1、十 函数的单调性【基础全面练】(20 分钟 35 分)1设(a，b)，(c，d)都是 f(x)的单调递增区间，且 x1(a，b)，x2(c，d)，x1x2，则f(x1)与 f(x2)的大小关系为()Af(x1)f(x2)Cf(x1)f(x2)D不能确定【解析】选 D.由函数单调性的定义，知所取两个自变量必须是同一单调区间内的值，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的 x1，x2 不在同一单调区间内，所以 f(x1)与 f(x2)的大小关系不能确定2函数 f(x)的图象如图所示，则()A.函数 f(x)在1，2上是增函数B函数 f(x)在1，2上是减函数C函数 f(x)在1，4
2、上是减函数D函数 f(x)在2，4上是增函数【解析】选 A.函数单调性反映在函数图象上就是图象上升对应增函数，图象下降对应减函数，故选 A.3下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是()Ay|x|By3xCy1x Dyx24【解析】选 A.因为10，所以一次函数 yx3 在 R 上单调递减，反比例函数y1x 在(0，)上单调递减，二次函数 yx24 在(0，)上单调递减故选A.4已知函数 f(x)为定义在区间1，1上的增函数，则满足 f(x)f12的实数 x 的取值范围为_【解析】由题设得1x1，x12，解得1x12.答案：1，125函数 f(x)x23|x|2 的单调减区间是_【解析】化简
3、函数为 f(x)x23x2，x0，x23x2，x0.作出函数图象如图，由图象不难得出，函数的单调减区间为，32和0，32.答案：，32和0，326已知函数 f(x)x1x2.证明函数在(2，)上单调递增【证明】设 x1，x2(2，)，且 x2x1，则 f(x2)f(x1)x21x22 x11x12x2x1（x12）（x22），因为 x1x22，所以 x2x10，x120，x220，所以x2x1（x12）（x22）0，所以 f(x1)f(x2)，所以 f(x)在(2，)上单调递增【综合突破练】(30 分钟 60 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1定义在 R 上的函数 f(x)对任意
4、两个不相等的实数 a，b，总有f（a）f（b）ab0，则必有()Af(x)先增后减Bf(x)是 R 上的增函数Cf(x)先减后增Df(x)是 R 上的减函数【解析】选 B.由f（a）f（b）ab0 知，当 ab 时，f(a)f(b)；当 ab 时，f(a)f(b)，所以函数 f(x)是 R 上的增函数2下列四个函数在(，0)上为增函数的是()y|x|1；y|x|x；yx2|x|；yx x|x|.A B C D【解析】选 C.y|x|1x1(x0)在(，0)上为减函数；y|x|x 1(x0)在(，0)上既不是增函数也不是减函数；yx2|x|x(x0)在(，0)上是增函数；yx x|x|x1(x0
5、)在(，0)上是增函数3设函数 f(x)在(，)上为减函数，则()Af(a)f(2a)Bf(a2)f(a)Cf(a2a)f(a)Df(a21)f(a)【解析】选 D.因为 a21aa12234 0，所以 a21a，又因为函数 f(x)在(，)上为减函数，所以 f(a21)f(a).4(2021济南高一检测)已知函数 f(x)x22x1，x1，|x1|，x1，若 f(a24)f(3a)，则实数 a 的取值范围是()A(4，1)B(，4)(1，)C(1，4)D(，1)(4，)【解析】选 D.作出 f(x)x22x1，x1，|x1|，x1的图象如图，可知 f(x)在 R 上单调递增，若 f(a24)
6、f(3a)，则 a243a，解可得 a4 或 a1.【光速解题】通过特殊值 0，1 验证是否满足不等式确定答案5若函数 f(x)2|xa|3 在区间1，)上不单调，则 a 的取值范围是()A1，)B(1，)C(，1)D(，1【解析】选 B.因为函数 f(x)2|xa|32x2a3，xa，2x2a3，x1）在(，)上是减函数，则实数 a 的取值范围是_【解析】因为 f(x)为 R 上的减函数，所以当 x1 时，f(x)单调递减，即 a40，当 x1 时，f(x)单调递减，即 a0，且(a4)152a，联立解得，0a1.答案：(0，1三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)9已知函数 f(x1
7、)2x1x2.(1)求 f(2)，f(x).(2)用定义证明函数 f(x)在(1，)上的单调性【解析】(1)因为 f(x1)2x1x2，令 x1，得 f(2)f(11)1，令 tx1，则 xt1，所以 f(t)2t1t1，即 f(x)2x1x1.(2)证明如下：任取1x1x2，f(x1)f(x2)2x11x11 2x21x213（x1x2）（x11）（x21），又因为1x1x2，x1x20，(x11)(x21)0，所以3（x1x2）（x11）（x21）0，f(x1)f(x2)，所以函数 f(x)在(1，)上单调递增10已知函数 f(x)xax a2 在(1，)上是增函数，求实数 a 的取值范围
8、【解析】设 1x1x2，所以 x1x21.因为函数 f(x)在(1，)上是增函数，所以 f(x1)f(x2)x1 ax1 a2 x2 ax2a2(x1x2)1 ax1x20.因为 x1x20，所以 1 ax1x2 0，即 ax1x2.因为 1x1x2，x1x21，所以x1x21，所以 a1.所以 a 的取值范围是1，).【应用创新练】已知 f(x)xx24，x(2，2).(1)求证：函数 f(x)在(2，2)上单调递增；(2)若 f(2a)f(2a1)，求实数 a 的取值范围【解析】(1)x1，x2(2，2)，且 x10，(4x21)(4x22)0，所以 f(x1)f(x2)（x1x2）（4x1x2）（4x21）（4x22）0，即 f(x1)f(x2)，故 f(x)在(2，2)上单调递增；(2)由(1)可知，不等式 f(2a)f(2a1)，等价于 22a2a12，解可得，12 a0.故 a 的范围为12，0.