1、高考资源网（） 您身边的高考专家3.1.1空间向量及其加减运算填一填1.空间向量的有关概念(1)定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量(2)长度：向量的大小叫做向量的长度或模(3)表示法：2几类特殊向量特殊向量定义表示法零向量长度为0的向量0单位向量模为1的向量|a|1或|1相反向量与a长度相等而方向相反的向量称为a的相反向量a相等向量方向相同且模相等的向量ab或3.空间向量的加法和减法运算空间向量的运算加法ab减法ab加法运算律(1)交换律：abba(2)结合律：(ab)ca(bc)判一判1.向量的长度与向量的长度相等()2若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同()
2、3空间两个向量的加减法运算与平面内两向量的加减法运算完全一致()4有向线段可用来表示空间向量，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大()5空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算()60向量是长度为0，没有方向的向量()7若|a|b|，则ab或ab.()8空间向量不能比较大小，但向量的模是可以比较大小的()想一想1.空间向量与平面向量的概念有哪些共同特征？空间向量与平面向量的共同特征是具有大小与方向2首尾相接的若干个空间向量的和如何求？首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即：An1An.3首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和是什么？由图可
3、得An1An0.思考感悟：练一练1已知空间向量，则下列结论正确的是()A.B.C. D.答案：B2如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1，在下列选项中，与相等的向量是()A. B.C. D.答案：C3已知四边形ABCD，O为空间任意一点，且，则四边形ABCD是()A空间四边形 B平行四边形C等腰梯形 D矩形答案：B4判断下列各命题的真假：向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；零向量是没有方向的；有向线段就是向量，向量就是有向线段其中假命题的个数为()A2 B3C4 D1答案：B知识点一空间向量的概念辨析1下列说法中正确的是()A若|a|b|
4、，则a，b的长度相同，方向相同或相反B若向量a是向量b的相反向量，则|a|b|C空间向量的减法满足结合律D在四边形ABCD中，一定有解析：|a|b|，说明a与b模相等，但方向不确定；对于a的相反向量ba，故|a|b|，从而B正确；只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有，只有在平行四边形中才能成立故选B.答案：B2下列关于单位向量与零向量的叙述正确的是()A零向量是没有方向的向量，两个单位向量的模相等B零向量的方向是任意的，所有单位向量都相等C零向量的长度为0，单位向量不一定是相等向量D零向量只有一个方向，模相等的单位向量的方向不一定相同解析：因为零向量的方向是任意的，且长度
5、为0，两个单位向量的模相等，但方向不一定相同，故选C.答案：C3下列命题正确的有()若ab，bc，则ac；向量a，b相等的充要条件是的充要条件是A与C重合，B与D重合A1个 B2个C3个 D0个解析：因为ab，所以a，b的长度相等且方向相同；因为bc，所以b，c的长度相等且方向相同，故ac，正确由ab，知a与b方向相同或相反，不正确.时，|，与同向，但A与C，B与D不一定重合，不正确答案：A知识点二空间向量的加减运算4如图所示，点D是空间四边形OABC的边BC的中点，a，b，c，则为()A.(ab)cB.(ca)bC.(bc)aDa(bc)解析：()a(bc)答案：C5如图，在平行六面体ABC
6、DA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若a，b，c，则下列向量中与相等的是()Aabc B.abcC.abc Dabc解析：ac(ab)abc.答案：A6如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是()；.A BC D解析：；.故选A.答案：A综合应用7.给出下列四个命题：(1)方向相反的两个向量是相反向量；(2)若a，b满足|a|b|且a，b同向，则ab；(3)不相等的两个空间向量的模必不相等；(4)对于任何向量a，b，必有|ab|a|b|.其中正确命题的序号为_解析：对于(1)，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故(1)错；对于(2)，向量是不能比较大小的，
7、故不正确；对于(3)，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故(3)错；只有(4)正确答案：(4)8在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若a，b，c，用a，b，c表示，则_.解析：()c()abc.答案：abc.基础达标一、选择题1设A，B，C是空间任意三点，下列结论错误的是()A. B.0C. D.解析：0.B错误答案：B2空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则()A2 B3C3 D2解析：23.答案：B3在空间四边形ABCD中，a，b，c，则等于()Aabc BcabCabc Dbac解析：如图所示，bac.答案：B4.如图所示，在直三棱柱ABCA1
8、B1C1中，若a，b，c，则等于()AabcBabcCabcDabc解析：如图所示，连接A1C，则在A1CB中，有()b(ac)abc.答案：D5空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的中点，则下列各式中成立的是()A.0B.0C.0D.0解析：如图，由题意得，易证四边形EFGH为平行四边形，故0，故选B.答案：B6在正方体ABCDA1B1C1D1中，向量表达式化简后的结果是()A. B.C. DDB1解析：如图所示，因为，又因为，所以.答案：A7已知正方体ABCDABCD的中心为O，则在下列结论中正确的共有()与是一对相反向量；与是一对相反向量；与是一对相反向
9、量；与是一对相反向量A1个 B2个C3个 D4个解析：如图所示，所以()，是一对相反向量；，而，故不是相反向量；同也是正确的；，是一对相反向量答案：C8在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为的有()；.A BC D解析：根据空间向量的加法运算法则及正方体的性质，逐一进行判断：；，所以，所给四个式子的运算结果都是.答案：D二、填空题9如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，_；_.解析：，().答案：10在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，化简的结果可表示为_解析：.答案：11如图所示，在四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AC的中点，则()化简
10、的结果为_解析：()().答案：12下列命题是真命题的是_(填序号)若A，B，C，D在一条直线上，则与是共线向量；若A，B，C，D不在一条直线上，则与不是共线向量；向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上；向量与是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上解析：为真命题，A，B，C，D在一条直线上，向量，的方向相同或相反，因此与是共线向量；为假命题，A，B，C，D不在一条直线上，则，的方向不确定，不能判断与是否是共线向量；为假命题，因为，两个向量所在的直线可能没有公共点，所以四点不一定在一条直线上；为真命题，因为，两个向量所在的直线有公共点A，且与是共线向量，所以三点共线故填.答案：
11、三、解答题13.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，M是BB1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1)；(2)；(3).解析：(1)；(2)因为M是BB1的中点，所以.又，所以；(3).向量，如图所示14如图所示，在正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1中：(1)化简，并在图中标出化简结果的向量；(2)化简，并在图中标出化简结果的向量解析：(1)0.在图中所示如下：(2)0.在图中所示如下：能力提升15如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，点E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1)；(2).解析：(1).(2)点E，F，G分别为BC，CD，DB的中点，.所求向量，如图所示16求证：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分证明：如图所示，平行六面体ABCDABCD，设点O是AC的中点，则()设P，M，N分别是BD，CA，DB的中点，则()()()同理可证，()，()由此可知O，P，M，N四点重合，故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分- 12 - 版权所有高考资源网