1、2016-2017学年广东省珠海市高三（上）9月摸底数学试卷（理科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知aR，i是虚数单位，若（1i）（1+ai）=2，则a=（）A1BC3D2设集合A=y|y=3x，xR，B=x|1x1，则AB=（）A（1，1）B（0，1）C（1，+）D（0，+）3已知an是公差为4的等差数列，Sn是其前n项和若S5=15，则a10的值是（）A11B20C29D314一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当你到达路口时，不需要等待就可以过马路的概率为（）ABCD5已知
2、双曲线E：=1（a0，b0）的离心率是，则E的渐近线方程为（）Ay=xBy=xCy=xDy=2x6如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A6B9C12D187若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（）A2B3C4D8函数y=x5xex在区间（3，3）上的图象大致是（）ABCD9秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为4，3，则输出v的值为
3、（）A20B61C183D54810设抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C（p，0），AF与BC相交于点E，若|CF|=2|AF|，且ACE的面积为3，则p的值为（）AB2C3D11在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱A1B1，B1C1的中点，O是AC与BD的交点，面OEF与面BCC1B1相交于m，面OD1E与面BCC1B1相交于n，则直线m，n的夹角为（）A0BCD12设a，bR，c0，2），若对任意实数x都有2sin（3x）=asin（bx+c），定义在区间0，3上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是
4、d个，则满足条件的有序实数组（a，b，c，d）的组数为（）A7B11C14D28二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13在（13x）6的展开式中，x2的系数为（用数字作答）14已知向量=（2，1），=（3，k），（2）=0，则实数k的值为15已知函数f（x）是定义在R上的周期为4的奇函数，当0x2时，f（x）=4x，则f（）+f（2）=16已知数列an满足an=，若从an中提取一个公比为q的等比数列a，其中k1=1，且k1k2kn，knN*，则满足条件的最小q的值为三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17在ABC中，a2+c2=b2ac（1）求B 的大小；（2）求
5、cosA+cosC 的最大值18在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH平面ABC；（）已知EF=FB=AC=2，AB=BC，求二面角FBCA的余弦值19自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：产假安排（单位：周）1415161718有生育意愿家庭
6、数48162026（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；如果用表示两种方案休假周数和求随机变量的分布及期望20设椭圆C： +=1（a2）的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，且满足+=，其中O 为坐标原点，e为椭圆的离心率（1）求椭圆C的方程；（2）设点P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：|AN|BM|为定值21已知f（x）=a（xlnx）+，aR（1）
7、讨论f（x）的单调性；（2）当a=时，证明：f（x）f（x）+对于任意的x1，2成立选修4-1：几何证明选讲22如图，ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E（1）证明：ABEADC；（2）若ABC的面积S=ADAE，求BAC的大小选修4-4：坐标系与参数方程23在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的单位长度，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为=2sin（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于A，B两点，若点P坐标为（3，），求|PA|+|PB|选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x+a|
8、+|x2|（1）当a=3时，求不等式f（x）3的解集；（2）若f（x）|x4|的解集包含1，2，求a的取值范围2016-2017学年广东省珠海市高三（上）9月摸底数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知aR，i是虚数单位，若（1i）（1+ai）=2，则a=（）A1BC3D【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，然后利用复数相等的条件求得a值【解答】解：由（1i）（1+ai）=2，得（1+a）+（a1）i=2，解得a=1故选：A2设集合A=y|y=3x，xR，B=x
9、|1x1，则AB=（）A（1，1）B（0，1）C（1，+）D（0，+）【考点】并集及其运算【分析】求出集合A，B，根据并集运算进行求解【解答】解：A=y|y=3x，xR=y|y0=（0，+），B=x|1x1=（1，1）则AB=（1，+）故选：C3已知an是公差为4的等差数列，Sn是其前n项和若S5=15，则a10的值是（）A11B20C29D31【考点】等差数列的前n项和【分析】由等差数列前n项和公式求出首项，由此能求出a10的值【解答】解：an是公差为4的等差数列，Sn是其前n项和S5=15，解得a1=5，a10=a1+9d=（5）+94=31故选：D4一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，
