1、十二 函数奇偶性的概念【基础全面练】(20 分钟 35 分)1设 f(x)是定义在 R 上的一个函数，则函数 F(x)f(x)f(x)在 R 上一定是()A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数【解析】选 A.因为 F(x)f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)F(x)，定义域为 R，所以函数 F(x)在 R 上是奇函数2设 f(x)是定义在 R 上的一个函数，则函数 F(x)f(x)f(x)在 R 上一定()A是奇函数B是偶函数C既是奇函数又是偶函数D既不是奇函数又不是偶函数【解析】选 A.F(x)f(x)f(x)f(x)f(x)F(x)，所以 F(x)为奇函数3已知
2、f(x)ax2bx 是定义在区间a1，2a上的偶函数，那么 ab 的值是()A13 B13 C12 D12【解析】选 B.依题意 b0，且 2a(a1)，所以 b0 且 a13，所以 ab13.4如图，给出奇函数 yf(x)的局部图象，则 f(2)f(1)的值为()A.2 B2 C1 D0【解析】选 A.f(2)f(1)f(2)f(1)32 12 2.5若 f(x)(xa)(x4)为偶函数，则实数 a_【解析】f(x)x2(a4)x4a 是偶函数，所以 a4.答案：46判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x3x5.(2)f(x)|x1|x1|.(3)f(x)2x22xx1.【解析】(1)函数的
3、定义域为 R.因为 f(x)(x)3(x)5(x3x5)f(x)，所以f(x)是奇函数(2)f(x)的定义域是 R.因为 f(x)|x1|x1|x1|x1|f(x)，所以 f(x)是偶函数(3)函数 f(x)的定义域是(，1)(1，)，不关于原点对称，所以 f(x)是非奇非偶函数【综合突破练】(20 分钟 40 分)一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)1下列各图中，表示以 x 为自变量的奇函数的图象是()【解析】选 B.A，D 不是函数；C 不关于原点对称2已知 yf(x)是偶函数，且 f(x)g(x)2x，g(3)3，则 g(3)()A3 B3 C9 D9【解析】选 C.因为 yf(x
4、)是偶函数，且 f(x)g(x)2x，所以 f(3)g(3)6，f(3)g(3)6，又 f(3)f(3)，g(3)3，则 g(3)9.3下列函数中，既是偶函数又在(0，)上单调递增的函数是()Ayx3By|x|1Cyx21 Dy2x【解析】选 B.对于函数 y|x|1，f(x)|x|1|x|1f(x)，所以 y|x|1 是偶函数，当 x0 时，yx1，所以在(0，)上单调递增另外，函数 yx3 不是偶函数，yx21 在(0，)上单调递减，y2x 不是偶函数4设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()Af(x)|g(x)|是偶函数Bf(x)|g(x)|是
5、奇函数C|f(x)|g(x)是偶函数D|f(x)|g(x)是奇函数【解析】选 A.由 f(x)是偶函数，可得 f(x)f(x)，由 g(x)是奇函数可得 g(x)g(x)，故|g(x)|为偶函数，所以 f(x)|g(x)|为偶函数二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)5函数 f(x)4x22|x2|的定义域为_，为_函数(填“奇”或“偶”).【解析】依题意有4x20，2|x2|0，解得2x2 且 x0，所以 f(x)的定义域为2，0)(0，2.因为 f(x)4x22|x2|4x2x4x2x，定义域关于原点对称，所以 f(x)4x2xf(x)，所以 f(x)为奇函数答案：2，0)(0，2 奇
6、6若函数 f(x)是奇函数，则 f(1 2)f11 2_【解析】11 2 1 2（1 2）（1 2）(1 2).因为 f(x)是奇函数，所以 f11 2f(1 2)f(1 2).所以 f(1 2)f11 20.答案：0三、解答题7(10 分)已知函数 f(x)px223xq 是奇函数，且 f(2)53.(1)求 p，q 的值；(2)判断 f(x)在(1，)上的单调性【解析】(1)由奇函数定义，得 f(x)f(x)，即p（x）223xqpx223xq.所以3xq3xq，所以 2q0，所以 q0.又 f(2)53，所以p2223253，解得 p2，所以 p2，q0.(2)f(x)2x223x23 x1x.设 1x1x2，则 xx1x20，f(x1)f(x2)23(x1 1x1 x2 1x2)23（x1x2）x2x1x1x223(x1x2)x1x21x1x2.因为 1x11，所以23(x1x2)x1x21x1x20，即 f(x1)f(x2).所以 f(x)在 x(1，)上是增函数