2cos（x+），增区间是：+2k，kZ，kZ，f（x）解析式为f（x）=2+2cos（x+），单调递增区间是，kZ（2）f（x）=2+2cos（x+），当时，f（x）=2+2cos（x+）有最大值2+；当时，f（x）=2+2cos（x+）有最小值2（3）f（x）=，所以【点评】本题考查平面向量的综合应用，综合性强，难度大，是高考的重点解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数恒等式的灵活运用，合理地进行等价转化19已知等差数列an满足：an+1an（nN*），a1=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列b
29、n的前三项（）分别求数列an，bn的通项公式an，bn；（）设，若恒成立，求c的最小值【考点】数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和 【专题】综合题【分析】（）设d、q分别为数列an、数列bn的公差与公比，a1=1由题可知，a1=1，a2=1+d，a3=1+2d，分别加上1，1，3后得2，2，+d，4+2d是等比数列bn的前三项，从而可得（2+d）2=2（4+2d），根据an+1an，可确定公差的值，从而可求数列an的通项，进而可得公比q，故可求bn的通项公式（）表示出，利用错位相减法求和，即可求得c的最小值【解答】解：（）设d、q分别为数列an、数列bn的公差
30、与公比，a1=1由题可知，a1=1，a2=1+d，a3=1+2d，分别加上1，1，3后得2，2，+d，4+2d是等比数列bn的前三项，（2+d）2=2（4+2d）d=2an+1an，d0d=2，an=2n1（nN*）由此可得b1=2，b2=4，q=2，bn=2n（nN*）（），得=+2（+），Tn=3Tn+=32，满足条件恒成立的最小整数值为c=2【点评】本题以等差数列与等比数列为载体，考查数列通项公式的求解，考查数列与不等式的综合，考查错位相减法求数列的和，综合性强20（13分）如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池
31、边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数y=x2+2（0x）的图象，且点M到边OA距离为（1）当t=时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？【考点】基本不等式；利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】不等式的解法及应用；直线与圆【分析】（）求当t=时，直路l所在的直线方程，即求抛物线y=x2+2（0x）在x=时的切线方程，利用求函数的导函数得到切线的斜率，运用点斜式写切线方程；（）求出x=t时的抛物线y=x2+2（0x）
32、的切线方程，进一步求出切线截正方形在直线右上方的长度，利用三角形面积公式写出面积，得到的面积是关于t的函数，利用导数分析面积函数在（0t）上的极大值，也就是最大值【解答】解：（I）y=x2+2，y=2x，过点M（t，t2+2）的切线的斜率为2t，所以，过点M的切线方程为y（t2+2）=2t（xt），即y=2tx+t2+2，当t=时，切线l的方程为y=x+，即当t=时，直路l所在的直线方程为12x+9y22=0；（）由（I）知，切线l的方程为y=2tx+t2+2，令y=2，得x=，故切线l与线段AB交点为F（），令y=0，得x=，故切线l与线段OC交点为（）地块OABC在切线l右上部分为三角形F
33、BG，如图，则地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积为S=（2）2=4t=4（t+）2当且仅当t=1时，取等号 当t=100米时，地块OABC在直路l不含游泳池那侧的面积最大，最大值为20000平方米【点评】本题考查了函数模型的选择与应用，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，在实际问题中，函数在定义域内仅含一个极值，该极值往往就是最值属中档题型21（14分）已知函数f（x）=x3+x2+ax+1在（1，0）上有两个极值点x1，x2，且x1x2（1）求实数a的取值范围；（2）证明：当x0 时，f（x）【考点】利用导数研究函数的极值 【专题】计算题；综合法；导数的综合应用；
34、不等式的解法及应用【分析】（1）求导数知方程2x2+2x+a=0在（1，0）上有两不等实根，可得，即可求出实数a的取值范围；（2）确定ax2x2，可得f（x2）=x23+x22+ax2+1x23+x22+x2+1，设h（x）=x3+x2+x+1，x（，0），h（x）在（，0）递增，即可证明结论【解答】（1）解：f（x）=x3+x2+ax+1，f（x）=2x2+2x+a，由题意知方程2x2+2x+a=0在（1，0）上有两不等实根，设g（x）=2x2+2x+a，其图象的对称轴为直线x=，故有，解得0a（2）证明：由题意知x2是方程2x2+2x+a=0的大根，从而x2（，0），由于0a，ax2x2，f（x2）=x23+x22+ax2+1x23+x22+x2+1设h（x）=x3+x2+x+1，x（，0），h（x）=2（x+）2+0，h（x）在（，0）递增，h（x）h（）=，即f（x2）成立【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题