1、20192020学年度第一学期期中七校联考高三数学一、选择题：共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解不等式简化集合的表示，用列举法表示集合，最后根据集合交集的定义求出.【详解】，又，所以，故本题选C.【点睛】本题考查了列举法表示集合、集合交集的运算，正确求解出不等式的解集是解题的关键.2.若x0y，则下列各式中一定正确的是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】举反例否定A,B,C，根据不等式性质证明D成立.【详解】, A,B,C不正确，x0，0，y0，0，故选
2、：D【点睛】本题考查比较大小，考查基本分析判断能力，属基本题.3.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出【详解】,故故选：C【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，熟记指对函数的单调性与底的关系是关键，属于基础题4.要得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位【答案】B【解析】因为函数，要得到函数的图象，只需要将函数的图象向右平移个单位。本题选择B选项.点睛：三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原来的倍，要
3、特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同此处有视频，请去附件查看】5.有下面四个命题，其中正确命题的序号是（ ）“直线、不相交”是“直线、为异面直线”的充分而不必要条件；“直线平面内所有直线”的充要条件是“平面”；“直线直线”的充要条件是“平行于所在的平面”；“直线平面”的必要而不充分条件是“直线平行于内的一条直线”A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】“直线、为异面直线” “直线、不相交”，反之不成立，即可判断出关系；根据线面垂直的判定与性质定理即可判断出正误；“直线直线”与“平行于所在的平面”相互不能推出，即可判断出正误；“直线平面” “直线平行于内的一条直线
4、”，反之不成立；即可判断出关系【详解】解：“直线、为异面直线” “直线、不相交”，“直线、不相交” 直线、的位置关系有平行或异面，故由“直线、不相交”得不到“直线、为异面直线”因此“直线、不相交”是“直线、为异面直线”的必要而不充分条件，因此不正确；“直线平面内所有直线”的充要条件是“平面”，正确；由“直线直线”则直线与直线所在的平面的位置关系有平行、在平面内；由“平行于所在的平面”则直线与直线可能平行，异面；故“直线直线”与“平行于所在的平面”相互不能推出，因此不正确；由“直线平面” 可得直线平行平面内的无数条直线；由“直线平行于内的一条直线”则直线可能与平面平行也可能在平面内；故“直线平面
5、” “直线平行于内的一条直线”，反之不成立， “直线平面”的必要而不充分条件是“直线平行于内的一条直线”综上只有正确故选：【点睛】本题考查了空间位置关系的判定与性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6.在中，分别为的对边如果成等差数列，的面积为，那么（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可得平方后整理得利用三角形面积可求得的值，代入余弦定理可求得的值【详解】解：，成等差数列，平方得又的面积为，且，由，解得，代入式可得，由余弦定理解得，又为边长，故选：【点睛】本题考查等差数列和三角形的面积，涉及余弦定理的应用，属基础题7.已知定义域为的奇函数的导函
6、数为，当时，若，则的大小关系正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用条件构造函数，然后利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性比较大小【详解】解：根据题意，设，若为奇函数，则，则函数为偶函数，当时，又由当时，则，则函数在上为减函数，（2），且，则有；故选：【点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数奇偶性的性质以及应用，关键是构造新函数，属于综合题8.如图，点是线段上的一个动点，为的中点，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】由题意以为坐标原点，建立面直角坐标系，用坐标表示出，然后进行运算。【详解】解：所以可建立以为坐标原
7、点，建立如图所示的平面直角坐标系，则，直线的方程为因为是线段上的一个动点，所以可设，则，当时，故选：【点睛】本题考查向量的数量积，当出现图形比较规则时可采用建立平面直角坐标系法，用坐标进行运算比较方便，属于中档题。9.已知函数,若函数在区间2，4内有3个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先作出函数的图像，再由函数在区间2，4内有3个零点可得，函数与在区间2，4内有3个不同交点，进而可求出结果.【详解】当时，；当时，；又时，所以可作出函数在2，4的图像如下：又函数在区间2，4内有3个零点，所以函数与在区间2，4内有3个不同交点，由图像可得或,即或.故
8、选D【点睛】本题主要考查函数的零点问题，将函数有零点的问题转化为两函数有交点的问题来处理，运用数形结合思想即可求解，属于常考题型.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.10.函数的图象在点处的切线方程为_【答案】【解析】【分析】求得函数的导数，利用导数的几何意义求得切线的斜率，利用直线的点斜式方程，即可求得切线的方程.【详解】由题意，函数，则，所以函数的图象在点处的斜率为，即函数的图象在点处切线方程为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，其中解答熟记函数导数的几何意义，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11.已知
