1、2.4圆的方程2.4.1圆的标准方程基础过关练题组一圆的标准方程的认识1.圆(x-2)2+(y+3)2=2的圆心坐标和半径分别是() A.(-2,3),1 B.(2,-3),3 C.(-2,3),2 D.(2,-3),22.方程(x-a)2+(y-b)2=0表示的是()A.以(a,b)为圆心的圆 B.以(-a,-b)为圆心的圆C.点(a,b) D.点(-a,-b)3.方程|x-1|=1-(y-1)2表示的曲线是()A.一个圆 B.两个半圆 C.两个圆 D.半圆4.方程x=1-y2表示的图形是()A.两个半圆 B.两个圆 C.圆 D.半圆题组二求圆的标准方程5.圆心为(1,-2),半径为3的圆的
2、方程是()A.(x+1)2+(y-2)2=9 B.(x-1)2+(y+2)2=3C.(x+1)2+(y-2)2=3 D.(x-1)2+(y+2)2=96.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的标准方程是()A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=17.若一圆的圆心坐标为(2,-3),一条直径的端点分别在x轴和y轴上,则此圆的标准方程是()A.(x-2)2+(y+3)2=13 B.(x+2)2+(y-3)2=13C.(x-2)2+(y+3)2=52D.(x+2)2+(y-3)2=528.求以A(2,2),B(5,3
3、),C(3,-1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程.9.(2021山西怀仁一中高二上月考)已知点A(1,-2),B(-1,4),求:(1)过点A,B且周长最小的圆的标准方程;(2)过点A,B且圆心在直线2x-y-4=0上的圆C的标准方程.题组三点与圆的位置关系10.点(sin 30,cos 30)与圆x2+y2=12的位置关系是()A.点在圆上B.点在圆内 C.点在圆外D.不能确定11.(2020湖北宜昌高二上期末)若原点在圆(x-3)2+(y+4)2=m的外部,则实数m的取值范围是()A.m25B.m5 C.0m25D.0m0),则有(2-a)2+(2-b)2=r2,(5-a)2+(3-b)
4、2=r2,(3-a)2+(-1-b)2=r2,解得a=4,b=1,r2=5,所以ABC的外接圆的标准方程为(x-4)2+(y-1)2=5.9.解析(1)当AB为直径时,过点A,B的圆的半径最小,从而周长最小.易知所求圆的圆心为AB的中点(0,1),半径r=12|AB|=10,故圆的标准方程为x2+(y-1)2=10.(2)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),则(1-a)2+(-2-b)2=r2,(-1-a)2+(4-b)2=r2,2a-b-4=0,解得a=3,b=2,r2=20,圆的标准方程为(x-3)2+(y-2)2=20.10.C因为sin230+cos230=122
5、+322=112,所以点在圆外.11.C依题意得,m0,且(0-3)2+(0+4)2m,所以0m25,故选C.12.答案2解析P点在圆x2+y2=m2上,(-1)2+(3)2=4=m2,m=2.13.解析因为圆C过原点O,圆心为C(-3,-4),所以圆C的半径r=|OC|=(-3-0)2+(-4-0)2=5,因此圆C的标准方程为(x+3)2+(y+4)2=25.因为(-1+3)2+(0+4)2=2025,所以点M3(3,-4)在圆C外.能力提升练1.C依题意得,直角顶点C在以AB为直径的圆上运动,且点C与点A、B不重合,由AB的中点坐标为(2,0),|AB|=10得,直角顶点C的轨迹方程为(x
6、-2)2+y2=25(y0),故选C.2.D已知圆C与圆C关于原点对称,则两圆的圆心关于原点对称,半径相等,因此,圆C的圆心为(2,-1),半径为1,从而圆C的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=1,故选D.解题模板与圆有关的对称问题,由对称前后两圆全等,知两圆的半径相等,因此只要利用对称关系求出圆心坐标,就可得到圆的标准方程.3.A由题意得,圆C1的圆心坐标为(1,2),设圆心C1(1,2)关于直线x-y-2=0的对称点为C2(a,b),则b-2a-11=-1,a+12-b+22-2=0,解得a=4,b=-1,所以圆C2的标准方程为(x-4)2+(y+1)2=1.4.答案(x-4)2+(y
7、-2)2=10(去掉(3,5),(5,-1)两点)解析设C(x,y),由题意知,ABC的腰长为(3-4)2+(5-2)2=10,C的轨迹方程为(x-4)2+(y-2)2=10.又点A、B、C构成三角形,即三点不可共线,需要去掉重合点(3,5),反向共线点(5,-1).故答案为(x-4)2+(y-2)2=10(去掉(3,5),(5,-1)两点).易错警示解决以三角形为条件的问题时,要注意隐含条件三角形的三个顶点不共线,在求出轨迹方程后,要去掉三点共线时轨迹上的点.5.答案x-322+y-322=52解析令x=0,则y=2;令y=0,则x=1或x=2,所以二次函数y=x2-3x+2的图象与坐标轴的
8、三个交点不妨设为A(0,2),B(1,0),C(2,0).线段BC的垂直平分线方程为x=32,线段AC的垂直平分线为y=x,设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),联立得x=32,y=32,即a=32,b=32,易求得r2=52,则圆的方程为x-322+y-322=52.6.解析(1)因为直线l1经过点A(-3,0),B(3,2),所以y-02-0=x+33+3,所以l1的方程为x-3y+3=0.因为l1l2,所以设直线l2的方程为3x+y+c=0.因为点B(3,2)在直线l2上,所以c=-11.所以直线l2的方程为3x+y-11=0.(2)由3x+y-11=0,y=8x得x=1
9、,y=8,即C(1,8),所以|AC|=45,|BC|=210,又|AB|=210,所以|AB|2+|BC|2=|AC|2,所以ABC是以AC为斜边的直角三角形.又AC的中点为(-1,4),所以RtABC的外接圆的圆心为(-1,4),半径为25.所以ABC的外接圆的标准方程为(x+1)2+(y-4)2=20.7.D(x-5)2+(y+4)2的几何意义是点P(x,y)到点Q(5,-4)的距离的平方.因为点P在圆C:(x-2)2+y2=1上,所以所求最大值为(|QC|+1)2=36.8.C设x=sin ,y=cos ,则3x+y=3sin +cos =2sin+6,所以3x+y的取值范围是-2,2.故选C.9.解析(1)圆心在直线y=0上,设圆心坐标为C(a,0),又圆过A,B两点,|AC|=|BC|,即(a-1)2+16=(a-3)2+4,即(a-1)2+16=(a-3)2+4,解得a=-1,圆心为C(-1,0),半径r=|AC|=(-1-1)2+16=20=25,圆的标准方程为(x+1)2+y2=20.(2)|PC|=(-1-2)2+(0-4)2=9+16=25=5r,点P(2,4)在圆外.