1、23.1抛物线及其标准方程填一填1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过点F)距离相等的点的集合叫作抛物线，点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线2抛物线的标准方程(1)方程y22px，x22py(p0)叫作抛物线的标准方程(2)抛物线y22px(p0)的焦点坐标是，准线方程是x，开口方向向右(3)抛物线y22px(p0)的焦点坐标是，准线方程是x，开口方向向左(4)抛物线x22py(p0)的焦点坐标是，准线方程是y，开口方向向上(5)抛物线x22py(p0)的焦点坐标是，准线方程是y，开口方向向下.判一判1.抛物线标准方程中的p的几何意义是焦点到准线的距离()解析：由抛
2、物线标准方程的推导过程可知正确2动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x20的距离相等，则点P的轨迹方程为抛物线()解析：定点F在定直线上，动点P的轨迹是一条直线，故错误3抛物线x2y2的准线方程为y.()解析：抛物线x2y2化为标准方程为y2x，准线方程为x，故错误4抛物线yax2的焦点坐标是.()解析：抛物线的焦点在y轴上应为，故错误5顶点在原点，且过点(4,4)的抛物线的标准方程是y24x.()解析：设抛物线方程为y22p1x(p10)或x22p2y(p20)，把(4,4)代入得168p1或168p2，即p12或p22.抛物线的标准方程为y24x或x24y.故错误6若动圆与圆(x2)2y
3、21外切，又与直线x10相切，则动圆圆心的轨迹方程是y24x.()解析：设动圆的半径为r，圆心为O(x，y)，且O到点(2,0)的距离为r1，O到直线x1的距离为r，所以O到(2,0)的距离与到直线x2的距离相等，由抛物线的定义，动圆圆心的轨迹方程为y28x.故错误.想一想1.在抛物线的定义中，若去掉“l不过点F”，点的轨迹还是抛物线么？提示：不一定是抛物线，当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线2抛物线的标准方程中p的几何意义是什么？提示：p的几何意义是焦点到准线的距离3求抛物线的标准方程的方法有哪些？提示：(1)定义法根据抛物线的
4、定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程标准方程有四种形式，要注意选择(2)待定系数法根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程当焦点位置不确定时，有两种方法解决：法一、分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x轴上的抛物线，为避免开口方向不确定可分为y22px(p0)和y22px(p0)两种情况求解法二、设成y2mx(m0)，若m0，开口向右；若m0)，则焦点F，由题意，得解得或故所求的抛物线方程为y28x，m2.抛物线的焦点坐标为(2,0)，准线方程为x
5、2.知识点一抛物线的定义1.已知动点M的坐标满足方程5|3x4y12|，则动点M的轨迹是()A椭圆 B双曲线C抛物线 D圆解析：方程5|3x4y12|可化为，它表示点M到坐标原点O的距离等于它到直线3x4y120的距离，由抛物线的定义可知，动点M的轨迹是抛物线故选C.答案：C2给出下列命题：到定点F(1,0)的距离和定直线x1的距离相等的动点P的轨迹为抛物线；到定点F(2,1)的距离和到定直线3x2y40的距离相等的动点P的轨迹为抛物线；抛物线的焦点一定在y轴上其中假命题是_(填序号)解析：由抛物线的定义，知命题为真命题；因为定点F(2,1)在定直线3x2y40上，可知动点P的轨迹为一条直线，
6、所以命题为假命题；因为抛物线的焦点可以随建立坐标系的方式不同而不同，因此可以在x轴上，所以命题为假命题答案：3平面上动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程解析：方法一：设点P的坐标为(x，y)，则|x|1.两边平方并化简，得y22x2|x|，所以y2于是动点P的轨迹方程为y24x(x0)或y0(x0)方法二：由于点F(1,0)到y轴的距离为1，所以当x0时，射线y0上的点满足题意；当x0时，已知条件等价于点P到点F(1,0)的距离与到其直线x1的距离相等，所以点P的轨迹是以点F为焦点，直线x1为准线的抛物线，方程为y24x.于是动点P的轨迹方程为y24x(x0
7、)或y0(x0)，则焦点坐标为，准线为x，则焦点到准线的距离是p3，因此所求的抛物线的标准方程是y26x.基础达标一、选择题1抛物线y2x2的焦点坐标是()A. B.C. D.解析：转化为标准方程，x2y，所以焦点为.故选D.答案：D2抛物线yax2的准线方程是()Ay ByCy Dy解析：首先将方程化为标准方程x2y2y.当a0时，y；当ab，则抛物线y2x的焦点坐标为()A. B.C. D.解析：依题意，解得a5，b4，抛物线方程为y2x，p，其焦点的坐标为，故选B.答案：B5点M是抛物线x22py(p0)上一点，若点M到该抛物线的焦点的距离为2，则点M到坐标原点的距离为()A. B.C.
