1、第三章 圆锥曲线与方程3 双曲线第26课时 双曲线的简单几何性质基础训练课时作业设计（45分钟）作业目标1.掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线及离心率等简单几何性质.2.感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，体会数形结合思想.基础巩固一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)1双曲线 3x2y23 的渐近线方程是()Ay3xBy13xCy 3xDy 33 xC解析：双曲线方程可化为标准形式：x21y231，a1，b 3，双曲线的渐近线方程为 ybax 3x.2已知双曲线的离心率为 2，焦点是(4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为()A.x24y2121B.x
2、212y241C.x210y261D.x26y2101A解析：依题意知，焦点在 x 轴上，c4，ca2，a2.b2c2a212.故双曲线的方程为x24y2121.3中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，2)，则它的离心率为()A.6B.5C.62D.52D解析：由题知ba 24，ba12，c2a2a e2112，e 52.4双曲线 mx2y21 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m 等于()A14B4C4 D14A解析：题目没有说明哪条轴是实轴，因为等号后为常数 1，y2的系数为正数，所以可把方程变形为 y2 x21m1，由题意，虚半轴长的平方实半轴长的平方41，即1m14
3、1m14.故选 A.5设点 P 是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)与圆 x2y2a2b2在第一象限的交点，F1、F2 分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|3|PF2|，则此双曲线的离心率为()A.5B.102C.31D3C解析：由题知 PF1PF2，则|PF1|PF2|2a，|PF1|2|PF2|24c2，|PF1|3|PF2|，得ca 31.故选 C.6已知双曲线x22y2b21(b0)的左、右焦点分别是 F1、F2，其一条渐近线方程为 yx，点 P(3，y0)在双曲线上，则PF1 PF2 等于()A12B2C0D4C解析：渐近线方程为 yx，双曲线为等轴双曲线，b22，双曲线方程为
4、 x2y22，又 P(3，y0)在双曲线上，y01，即 P(3，1)，不妨设 P(3，1)，又焦点 F1(2,0)，F2(2,0)，PF1 PF2(2 3，1)(2 3，1)0.故选 C.7若在双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右支上到原点 O 和右焦点 F 的距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围是()Ae 2B1e2D1e0，b0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，所以直线 xc2与右支有两个交点，故应满足c2a，即ca2，得 e2.8点 P 是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)上的点，F1，F2 是其焦点，双曲线的离心率是54，且 PF1PF2，若F1PF2 的
5、面积是 9，则 ab 的值等于()A4B5C6D7D解析：设|PF1|m，|PF2|n，则|mn|2a，又因为 PF1PF2，所以 m2n24c2，2得：2mn4a24c2，所以 mn2a22c2.又因为F1PF2 的面积是 9，所以12mn9，所以 c2a29.又因为双曲线的离心率ca54，所以 c5，a4，所以 b3，所以 ab7.二、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)9与双曲线x216y291 有相同渐近线，且经过点(3 3，3)的双曲线的标准方程是.x211y299161解析：设所求双曲线的方程为x216y29(0)，所求双曲线经过点(3 3，3)，3 3216
6、329，1116，所求双曲线的标准方程为x211y299161.10已知双曲线 C：x2y21，F 是其右焦点，过 F 的直线 l与双曲线有唯一的交点，则直线 l 的斜率等于.1解析：要使过右焦点 F 的直线 l 与双曲线有唯一的交点，则直线 l 应平行于双曲线的渐近线，又双曲线 C 的渐近线方程为 yx，故直线 l 的斜率为1.11.如图，过双曲线的一个焦点 F2 作垂直于实轴的弦 PQ，F1是另一焦点，若PF1Q2，则双曲线的离心率 e.1 2解析：设双曲线方程为x2a2y2b21(a0，b0)，则易求得 Pc，b2a，且 P、Q 关于 x 轴对称，又PF1Q2，PF1F24，|F1F2|
7、PF2|.即 2cb2a，b22ac，即 c2a22ac，e22e10，解得 e1 2或 e1 2(舍去)三、解答题(本大题共 2 小题，共 25 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12(12 分)求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)虚轴长为 12，离心率为54；(2)两顶点间的距离为 6，渐近线方程为 y32x；(3)求与双曲线 x22y22 有公共渐近线，且过点 M(2，2)的双曲线方程解：(1)设双曲线的标准方程为x2a2y2b21 或y2a2x2b21(a0，b0)由题意，知 2b12，ca54，且 c2a2b2，b6，c10，a8.双曲线的标准方程为x264y2361 或y
8、264x2361.(2)设以 y32x 为渐近线的双曲线方程为x24y29(0)当 0 时，a24，2a2 46.94.当 1，b0)的焦距为 2c，直线 l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线 l 的距离与点(1,0)到直线 l的距离之和 s45c，求双曲线的离心率 e 的取值范围解：由题意，知直线 l 的方程为xayb1，即 bxayab0.因为点(1,0)到直线 l 的距离 d1ba1a2b2，点(1,0)到直线 l 的距离 d2ba1a2b2，所以 sd1d22aba2b22abc.由 s45c，得2abc 45c，即 5a c2a22c2.于是得 5 e212e2，即 4
9、e425e2250，解得54e25.因为 e1，所以 e 的取值范围是 52，5能力提升14(5 分)已知双曲线x2m2y2n21 的离心率为43，则双曲线x2m2y2n21 的离心率为.4 77解析：由x2m2y2n21，离心率为 m2n2|m|43，得m2n297，则x2m2y2n21 的离心率为m2n2|n|m2n2n2m2n219714 77.15(15 分)如图所示，B 地在 A 地的正东方向 4 km 处，C 地在 B 地的北偏东 30方向 2 km 处，河流的沿岸 PQ(曲线)上任意一点到 A 的距离比到 B 的距离远 2 km.现要在曲线 PQ 上选一处 M 建一座码头，向 B、C 两地转运货物经测算，从 M 到 B、M 到 C修建公路的费用都是 a 万元/km，求修建这两条公路的最低总费用解：如图所示，以 AB 所在直线为 x 轴，AB 中点为原点建立直角坐标系，则 C(3，3)，A(2,0)，连接 AM，又|MA|MB|2|AB|，点 M 轨迹是双曲线 x2y231 的右支，又|MB|MC|MA|2|MC|AC|22 72，当 M、A、C 三点共线时等号成立总费用a|MB|a|MC|a(|MB|MC|)(2 72)a.所以修建这两条公路的最低总费用为(2 72)a 万元谢谢观赏！Thanks!