10、黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当你到达路口时，不需要等待就可以过马路的概率为（）ABCD【考点】几何概型【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是总的时间长度为30+5+40秒，满足条件的事件是绿灯的时间为40秒，根据等可能事件的概率得到答案【解答】解：由题意知本题是一个那可能事件的概率，试验发生包含的事件是总的时间长度为30+5+40=75秒，设不需要等待就可以过马路为事件A，满足条件的事件是绿灯的时间为40秒，根据等可能事件的概率得到：出现绿灯的概率是=故选：C5已知双曲线E：=1（a0，b0）的离心率是，则E的渐近线方程为（）Ay=xBy=xCy=xDy=2x【考点
11、】双曲线的简单性质【分析】根据双曲线的离心率，求出=即可得到结论【解答】解：双曲线的离心率是，e=，即=1+（）2=，即（）2=1=，则=，即双曲线的渐近线方程为yx=x，故选：C6如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A6B9C12D18【考点】由三视图求面积、体积【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为V=633=9故选B7若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的
12、最小值是（）A2B3C4D【考点】简单线性规划【分析】作出平面区域，找出距离最近的平行线的位置，求出直线方程，再计算距离【解答】解：作出平面区域如图所示：当直线y=x+b分别经过A，B时，平行线间的距离最小联立方程组，解得B（2，2），联立方程组，解得A（1，1）AB连线与斜率为1的直线垂直，这两条平行直线间的距离的最小值是：|AB|=故选：B8函数y=x5xex在区间（3，3）上的图象大致是（）ABCD【考点】函数的图象【分析】根据函数零点的个数即可判断函数的图象【解答】解：令y=x5xex=0，则x=0或x4=ex，又因为y=x4与y=ex在的图象如图所示，在（3，3）有两个交点，其中一个
13、在（1，0）之间，另一个在（1，2）之间，故y=x5xex在区间（3，3）上有三个零点，故选：B9秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为4，3，则输出v的值为（）A20B61C183D548【考点】程序框图【分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i，v的值，当i=1时，不满足条件i0，跳出循环，输出v的值为183【解答】解：初始值n=4，x=3，程序运行过程如下表所示：v=1i=3 v=13+3=6i=2
14、v=63+2=20i=1 v=203+1=61i=0 v=613+0=183i=1 跳出循环，输出v的值为183故选：C10设抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C（p，0），AF与BC相交于点E，若|CF|=2|AF|，且ACE的面积为3，则p的值为（）AB2C3D【考点】抛物线的简单性质【分析】如图所示，F由于ABx轴，|CF|=2|AF|，|AB|=|AF|，可得|CF|=2|AB|=3p，|CE|=2|BE|利用抛物线的定义可得xA，代入可取yA，再利用SACE=，即可得出【解答】解：如图所示，F|CF|=3pABx轴，|CF|=2|
15、AF|，|AB|=|AF|，|CF|=2|AB|=3p，|CE|=2|BE|xA+=，解得xA=p，代入可取yA=p，SACE=3，解得p=故选：A11在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱A1B1，B1C1的中点，O是AC与BD的交点，面OEF与面BCC1B1相交于m，面OD1E与面BCC1B1相交于n，则直线m，n的夹角为（）A0BCD【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；异面直线及其所成的角；空间中直线与平面之间的位置关系【分析】画出图象，可得m即为CF，进而根据线面平行的判定定理和性质定理可得mn【解答】解：如图所示：E，F分别是棱A1B1，B1C1的中点，故EFAC，则
16、面OEF即平面EFCA与面BCC1B1相交于CF，即直线m，由CFOE，可得CF平面OD1E，故面OD1E与面BCC1B1相交于n时，必有nCF，即nm，即直线m，n的夹角为0，故选：A12设a，bR，c0，2），若对任意实数x都有2sin（3x）=asin（bx+c），定义在区间0，3上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是d个，则满足条件的有序实数组（a，b，c，d）的组数为（）A7B11C14D28【考点】余弦函数的图象【分析】首先由已知等式求得a值，然后利用三角恒等变换sin2x=cosx求出所有根的个数，最后利用排列组合的思想求得满足条件的有序实数组【解答】解：对
17、任意实数x都有2sin（3x）=asin（bx+c），|a|=2，若a=2，则方程等价于sin（3x）=sin（bx+c），则函数的周期相同，若b=3，此时c=；若b=3，此时c=；若a=2，则方程等价于sin（3x）=sin（bx+c）=sin（bxc），若b=3，此时c=；若b=3，此时c=综上，满足条件的数组（a，b，c，）为（2，3，），（2，3，），（2，3，），（2，3，）共4组而当sin2x=cosx时，2sinxcosx=cosx，得cosx=0或sinx=，x=或x=或x=又x0，3，x=满足条件的有序数组（a，b，c，d）共有47=28故选：D二、填空题：本大题共4小题，每
