1、吉林省白城市洮南市第一中学2020-2021学年高二数学上学期第一次月考试题 理第I卷（选择题）一、选择题1已知点，则直线的倾斜角为（ ）ABCD2已知直线与直线平行，则它们之间的距离为（ ）ABCD3已知a，b，c为三条不重合的直线，为两个不重合的平面ac，bcab；ac，ca；a，a；a，b，aba.其中正确命题的个数是()A2 B3 C4 D54圆与圆的位置关系为（ ）A内切B相交C外切D相离5某水平放置的平面图形的斜二侧直观图是梯形（如图所示），则该平面图形的面积为（ ）A3B4C D6.已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为（ ）ABCD7一直三棱柱的每条棱
2、长都是2，且每个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）ABCD8如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该几何体的体积为（ ）AB2CD49已知平面平面，P是，外一点，过点P的直线m与，分别交于A，C两点，过点P的直线n与，分别交于B，D两点，且PA6，AC9，PD8，则BD的长为()A16 B24或 C14 D20或10已知ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16，则O到平面ABC的距离为（ ）ABC1D11正三棱锥中，若，点、分别在侧棱、上运动，则三角形AEF的周长的最小值为（ ）ABC12D12. 已知直线上总存在点，使得过点
3、作的圆：的两条切线互相垂直，则实数的取值范围是（ ）A或 BCD或第II卷（非选择题）二、填空题13由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为_.14 如图所示，在正方体中，分别为棱的中点，过点的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为_.15下列四个命题中正确的是 . 如果一条直线不在某个平面内，那么这条直线就与这个平面平行； 过直线外一点有无数个平面与这条直线平行； 过平面外一点有无数条直线与这个平面平行； 过空间一点必存在某个平面与两条异面直线都平行16.曲线，与直线有两个公共点时，则实数的取值范围是 _ 三、解答题17已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同.（1）求此
4、几何体的体积；（2）求几何体的表面积.18已知圆经过两点、，且圆心在直线上（1）求圆的方程；（2）过点的直线与圆相交于、两点，且求直线的方程19如图，在长方体中，底面为正方形，O为的中点，且（1）证明：平面（2）若异面直线与所成角的正切值为，20. 在平面直角坐标系中,已知圆C方程为，圆Q方程为(1) 求圆C和圆Q的公共弦所在直线的方程和公共弦的长 (2)设P是圆上任意一点,过点P作圆C的两条切线,为切点,试求四边形面积的最小值.21.在三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE平面A1MC？请证明你的结论22已知圆，直线，.（1）求
5、证：对，直线与圆总有两个不同的交点；（2）求弦的中点的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线；（3）是否存在实数，使得圆上有四点到直线的距离为？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由.参考答案1A【解析】【分析】求出直线的斜率，从而可得直线的倾斜角.【详解】由题知直线的斜率，故直线的倾斜角为故答案为：A.【点睛】本题考查直线的倾斜角的求法，可先求出斜率，再根据两者之间的关系求出倾斜角，本题属于基础题.2.C【解析】【分析】根据直线与直线平行，由 ,解得，然后利用两平行线间的距离.【详解】因为直线与直线平行，所以 ,解得，因为直线与直线所以它们之间的距离为故选：C【点睛】本题主要考查两直线的位置关系，
6、还考查了运算求解的能力，属于基础题.3A由公理4，知正确；对于，可能a，也可能a，故错误；对于，与可能平行，也可能相交，故错误；对于，a，a或a与相交b，ab，故a，故正确4A【解析】【分析】通过圆的标准方程，可得圆心和半径，通过圆心距与半径的关系，可得两圆的关系为内切.【详解】，圆心，半径为1；，圆心，半径为3两圆圆心距等于半径之差，所以内切.故选：A【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，考查了运算求解能力和数形结合数学思想，属于基础题目.5 A【解析】【分析】先确定直观图中的线段长，再确定平面图形中的线段长度，从而求得平面图形的面积.【详解】由根据斜二测画法可知： 原平面图形为：下底边长为，
