1、江苏省南通市基地学校2019届高三3月联考数学试题数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分1.已知集合，则_【答案】【解析】由题意得：则本题正确结果：2.已知复数（i为虚数单位），若为纯虚数，则实数a的值为_【答案】2【解析】为纯虚数 本题正确结果：3.对某种电子元件使用寿命跟踪调查，抽取容量为1000的样本，其频率分布直方图如图所示根据此图可知这批样本中寿命不低于300 h的电子元件的个数为_【答案】800【解析】使用寿命在的概率为：使用寿命在的概率为：使用寿命在的概率使用寿命不低于的概率使用寿命不低于的电子元件个数为：（个）本题正确结果：4.运行如图所示的流程图，若输入的，
2、则输出的x的值为_【答案】0【解析】由，得：，循环后：，由，得：，循环后：，由，得：，循环后：，由，得：，输出结果：本题正确结果：5.将一颗质地均匀的正四面体骰子（四个面上分别写有数字1，2，3，4）先后抛掷2次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和为偶数的概率为_【答案】【解析】骰子扔两次所有可能的结果有：种两次数字之和为偶数，说明两次均为奇数或均为偶数，则有：种两次数字之和为偶数的概率本题正确结果：6.已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为3a，则该双曲线的渐近线方程为_【答案】【解析】 渐近线方程为：由双曲线对称性可知，两焦点到两渐近线的距离均相等取渐近线，焦点 渐近线方程为：本题正确
3、结果：7.已知正四棱柱中，AB=3，AA1=2，P，M分别为BD1，B1C1上的点若，则三棱锥M-PBC的体积为_【答案】1【解析】由题意可知原图如下：又，即到面的距离等于到面的距离即本题正确结果：8.已知函数是R上的奇函数，当x0时，f(x)2xm(m为常数)，则的值为_【答案】【解析】为上的奇函数 又 本题正确结果：9.已知角的终边经过点，函数图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则的值为_【答案】【解析】角终边经过点 ，两条相邻对称轴之间距离为 即 本题正确结果：10.如图，在平面直角坐标系中，点在以原点为圆心的圆上已知圆O与y轴正半轴的交点为P，延长AP至点B，使得，则_【答案】2【解析
4、】圆半径 则所在直线为：，即：设，则， 解得： 本题正确结果：11.已知函数的单调减区间为，则的值为_【答案】e【解析】 单调递减区间为且为方程的两根由韦达定理可知： 当，即时， 当，即时，即 此时，即无解综上所述：本题正确结果：12.已知函数有三个不同的零点，则实数m的取值范围是_【答案】【解析】当时， 且在上单调递增有且仅有一个零点当时，需要有两个零点当时， 当时，恒成立，即单调递增，不合题意；当时，令，解得：当时，此时单调递增；当时，此时单调递减， 本题正确结果：13.在平面直角坐标系中，已知圆O：和点M(1，0) 若在圆O上存在点A，在圆C：上存在点B，使得MAB为等边三角形，则r的最
5、大值为_【答案】8【解析】圆 由题意可知：，又且若最大，则需取最大值，且在圆内部可得，又与成角为设，则直线所在直线方程为：又解得：或（舍）时取最大值本题正确结果：14.已知等差数列的前n项和Sn0，且，其中且若（），则实数t的取值范围是_【答案】【解析】设等差数列首项为，公差为由得：且即：对恒成立若，不恒成立，舍去若即，此时满足题意若即时，需时， ，满足题意，又，所以 由得：两式作商可得：，又整理可得：设，当时，即当时，当时，此时，即，无法取得 当时，即当时，当时，综上所述：二、解答题：本大题共6小题，共计90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.如图，在三棱柱中，求证：（1）平面；
6、（2）平面平面证明：（1）在三棱柱中， 又平面，平面所以平面（2）在三棱柱中，四边形为平行四边形因为，所以四边形为菱形，所以又，平面，平面所以平面而平面所以平面平面16.在中，角所对的边分别为向量，且（1）若，求角的值；（2）求角的最大值解：（1）因为，且所以，即由正弦定理，得所以整理，得将代入上式得又，所以（2）方法一：由式，因为，所以 式两边同时除以，得又当且仅当，即时取等号又，所以的最大值为方法二：由（1）知， 由余弦定理代入上式并化简得所以又当且仅当，即时取等号又，所以的最大值为17.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且左焦点F1到左准线的距离为4（1）求椭圆的方程；（2