18、小题5分，共20分.13在（13x）6的展开式中，x2的系数为135（用数字作答）【考点】二项式系数的性质【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得展开式中x2的系数【解答】解：展开式的通项为Tr+1=（3）rC6rxr令r=2得到展开式中x2的系数是C6232=135，故答案为：13514已知向量=（2，1），=（3，k），（2）=0，则实数k的值为16【考点】平面向量的坐标运算【分析】根据平面向量的数量积运算，列出方程，即可求出k的值【解答】解：向量=（2，1），=（3，k），2=（7，2k）；又（2）=0，27+1（2k）=0，解得k=16故答案为：161
19、5已知函数f（x）是定义在R上的周期为4的奇函数，当0x2时，f（x）=4x，则f（）+f（2）=2【考点】函数的周期性【分析】根据f（x）是周期为2的奇函数即可得到f（）=f（4）=f（）=f（），利用当0x2时，f（x）=4x，求出f（），再求出f（2），即可求得答案【解答】解：f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，f（）=f（4）=f（）=f（）x（0，2）时，f（x）=4x，f（）=2，f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，f（2）=f（2），f（2）=f（2），f（2）=0，f（）+f（2）=2故答案为：216已知数列an满足an=，若从an中提取一个公比为q的等比数列a，其中k1=
20、1，且k1k2kn，knN*，则满足条件的最小q的值为2【考点】等比数列的通项公式【分析】由an=，可得a1=2，a2=，a3=，a4=4，a5，a6，a7，a8，a9，a10=8，对g公比q从小依次取q=，取q=，取q=2，即可得出结论【解答】解：由an=，可得a1=2，a2=，a3=，a4=4，a5=，a6=，a7=6，a8=，a9=，a10=8，若取q=，则=2=a3，不在数列an中同理：若取q=，则=2=不在数列an中若取q=2，则=222=8=a10，在数列an中综上可得：满足条件的最小q的值为2故答案为：2三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17在ABC中，a2+c
21、2=b2ac（1）求B 的大小；（2）求cosA+cosC 的最大值【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用【分析】（1）利用余弦定理即可得出（2）利用和差公式、三角函数的单调性即可得出【解答】解：（1）由已知得：0B，（2）由（1）知：，故=，18在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH平面ABC；（）已知EF=FB=AC=2，AB=BC，求二面角FBCA的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【分析】（）取FC中点Q，连结GQ、QH，推导出平面GQH平面ABC，由此能证明G
22、H平面ABC（）由AB=BC，知BOAC，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角FBCA的余弦值【解答】证明：（）取FC中点Q，连结GQ、QH，G、H为EC、FB的中点，GQ，QH，又EFBO，GQBO，平面GQH平面ABC，GH面GQH，GH平面ABC解：（）AB=BC，BOAC，又OO面ABC，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO为z轴，建立空间直角坐标系，则A（，0，0），C（2，0，0），B（0，2，0），O（0，0，3），F（0，3），=（2，3），=（2，2，0），由题意可知面ABC的法向量为=（0，0，3），设=（x0，y0
23、，z0）为面FCB的法向量，则，即，取x0=1，则=（1，1，），cos，=二面角FBCA的平面角是锐角，二面角FBCA的余弦值为19自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：产假安排（单位：周）1415161718有生育意愿家庭数48162026（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少
24、？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；如果用表示两种方案休假周数和求随机变量的分布及期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）由表中信息可知，利用等可能事件概率计算公式能求出当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率和当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率（2）设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选法共有10种，由此利用列举法能求出其和不低于32周的概率由题知
25、随机变量的可能取值为29，30，31，32，33，34，35分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和E（）【解答】解：（1）由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为；当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为（2）设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选 法共有（种），其和不低于32周的选法有14、18、15、17、15、18、16、17、16、18、17、18，共6种，由古典概型概率计算公式得由题知随机变量的可能取值为29，30，31，32，33，34，35，因而的分布列为29303132333435P0.10.10.2
