1、十三 函数奇偶性的应用【基础全面练】(20 分钟 35 分)1已知函数 f(x)1x x，x(1，0)(0，1)，则正确的判断是()Af(x)是奇函数，且在(0，1)上单调递增Bf(x)是奇函数，且在(0，1)上单调递减Cf(x)是偶函数，且在(0，1)上单调递增Df(x)是偶函数，且在(0，1)上单调递减【解析】选 B.根据题意，函数 f(x)1x x，有 f(x)1x(x)1xxf(x)，为奇函数，在(0，1)上，函数 f(x)单调递减【补偿训练】下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()Ayx1 Byx3Cy1x Dyx2【解析】选 B.根据题意，依次分析选项：对于 A，yx1，是一次函数
2、，不是奇函数，不符合题意；对于 B，yx3 既是奇函数又是增函数，符合题意；对于 C，y1x，为反比例函数，在定义域上不是增函数，不符合题意；对于 D，yx2，为二次函数，不是奇函数，不符合题意2若函数 f(x)和 g(x)都是奇函数，且 F(x)f(x)g(x)2 在(0，)上有最大值 5，则 F(x)在(，0)上有()A最小值5 B最大值5C最小值1 D最大值3【解析】选 C.令 h(x)f(x)g(x)，因为函数 f(x)，g(x)都是奇函数，则 h(x)也是奇函数，且 F(x)h(x)2.因为 F(x)f(x)g(x)2 在(0，)上有最大值 5，所以 h(x)在(0，)上有最大值 3
3、，所以 h(x)在(，0)上有最小值3，所以 F(x)h(x)2 在(，0)上有最小值1.3已知奇函数 f(x)在区间0，)上单调递增，则满足 f(x)f(1)的 x 的取值范围是()A(，1)B(，1)C(0，1)D1，1)【解析】选 A.由于 f(x)在0，)上单调递增，且是奇函数，所以 f(x)在 R 上单调递增，f(x)f(1)等价于 x1.4设函数 f(x)x2x，x0，g（x），x0 时，f(x)x22x3.(1)试求 f(x)在 R 上的解析式(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间【解析】(1)因为函数 f(x)的图象关于原点对称，所以 f(x)为奇函数，则 f(0)0.
4、设 x0，因为当 x0 时，f(x)x22x3.所以当 x0，0，x0，x22x3，xf(0)f(1)Bf(3)f(1)f(0)Cf(1)f(0)f(3)Df(1)f(3)f(0)【解析】选 B.因为 f(3)f(3)，且 f(x)在区间0，)上是增函数，所以 f(3)f(1)f(0).2设 f(x)是 R 上的偶函数，且在(0，)上是减函数，若 x10，则()Af(x1)f(x2)Bf(x1)f(x2)Cf(x1)f(x2)Df(x1)与 f(x2)大小不确定【解析】选 A.因为 f(x)在 R 上是偶函数，且在(0，)上是减函数，所以在(，0)上是增函数，因为 x10，所以 0 x1x2，
5、所以 f(x1)f(x2)，又 f(x1)f(x1)，所以 f(x1)f(x2).3函数 f(x)是一个偶函数，g(x)是一个奇函数，且 f(x)g(x)1x1，则 f(x)()A1x21 B 2x2x21C2x21 D 2xx21【解析】选 A.由题知 f(x)g(x)1x1 以x 代 x，式得 f(x)g(x)1x1，即 f(x)g(x)1x1 得 f(x)1x21.4已知函数 yf(x)是偶函数，其图象与 x 轴有 4 个交点，则方程 f(x)0 的所有实根之和是()A4 B2 C1 D0【解析】选 D.yf(x)是偶函数，所以 yf(x)的图象关于 y 轴对称，所以 f(x)0 的所有
6、实根之和为 0.5设奇函数 f(x)在(0，)上为减函数，且 f(1)0，则不等式f（x）f（x）x0 的解集为()A(1，0)(1，)B(，1)(0，1)C(，1)(1，)D(1，0)(0，1)【解析】选 C.因为 f(x)为奇函数，f（x）f（x）x0，即f（x）x0，因为 f(x)在(0，)上为减函数且 f(1)0，所以当 x1 时，f(x)0.因为奇函数图象关于原点对称，所以在(，0)上 f(x)为减函数且 f(1)0，即当 x1 时，f(x)0.综上使f（x）x0 的解集为(，1)(1，).二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)6已知函数 yf(x)为偶函数，其图象与 x 轴有四