7、上底为，高为的直角梯形，所以.故选：A【点睛】本题考查了斜二测画法中直观图与平面图形中的量的变化，属于基础题.6A【解析】【分析】设圆锥的底面半径为，高为，母线为，根据其表面积为，得到，再由它的侧面展开图是一个半圆，得到，联立求得半径和高，利用体积公式求解.【详解】解：设圆锥的底面半径为，高为，母线为，因为其表面积为，所以，即，又因为它的侧面展开图是一个半圆，所以，即，所以，所以此圆锥的体积为.故选：A.【点睛】本题主要考查圆的面积、周长、圆锥的侧面积及体积等知识点，考查运算求解能力，属于基础题型.7A【解析】【分析】由正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是其外接球的球心，球心与顶点的连线长
8、就是半径，利用勾股定理，可求出球的半径，即可求出球的表面积.【详解】正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是其外接球的球心，球心与顶点的连线长就是半径， 设底面三角形外接圆的半径，由正弦定理可得， ， 所以球的半径，所以球的表面积 故选：A【点睛】本题考查正三棱柱的外接球的表面积的求法，明确球心、球的半径与正三棱柱的关系是本题解决的关键8A【解析】由三视图可知该几何体为三棱锥（如图所示），其中，到平面的距离为1，故所求的三棱锥的体积为.故选A9 B由得ABCD.分两种情况：若点P在，的同侧，则，PB，BD；若点P在，之间，则有，PB16，BD24.10C【解析】【分析】根据球的表面积和的面积可
9、求得球的半径和外接圆半径，由球的性质可知所求距离.【详解】设球的半径为，则，解得：.设外接圆半径为，边长为， 是面积为的等边三角形，解得：，球心到平面的距离.故选：C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.11D【解析】【分析】画出正三棱锥侧面展开图，将问题转化为求平面上两点间的距离最小值问题，不难求得结果【详解】将三棱锥由展开，如图，正三棱锥中，则图中，当点、位于同一条直线上时，的周长最小，故为的周长的最小值，又，为等腰三角形，的最小周长为：故选：D【点睛】本题考查的知识点
10、是棱锥的结构特征，其中将三棱锥的侧面展开，将空间问题转化为平面上两点之间的距离问题，是解答本题的关键12C【解析】如图，设切点分别为A，B连接AC，BC，MC，由及知，四边形MACB为正方形，故若直线l上总存在点M使得过点M的两条切线互相垂直，只需圆心到直线的距离，即，故选C点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：（）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；（）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；（）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小.13【解析】从题意看出，切线长、直线上的点到圆心的距离、半径之间满足勾股定理，显然圆心
11、到直线的距离最小时，切线长也最小圆心到直线的距离为：,切线长的最小值为：故本题正确答案为.14 18【解析】【分析】如图，取中点，中点，连接，可知等腰梯形即为所求截面，求出面积即可.【详解】如图，取中点，中点，连接，可知在正方体中，确定平面，平面，平面，平面平面，即四边形为所得截面，可知四边形是一个等腰梯形，如图，可知，.故答案为：18.【点睛】本题考查空间中平行平面的判断，找平行线是解决问题的关键.15.【解析】【分析】可由空间中直线与平面的位置关系判断； 可由直线与平面平行的性质判断；可用排查法判断【详解】空间中直线与平面的位置关系有相交，平行与直线在平面内 错误，直线还可能与平面相交正确