8、 D.解析：抛物线x22py(p0)的准线方程是y，因为点M到该抛物线的焦点的距离为2，所以2，解得：p1，所以该抛物线的方程是x22y，因为点M是抛物线x22y上的一点，所以x23，所以点M到坐标原点的距离是，故选D.答案：D6抛物线y22px(p0)上的点M(4，m)到焦点的距离为5，则m的值为()A2 B3C4 D4或4解析：抛物线y22px的准线方程为x，由抛物线的定义有5，p2(负值舍去)，此时y24x，将点M(4，m)代入抛物线方程中，求出m4.答案：D7已知P为抛物线y24x上一动点，记点P到y轴的距离为d，对于定点A(4,5)，则|PA|d的最小值为()A4 B.C.1 D.1
9、解析：抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线l：x1.如图所示，过点P作PNl交y轴于点M，垂足为N，则|PF|PN|.d|PF|1，|PA|d|AF|111，故选D.答案：D二、填空题8抛物线y22px(p0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p_.解析：因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离，因此抛物线上动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即1，p2.答案：29已知抛物线y22px(p0)的准线与圆(x3)2y216相切，则p的值为_解析：抛物线的准线为x，与圆相切，则34，p2.答案：210如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米水位下降1米后，水面
10、宽_米解析：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立直角坐标系，设抛物线的方程为x22py，则点(2，2)在抛物线上，代入可得p1，所以x22y.当y3时，x26，所以水面宽为2米答案：211已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，其准线与双曲线y21相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_.解析：如图，可得A代入双曲线y21可得1，解得p2.答案：212已知抛物线yax2(a0)的准线为l，若l与圆C(x3)2y21相交所得弦长为，则a_.解析：抛物线yax2(a0)的准线l：y，圆心(3,0)到其距离为d，a.答案：三、解答题13求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)经过点(2，4)
11、，且以坐标轴为对称轴；(2)焦点为直线2x3y60与坐标轴的交点；(3)顶点在坐标原点，准线方程为y5.解析：(1)因为点(2，4)在第三象限，所以可设抛物线的标准方程为y22px或x22py(p0)若点(2，4)在x22py(p0)上，则(2)22p(4)，解得p若点(2，4)在y22px(p0)上，则(4)22p(2)，解得p4.故所求抛物线的标准方程为y28x或x2y.(2)直线2x3y60与x轴的交点坐标为(3,0)，与y轴的交点坐标为(0，2)，当焦点坐标为(3,0)时，3即p6，抛物线的方程是y212x；当焦点坐标为(0，2)时，2即p4，抛物线的方程是x28y.抛物线的标准方程为
12、y212x或x28y.(3)因为准线方程为y5，所以可设抛物线的标准方程为x22py(p0)，且5，p10，故所求抛物线的标准方程为x220y.14如图所示，一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口宽AB恰好是拱高CD的4倍，若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值解析：以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系则点B的坐标为.设抛物线方程为x22py(p0)，因为点B在抛物线上，所以22p，解得p，所以抛物线方程为x2ay.将点E(0.8，y)代入抛物线方程，得y.所以点E到拱底AB的距离为|y|3.解得a12.21.因为a取整数，所以a的最小整数值为13.能力提升15.已知抛物线x2y的焦点为F，M，N是抛物线上两点，若|MF|NF|，求线段MN的中点P到x轴的距离解析：如图，抛物线x2y的焦点为，准线为y，过M，N分别作准线的垂线，则|MM|MF|，|NN|NF|，所以|MM|NN|MF|NF|，所以中位线|PP|，所以中点P到x轴的距离为|PP|.16设抛物线y2mx的准线与直线x1的距离为3，求抛物线的方程解析：当m0时，准线方程为x，由条件知13，所以m8.此时抛物线方程为y28x；当m0时，准线方程为x，由条件知13，所以m16，此时抛物线方程为y216x.所以所求抛物线方程为y28x或y216x.