7、）若与原点距离为1的直线l1：与椭圆相交于A，B两点，直线l2与l1平行，且与椭圆相切于点M（O，M位于直线l1的两侧）记MAB，OAB的面积分别为S1，S2，若，求实数的取值范围解：（1）因为椭圆的离心率为，所以又椭圆的左焦点到左准线的距离为所以所以，所以椭圆的方程为（2）因为原点与直线的距离为所以，即设直线由得因为直线与椭圆相切所以整理得因为直线与直线之间的距离所以，所以又因为，所以又位于直线的两侧，所以同号，所以所以故实数的取值范围为18.某鲜花小镇圈定一块半径为1百米的圆形荒地，准备建成各种不同鲜花景观带为了便于游客观赏，准备修建三条道路AB，BC，CA，其中A，B，C分别为圆上的三个
8、进出口，且A，B分别在圆心O的正东方向与正北方向上，C在圆心O南偏西某一方向上在道路AC与BC之间修建一条直线型水渠MN种植水生观赏植物黄鸢尾（其中点M，N分别在BC和CA上，且M在圆心O的正西方向上，N在圆心O的正南方向上），并在区域MNC内种植柳叶马鞭草（1）求水渠MN长度的最小值；（2）求种植柳叶马鞭草区域MNC面积的最大值（水渠宽度忽略不计）解：（1）以圆心为原点，建立平面直角坐标系，则圆的方程为设点，直线的方程为，令，得直线的方程为，令，得所以 令，即，则令，得当时，则单调递减；当时，则单调递增；所以当时，所以水渠长度的最小值为百米（2）由（1）可知，且则设，因为，所以所以，所以当时
9、，种植柳叶马鞭草区域面积的最大值为平方百米另法：（2）因为，所以由所以设，因为，所以所以，所以当时，种植柳叶马鞭草区域面积的最大值为平方百米19.已知数列的各项均不为0，其前n项和为若，（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）若数列满足，求证：数列是等差数列解：（1）时，由得解得（2）时，由，得则因为，所以所以-得所以，两式相减得即数列及数列都成公差为的等差数列由，得，可求得所以数列的通项公式为（3）由，得所以因为，所以所以两式相减得，即所以两式相减得所以因为，可得所以所以数列是等差数列20.已知函数，其中且，（1）若函数f(x)与g(x)有相同的极值点（极值点是指函数取极值时对应的自变量
10、的值），求k的值；（2）当m0，k = 0时，求证：函数有两个不同的零点；（3）若，记函数，若，使，求k的取值范围解：（1）因为，所以令，得当时，则单调递减；当时，则单调递增；所以为的极值点因为，所以函数的极值点为因为函数与有相同的极值点，所以所以（2）由题意，所以因为，所以令，得当时，则单调递减；当时，则单调递增；所以为的极值点因为，又在上连续且单调所以在上有唯一零点取满足且则因为且，所以所以，又在上连续且单调所以在上有唯一零点综上，函数有两个不同的零点（3）时，由，使，则有由于当时，在上单调递减所以即，得当时，在上单调递增所以即，得当时，在上，在上单调递减；在上，在上单调递增；所以即（*）
11、易知在上单调递减故，而，所以不等式（*）无解综上，实数的取值范围为或数学（附加题）第21、22、23题，每小题10分，共计30分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤21.已知二阶矩阵有特征值，其对应的一个特征向量为，并且矩阵对应的变换将点（1，2）变换成点（8，4），求矩阵【答案】【解析】设所求二阶矩阵因为有特征值，其对应的一个特征向量为所以，且所以，解得所以22.如图，四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，PA底面ABCD， ，F为BC的中点，（1）若，求异面直线PD与EF所成角的余弦值；（2）若，求二面角E-AF-C的余弦值解：以为原点，为正交基底建
12、立如图所示的空间直角坐标系则，（1）当时，由得所以，又所以所以异面直线与所成角的余弦值为（2）当时，由，得设平面的一个法向量为，又，则，得又平面的一个法向量为所以所以二面角的余弦值为23.设整数数列an共有2n（）项，满足，且（）（1）当时，写出满足条件的数列的个数；（2）当时，求满足条件的数列的个数解：（1）时，且则确定时，有唯一确定解又，可知有种取法若，则，则有种取法此时，也有种取法又，当确定时，随之确定故所有满足条件的数列共有：个满足条件的所有的数列的个数为（2）设，则由得 由得，则：即 用表示中值为的项数由可知也是中值为的项数，其中所以的取法数为确定后，任意指定的值，有种由式可知，应取，使得为偶数这样的的取法是唯一的，且确定了的值从而数列唯一地对应着一个满足条件的所以满足条件的数列共有个下面化简设两展开式右边乘积中的常数项恰好为因为，又中的系数为所以所以满足条件的数列共有个