7、个交点，则方程 f(x)0 的所有实根之和是_【解析】由于偶函数的图象关于 y 轴对称，所以偶函数的图象与 x 轴的交点也关于 y轴对称，因此，四个交点中，有两个在 x 轴的负半轴上，另外两个在 x 轴的正半轴上，所以四个实根的和为 0.答案：07已知偶函数 f(x)在(，0上单调递减，且 f(2)0，则不等式f（x）x10 的解集为_【解析】根据题意，偶函数 f(x)在(，0上单调递减，则 f(x)在0，)上递增，又由 f(2)0，则在(0，2)上，f(x)0，在(2，)上，f(x)0，又由 f(x)为偶函数，则在(，2)上，f(x)0，在(2，0)上，f(x)0，f（x）x10f(x)(x
8、1)0f（x）0，x10或f（x）0，x10，解得：x2 或2x1，即不等式的解集为(2，1)(2，).答案：(2，1)(2，)8设偶函数 f(x)在(0，)上是增函数，且 f(1)0，则不等式 xf(x)f(x)0 的解集为_【解析】xf(x)f(x)2xf(x)0，即 xf(x)0.yf(x)的图象如图(草图)，所以 xf(x)0 的解集为x|x1 或 0 x1答案：x|x1 或 0 x1三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)9已知函数 f(x)mxx|x|，且 f(2)0.(1)求实数 m 的值，并判断 f(x)的奇偶性；(2)作出函数 f(x)的图象，并指出 f(x)的单调减区间
9、；(3)求 x2，3)时函数的值域【解析】(1)由函数 f(x)mxx|x|，且 f(2)0，可得 2m40，解得 m2，所以 f(x)2xx|x|，则 f(x)2xx|x|f(x)，且 xR，所以 f(x)为奇函数(2)f(x)2xx|x|x22x，x0 x22x，x0，图象如图所示：单调递减区间为(，1)，(1，).(3)当 x2，3)时，结合函数的图象可得，当 x1 时，函数取得最大值为 1；当 x3 时，函数取最小值为3，故函数的值域为(3，1.10已知函数 f(x)axbx c(a，b，c 是常数)是奇函数，且满足 f(1)52，f(2)174.(1)求 a，b，c 的值(2)试判断
10、函数 f(x)在区间0，12上的单调性并证明【解析】(1)因为 f(x)为奇函数，所以 f(x)f(x)，所以axbx caxbx c，所以 c0，所以 f(x)axbx.又因为 f(1)52，f(2)174，所以ab52，2ab2174 所以 a2，b12.综上，a2，b12，c0.(2)由(1)可知 f(x)2x 12x.函数 f(x)在区间0，12上为减函数证明如下：任取 0 x1x212，则 f(x1)f(x2)2x1 12x1 2x2 12x2(x1x2)212x1x2(x1x2)4x1x212x1x2.因为 0 x1x212，所以 x1x20，4x1x210，即 f(x1)f(x2
11、).所以 f(x)在0，12上为减函数【应用创新练】1设 f(x)是定义在 R 上单调递减的奇函数，若 x1x20，x2x30，x3x10，则()Af(x1)f(x2)f(x3)0Cf(x1)f(x2)f(x3)0Df(x1)f(x2)f(x3)【解题指南】利用函数单调性和奇偶性，分别推出 f(x1)f(x2)0，f(x2)f(x3)0，f(x1)f(x3)0，所以 x1x2，因为 f(x)是定义在 R 上的减函数，所以 f(x1)f(x2)，又因为 f(x)是奇函数，所以 f(x1)f(x2)，即 f(x1)f(x2)0 推出 f(x2)f(x3)0 推出 f(x1)f(x3)0，将所得三个
12、不等式相加，可得 2f(x1)2f(x2)2f(x3)0，所以 f(x1)f(x2)f(x3)0.2已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)x22x.(1)求函数 f(x)的解析式(2)若对任意实数 m，f(m1)f(m2t)0 恒成立，求实数 t 的取值范围【解析】(1)当 x0 时，x0，又因为 f(x)为奇函数，所以 f(x)f(x)(x22x)x22x，所以 f(x)x22x，x0，x22x，x0.(2)因为 f(m1)f(m2t)0，所以 f(m1)f(m2t)，又 f(x)是奇函数，所以 f(m1)f(tm2)，由(1)知，f(x)在0，)上是减函数，又 f(x)为奇函数，所以 f(x)为 R 上的减函数，所以 m1tm2 恒成立，所以 tm2m1m12254 恒成立，所以 t54，即实数 t 的取值范围为54，.