1、课时作业A组基础巩固1炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：)为f(x)x3x28(0x5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是()A8 B.C1 D8解析：原油温度的瞬时变化率为f(x)x22x(x1)21(0x5)，所以当x1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值1.答案：C2以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形的面积的最大值为()A10 B15C25 D50解析：如图，CDEF为半圆O的内接矩形，C、D为圆上的动点，连接OC，设COF，则CF5sin ，OF5cos ，S矩形CDEF25cos 5sin 25sin 2(0)S矩形C
2、DEF的最大值为25.答案：C3某人要购买8件礼物，分两次购买，商家规定每次购买礼物付款金额为当次购买礼物数量的三次方，若使购买礼物付款额最省，此人每次购买礼物的数量分别为()A2,6 B4,4C3,5 D1,7解析：设第一次购买了x件礼物，则第二次购买了8x件，则付款额f(x)x3(8x)3，f(x)3x23(8x)23(16x64)，令f(x)0，得x4，当x4时，付款额最省答案：B4某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0x390)的关系是R(x)400x，(0x390)，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是()A1
3、50 B200C250 D300解析：由题意可得总利润P(x)300x20 000，0x390，由P(x)3000，得x300.当0x0；当300x390时，P(x)0)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去若存款利率为x(x(0,0.048)，为使银行获得最大收益，则存款利率应定为()A0.032 B0.024C0.04 D0.036解析：设存款利率为x，依题意：存款量是kx2，银行应支付的利息是kx3，贷款的收益是0.048kx2，x(0，0.048)所以银行的收益是y0.048kx2kx3(0x0.048)，由于y0.096kx3kx2，令y0得x0.032或x0(舍
4、去)，又当0x0；当0.032x0.048时，y0，所以当x0.032时，y取得最大值答案：A6海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30海里/时，当速度为10海里/时时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元如果甲乙两地相距800海里，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为_解析：由题意设每小时的燃料费y与航速v间满足yav3(0v30)，又25a103，a.设从甲地到乙地海轮的航速为v，总费用为f(v)，则f(v)av340020v2，由f(v)40v0，得v200)，y，令y0，得x5，或x5(舍去)当0x5
5、时，y5时，y0.因此，当x5时，y取得极小值，也是最小值故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小答案：59.圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解析：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积，S2Rh2R2由VR2h，得h，则S(R)2R2R22R2，令S(R)4R0，解得，R，从而h2.即h2R.因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值所以当罐的高与底直径相等时，所用材料最省10用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接而成(如图所示)，问该容器的高为多少时，容器的
6、容积最大？最大容积是多少？解析：设容器的高为x cm，容器的体积为V(x)cm3.则V(x)x(902x)(482x)4x3276x24 320x(0x24)V(x)12x2552x4 32012(x246x360)12 (x10)(x36)(0x24)令V(x)0，得x110，x236(舍去)当0x0，V(x)是增函数；当10x24时，V(x)0，V(x)是减函数；因此，在定义域(0,24)内，函数V(x)只有当x10时取得最大值，其最大值为V(10)10(9020)(4820)19 600(cm3)故当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积是19 600 cm3.B组能力提升1横
7、梁的强度和它的矩形横断面的宽成正比，并和矩形横断面的高的平方成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，则横断面的高和宽分别为()A.d，d B.d，dC.d，d D.d，d解析：如图所示，设矩形横断面的宽为x，高为y，由题意，知当xy2取最大值时，横梁的强度最大y2d2x2，xy2x(d2x2)(0xd)令f(x)x(d2x2)(0xd)，求导数，得f(x)d23x2.令f(x)0，解得xd，或xd(舍去)当0x0；当dxd时，f(x)0，因此，当xd时，f(x)取得极大值，也是最大值综上，当矩形横断面的高为d，宽为d时，横梁的强度最大答案：C2已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于
8、抛物线y4x2在x轴上方的曲线上，则这种矩形中面积最大的矩形的长和宽分别为()A2， B.，C.，2 D4，解析：设位于抛物线上的矩形的一个顶点为(x，y)，其中0x0，则另一个在抛物线上的顶点为(x，y)，在x轴上的两个顶点分别为(x,0)，(x,0)设矩形的面积为S，则S2x(4x2)(0x2)，则S86x2.令S0，得x或x(舍去)当0x0；当x2时，S0)，yx2，由y0，得x25，当x(0,25)时，y0，当x(25，)时，y0，所以当x25时，y取得最大值答案：25件4若一球的半径为r，则内接于球的圆柱的侧面积最大为_解析：如图，设内接圆柱的底面半径为R，母线长为l，则Rrcos
9、，l2rsin .S侧2Rl2rcos 2rsin 4r2sin cos .由S侧4r2(cos2sin2)0，得.当，即Rr时，S侧最大，且S侧最大值为2r2.答案：2r25某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销经调查，每投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为t25t(百万元)(0t5)(1)若该公司将当年广告费的投入控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造经预测，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额约为x3x23x(百万元)请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益
10、最大(注：收益销售额投入资金)解析：(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，则有f(t)(t25t)tt24t(t2)24(0t3)故当t2(百万元)时，f(t)取得最大值4百万元，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的资金为(3x)(百万元)(0x3)，又设由此而获得的收益是g(x)，则有g(x)(x3x23x)(3x)25(3x)3x34x3(0x3)g(x)x24.令g(x)0，解得x2(舍去)或x2.又当0x0；当2x3时，g(x)0表示12点以后，t0表示12点以前若测得该物体在8点的温度
11、为8 ，12点的温度为60 ，13点的温度为58 ，并且该物体的温度在8点和16点有相同的变化率(1)写出该物体的温度T与时间t之间的函数表达式；(2)该物体在10点到14点这段时间内(包括10点和14点)，在何时温度最高？最高值是多少？解析：(1)根据题意，得即又该物体的温度在8点和16点有相同的变化率，且T3at22btc，T(4)T(4)，即48a8bc48a8bc.b0.将b0代入上述方程组中，并进行化简得该物体的温度T与时间t之间的函数表达式为Tt33t60.(2)由(1)，T(t)3t233(t1)(t1)(2t2)，令T(t)0，得t1.当t变化时，T(t)和T(t)的变化情况如下表：t2(2，1)1(1，1)1(1,2)2T(t)00T(t)58极大值62极小值5862可知t1是函数的极大值点，且极大值为T(1)62；t1是函数的极小值点，且极小值为T(1)58.又函数在区间2,2的端点函数值为T(2)58，T(2)62，比较以上数值可以得出，当t2或1时，T(t)取最大值，即在11点、14点时物体的温度最高，最高温度为62 .