12、 正确 因为过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，且这无数条直线都在与这个平面平行的平面内不一定正确 ,当点在其中一条直线上时，不存在平面与两条异面直线都平行.故填【点睛】本题考查空间中的直线与平面的位置关系，属于简单题16. 【解析】【分析】【详解】试题分析：曲线表示以（0，1）为圆心，以2为半径的圆的上半个圆，而直线过点（2，4），画出图象，可知该直线与该半圆要有两个公共点，需要.考点：本小题主要考查曲线方程和直线与圆的位置关系.点评：解决本小题的关键是分析出所给曲线是半圆，所给直线过定点，进而利用数形结合思想解决问题.17（1）；（2）【解析】【分析】首先根据题意得到由题知该几何体是一
13、个正四棱柱（上面）和半个球（下面）构成的几何体.再计算其体积，表面积即可.【详解】（1）由题知该几何体是一个正四棱柱（上面）和半个球（下面）构成的几何体.正四棱柱的底面对角线为，所以底面边长为，高为，半球的半径为.所以.（2）.【点睛】本题主要考查根据三视图求几何体的体积和表面积，属于中档题.18（1）；（2）或【解析】【分析】（1）求出线段的中垂线方程，与直线方程联立，可求得圆心的坐标，并求出圆的半径，由此可得出圆的方程；（2）求得圆心到直线的距离为，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，由圆心到直线的距离为，结合点到直线的距离公式可求得直线的方程.【详解】（1）因为，所以中点坐标为，直线的斜率
14、为，所以的中垂线方程为，联立，得，设圆的半径为，则，故所求圆的方程为；（2）当直线斜率不存在时，的方程为，圆心到直线的距离，此时，满足题意：当直线斜率存在时，设直线的方程为，则圆心到直线的距离，所以，解得，所以直线的方程为综上，直线的方程为或【点睛】本题考查圆的方程的求解，同时也考查了利用直线截圆所得的弦长求直线的方程，解题时要注意对直线的斜率是否存在进行分类讨论，考查计算能力，属于中等题.19（1）证明见解析；(2)【解析】【分析】（1）连接，连接交于G，连接，通过证明四边形为平行四边形得，进而证明平面.【详解】（1）证明：连接，连接交于G，连接易证，且，所以四边形为平行四边形，所以因为平面
15、平面，所以平面由（1）知，所以异面直线与所成角即直线与所成角所以因为底面为正方形，所以，又侧棱垂直底面，所以因为，所以平面，所以因为，所以，所以20.解（1） ， (2)由(1)知,圆的方程为 依题意, ,当 最小时, 最小.圆, ,半径为 .,两个圆的圆心距 .点在圆 上,且圆 的半径为 , , .【点睛】本题考查了圆的一般方程，四边形面积的最小值，将面积用表示再转化为圆心距减半径是解题的关键.21.解如图，取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点由已知，O为AC1的中点连接MD，OE，则MD，OE分别为ABC，ACC1的中位线，所以MD綊AC，OE綊
16、AC，因此MD綊OE.连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则DEMO.因为直线DE平面A1MC，MO平面A1MC，所以直线DE平面A1MC.即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE平面A1MC.【点睛】本题主要考查空间直线与平面的平行的判定与性质和空间平面与平面的平行的判定与性质.22.（1）见解析；（2）M的轨迹方程是，它是一个以为圆心，以为半径的圆；（3）或.【解析】【分析】（1）依据题设可以运用圆心与直线的距离或考虑动直线过定点分析判断；（2）借助题设条件运用圆心与弦中点的连线与直线垂直建立方程求解；（3）依据题设借助图形的直观，运用圆心距与直线的位置和数量关系建立不等
17、式：【详解】（1）圆的圆心为，半径为，所以圆心C到直线的距离所以直线与圆C相交，即直线与圆总有两个不同的交点；或：直线的方程可化为，无论m怎么变化，直线过定点，由于，所以点是圆C内一点，故直线与圆总有两个不同的交点 （2）设中点为，因为直线恒过定点，当直线的斜率存在时，又，所以，化简得 当直线的斜率不存在时，中点也满足上述方程所以M的轨迹方程是，它是一个以为圆心，以为半径的圆(3) 假设存在直线，使得圆上有四点到直线的距离为，由于圆心，半径为，则圆心到直线的距离为化简得，解得或【点睛】解答本题的关键要搞清楚动直线过定点的特征，然后再运用直线与圆的位置关系分析求解求解第一问时，充分借助圆心与直线的距离进行分析求解从而使得问题获解；解答第二问时，依据题设条件充分运用圆心与弦中点的连线与直线垂直建立方程求解；求解第三问时依据题设条件借助图形的直观，运用圆心与直线的距离之间与的数量关系建立不等式，通过解不等式使得问题获解