1、紫金县中山高级中学2020-2021学年第一学期高二级期中考试数学科试题注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上一、单选题(本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设集合，则（ ）ABCD2已知空间向量，若，则实数的值是（ ）ABCD3在中，角、所对的边分别为、，若，则的大小为（ ）ABCD或4已知是第二象限的角，且，则等于（ ）ABCD5已知，且，则向量与的夹角为（ ）ABCD6已知x，y0且x+4y=1，则的最小值为（）A8B9C10D117设m，n是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是（
2、）A若B若C若D若8如图，已知三棱锥，点分别是的中点，点为线段上一点，且，若记,则（ ）A BC D9在直三棱柱中，则点到平面的距离为（ ）ABCD10将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD=a，则三棱锥DABC的体积为( )ABCD二、多选题（本大题共2小题，每小题5分，共10分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）11如图，在四棱锥中，底面为菱形，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（ )A在棱上存在点M，使平面B异面直线与所成的角为90C二面角的大小为45D平面12已知的部分图象如图所示，下列说法错误的是（
3、 ） A函数的图象关于直线对称B函数的图象关于点对称C函数在上单调递减D该图象对应的函数解析式为第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13在空间直角坐标系中，点P（2，2，3）与点Q（3，2，1）的距离为 14在空间直角坐标系中，若，则实数t的值为_.15已知向量，的夹角为60，则_.16已知为坐标原点，若点在直线上运动，则的最小值为_.四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17(10分）已知，满足， ，求的面积.（1）（2），从这两个条件中任选一个，补充到上面空格中，并解出答案.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答
4、计分18如图，在三棱柱中，平面，分别是的中点（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；19(12分）中国诗词大会是央视推出的一档以“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”为宗旨的大型文化类竞赛节目，邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识比拼“百人团”由一百多位来自全国各地的选手组成，成员上至古稀老人，下至垂髫小儿，人数按照年龄分组统计如下表：分组（年龄）频数（人）（1）用分层抽样的方法从“百人团”中抽取人参加挑战，求从这三个不同年龄组中分别抽取的挑战者的人数；（2）在（1）中抽出的人中，任选人参加一对一的对抗比赛，求这人来自同一年龄组的概率20(12分）已知等差数列的
5、前项和为，满足， .（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.21(12分）如图，在四棱锥中，为矩形，是以为直角的等腰直角三角形，平面平面(1)证明：平面平面；(2) 为直线的中点，且，求二面角的余弦值.22(12分）已知定义域为的函数，是奇函数.（1）求，的值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.2020-2021学年度中山高级中学高二数学答案一、 单选题1-5 BCBBD 6-10 BBCBD 二、 多选题11、ABC 12、ABC三、填空题133 14. 15. 2 16. 四解答题17. 解：若选（1），由余弦定理得：，即，解得或（舍去）.所以.若选（2）由余弦
6、定理得：，即，即，解得.此时，即，所以.【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，同时考查了正弦定理的面积公式，属于简单题.18（1）证明：取的中点，连接，交于点，可知为的中点，连接，易知四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）分别以所在的直线为轴、轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，可得，则，设平面的法向量为，则，即，令，可得，即，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题。 19解（1）样本容量与总体个数的比是，样本中包含3个年龄段落的个体数分别是：年龄在7，20）的人数为181，年龄在20，40）的人数为543，年龄在4
7、0，80）的人数为362，从这三个不同年龄组7，20），20，40），40，80）中分别抽取的挑战者的人数分别为1，3，2（2）从分层抽样的方法从“百人团”中抽取6人参加挑战，这三个不同年龄组7，20），20，40），40，80）中分别抽取的挑战者的人数分别为1，3，2从抽出的6人中，任选2人参加一对一的对抗比赛，基本事件总数n，这2人来自同一年龄组包含的基本事件个数为m4，这2人来自同一年龄组的概率p【点睛】本题考查分层抽样的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用20. 解（1）设等差数列的公差为，由已知可得:因为，解得. 所以（）. （2）由
8、（1） 所以, 【点睛】本题考查等差数列，裂项相消法求和，重点考查计算能力，属于基础题型.21.（）证明：为矩形，平面平面，平面平面，平面，则，又，平面，而平面，平面平面；（）取中点O，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 由，是以为直角的等腰直角三角形，得：，设平面的一个法向量为，由，取，得；设平面的一个法向量为，由，取，得.二面角的正弦值为【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，是中档题22.解（1）因为是上的奇函数，所以，即，解得.从而有.又由知，解得.经检验，当时，满足题意（2）由（1）知，由上式易知在上为减函数，又因为是奇函数，从而不等式等价于.因为是上的减函数，由上式推得.即对一切有，从而，解得.【点睛】本题主要考查的是利用函数的奇偶性和单调性解不等式，较为典型.