9、数列首项为，且，则为_.【答案】31【解析】【分析】构造可得，从而可得数列是以2为首项，以2为等比数列，可先求，进而可求，把代入可求【详解】是以2为首项，以2为等比数列故答案为：【点睛】本题主要考查了利用数列的递推关系求解数列的项，待定系数法 迭代的方法即构造等比（等差）数列的方法求解，12.若在上单调递减，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由已知得在，上单调递增，且由此能求出的取值范围【详解】解：函数在，上单调递减，在，上单调递增，解得故答案：【点睛】本题考查复合函数的单调性，实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数的单调性的合理运用13.如图所示，直三棱柱的高为4，底面边
10、长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为_.【答案】【解析】【分析】由已知求出直三棱柱截球所得圆的半径，再求出球心到截面的距离，利用勾股定理求得半径，代入球的体积公式得答案【详解】解：直三棱柱的底面边长分别是5，12，13，底面为直角三角形，设其内切圆的半径为，则，解得又直三棱柱的高为4，且球心到下底面距离为8，则球心到截面的距离为4如图，则球的半径球的体积为故答案为：【点睛】本题考查球的表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题14.已知，且，求的最小值_.【答案】3【解析】【分析】将变形为，展开，利用基本不等式解之【详解】解：已知，
11、则，当且仅当时等号成立；故答案为：3【点睛】本题考查了利用基本不等式求代数式的最值；关键是变形为能够利用基本不等式的形式15.设函数，其中若函数在上恰有个零点，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】求出函数的零点，对大于0的零点按从小到大排序，第二个在上，第三个大于，由此可求得的范围【详解】取零点时满足条件，当时的零点从小到大依次为，所以满足 ，解得：【点睛】本题考查三角函数零点个数问题，属于中等题，解题时只要求出零点，按题设条件列出不等关系即可求解参数范围三、解答题：本大题共5个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16.设函数. （）求的最小正周期和对称中心；（）若函数，
12、求函数在区间上的最值【答案】（）， ；（），.【解析】【分析】（）把已知函数解析式变形，再由辅助角公式化积，利用周期公式求周期，再由求得值，可得函数的对称中心；（）求出的解析式，得到函数在区间上的单调性，则最值可求【详解】（）由已知，有 最小正周期，由，得，对称中心为；（）由，得，当时，可得在区间上单调递增，当时，可得在区间上单调递减又，【点睛】本题考查三角函数的恒等变换应用，考查型函数的图象和性质，是中档题17.如图，在四边形ABCD中，求边AB的长及的值；若记，求的值【答案】（1）,；（2）【解析】【分析】由已知可求，中，由正弦定理可求AB，中由余弦定理，可求由可得，进而可求，进而根据二倍
13、角公式，可求，然后根据两角差的余弦公式即可求解.【详解】由题意，因为，中，由正弦定理可得，中由余弦定理可得，由可得，【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角恒等变换的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题18.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，点、分别在线段、上，且，其中，连接，延长与的延长线交于点，连接（）求证：平面；（）若时，求二面角的正弦值；（）若直线与平面所成角的正弦值
14、为时，求值【答案】（）证明见解析；（）；（）.【解析】【分析】（）在线段上取一点，使得，证明四边形为平行四边形，得到，然后证明平面（）以为坐标原点，分别以，为，轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量利用空间向量的数量积，求解二面角的正弦值（）令，求出平面的一个法向量利用空间向量的数量积转化求解即可【详解】（）在线段上取一点，使得，且，且，且，四边形为平行四边形，又平面，平面，平面（）以为坐标原点，分别以，为，轴建立空间直角坐标系，0，0，2，2，0，1，0，设平面的一个法向量为，令，设平面的一个法向量为，令，二面角的正弦值为（）令，设平面的一个法向量为，令，由题意可得：，
15、【点睛】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力19.已知是各项均为正数等比数列，是等差数列，且.（I）求和的通项公式；（II）设数列满足，求；（III）对任意正整数，不等式成立，求正数的取值范围【答案】（I），；（II）；（III）【解析】【分析】（1）设出公比和公差，将已知转化为，的方程组，解方程组，结合，即可得到和的通项公式；（2）将要求的算式分组后，分别用等比数列的求和公式和错位相减法求和相加即可；（3）将分离后，转化为在上恒成立，进而转化为求函数在上的最小值【详解】解：（1）设数列的公比为，数列的公差为，由题意
16、，由已知有，消去整理得：，解得，数列的通项公式为，数列的通项公式为，；（2），令令令；（3）对任意正整数，不等式成立即对任意正整数成立记则，即递增故，【点睛】本题考查了等差数列和等比数列通项公式，分组求和，公式求和以及错位相减法求和，不等式恒成立问题考查了分析解决问题的能力和推理转化能力属于难题20.已知.（I）若，判断函数在的单调性；（II）设，对，有恒成立，求的最小值；（III）证明：.【答案】（I）在单调递增；（II）2；（III）证明见解析.【解析】【分析】（1），函数，根据，可得，而即可得出单调性（2）由题意知，对，有恒成立，设，由，可得时，单调递增，又，因此在内存在唯一零点，使，即，利用其单调性可得：，故，设，利用导数研究其单调性即可得出所求的最小值（3）由可知时，（1），即：设，可得，可得，求和利用对数的运算性质即可得出【详解】解：（1），函数，又，而，故在上单调递增（2）由题意知，对，有恒成立，设，则，由于，故，时，单调递增，又，因此在内存在唯一零点，使，即，且当，单调递减；，单调递增故，故，设，又设，故在上单调递增，因此，即，在上单调递增，又，故所求的最小值为2（3）由（1）可知时，即：设，则因此即,得证【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、换元法、放缩法、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题