26、0.20.20.10.1所以E（）=290.1+300.1+310.2+320.2+330.2+340.1+350.1=32，20设椭圆C： +=1（a2）的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，且满足+=，其中O 为坐标原点，e为椭圆的离心率（1）求椭圆C的方程；（2）设点P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：|AN|BM|为定值【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由+=，可知，整理得：a2c2=b2=8c2，即可求得a和c的值，求得椭圆方程；（2）由（1）可知，求得A和B点坐标，当x0=0时，求得M和N点坐标，求得|AN|和BM|，即可求得，当x00时，求得
27、直线PA和PB的直线方程，求得点M和N的坐标，求得|AN|和BM|，即可求得|AN|BM|为定值【解答】解：（1）解：设F（c，0），由，得：，故a2c2=b2=8c2，c2=1，a2=9故椭圆C的方程为：（2）证明：由（1）知：，设P（x0，y0），则当x0=0时，故：.当x00时，直线PA的方程为：，令x=0，得：，故：，直线PB的方程为：，令y=0，得：，故：所以=综上可知：，即|AN|BM|为定值21已知f（x）=a（xlnx）+，aR（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a=时，证明：f（x）f（x）+对于任意的x1，2成立【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性
28、【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围确定导函数的符号，从而求出函数的单调区间；（2）求出f（x）f（x）的表达式，分别令，则f（x）f（x）=g（x）+h（x），根据函数的单调性怎么即可【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+），当a0，x（0，1）时，f（x）0，f（x）单调递增，x（1，+）时，f（x）0，f（x）单调递减，当a0时，f（x）=（x+）（x），0a2时，当时，f（x）0，f（x）单调递增，当时，f（x）0，f（x）单调递减； a=2时，当x（0，+）时f（x）0，f（x）单调递增；a2时，当单调递增，当时，f（x）0，f（x）单调递减；综上所述，当a0时，函数
29、f（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+）内单调递减；当0a2时，函数f（x）在（0，1）内单调递增，在1，）内单调递减，在（，+）内单调递增；当a=2时，函数f（x）在（0，+）内单调递增；当a2时，函数f（x）在（0，）内单调递增，在（，1）内单调递减，在（1，+）内单调递增（2）证明：由（1）知，时，=，设，f（x）f（x）=g（x）+h（x）则g（x）=0，当且仅当x=1时取等号，又，设（x）=5x24x+12，则（x）在x1，2单调递减，x01，2使得x（1，x0）时（x）0，x（x0，2）时（x）0，h（x）在（1，x0）上单调递增，在（x0，2）上单调递减，即对于任意的x1，2
30、成立选修4-1：几何证明选讲22如图，ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E（1）证明：ABEADC；（2）若ABC的面积S=ADAE，求BAC的大小【考点】圆內接多边形的性质与判定【分析】（1）要判断两个三角形相似，可以根据三角形相似判定定理进行证明，但注意观察已知条件中给出的是角的关系，故采用判定定理1更合适，故需要再找到一组对应角相等，由圆周角定理，易得满足条件的角（2）根据（1）的结论，我们可得三角形对应对成比例，由此我们可以将ABC的面积转化为S=ABAC，再结合三角形面积公式，不难得到BAC的大小【解答】证明：（1）由已知ABC的角平分线为AD，可得BAE=CAD因为AEB
31、与ACB是同弧上的圆周角，所以AEB=ACD故ABEADC解：（2）因为ABEADC，所以，即ABAC=ADAE又S=ABACsinBAC，且S=ADAE，故ABACsinBAC=ADAE则sinBAC=1，又BAC为三角形内角，所以BAC=90选修4-4：坐标系与参数方程23在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的单位长度，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为=2sin（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于A，B两点，若点P坐标为（3，），求|PA|+|PB|【考点】参数方程化成普通方程【分析】（1）利用
32、即可化为直角坐标系；（2）直线l的参数方程化为普通方程代入圆的方程解出交点坐标，再利用两点之间的距离公式即可得出【解答】解：（1）圆C的方程为=2sin，即，x2+y2=2y，圆C的直角坐标方程=5（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的参数方程为（t为参数），化为普通方程为：x+y=3+，代入上述圆方程消去y得：x23x+2=0，解得x1=1，x2=2|PA|+|PB|=+=+=+=选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x+a|+|x2|（1）当a=3时，求不等式f（x）3的解集；（2）若f（x）|x4|的解集包含1，2，求a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数【分析】（1）不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求（2）原命题等价于2xa2x在1，2上恒成立，由此求得求a的取值范围【解答】解：（1）当a=3时，f（x）3 即|x3|+|x2|3，即，或，或解可得x1，解可得x，解可得x4把、的解集取并集可得不等式的解集为 x|x1或x4（2）原命题即f（x）|x4|在1，2上恒成立，等价于|x+a|+2x4x在1，2上恒成立，等价于|x+a|2，等价于2x+a2，2xa2x在1，2上恒成立故当 1x2时，2x的最大值为21=3，2x的最小值为0，故a的取值范围为3，02016年10月24日
