1、教 学 设 计直线的倾斜角和斜率 西安高级中学高 一 数 学李 秋 侠普通高中课程标准实验教科书（北京师范大学出版社）数学2（必修）第二章解析几何初步1.1直线的倾斜角和斜率（教学设计 ） 西安高级中学李秋侠一、设计思想：学生在初中阶段学习过函数的图像，了解在坐标系中点与实数对的对应，这正是解析几何的研究方法，而直线是解析几何中最基本最简单的研究对象，它既能为进一步的学习做好知识上的准备，又能为后面灵活运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础。所以本节课在设计时特别重视知识的形成，过程的感悟，概念的辨析，引导学生注重倾斜角、斜率的相互关系，掌握过两已知点的直线的斜率公式，并能根据直线的斜率求
2、倾斜角，利用斜率判定三点共线；充分利用多媒体形象展示，使学生全面地、多角度、多层次地认知新概念，特别是利用几何画板的动态演示，透彻理解倾斜角、斜率的概念、取值范围、及变化规律，强化“数”与“形”的结合与转化；另外斜率公式的推导采取逐步递进，发展到用直线上的两点的坐标表示斜率，体现新课标的递进、螺旋式认知理念；通过图片展示使学生了解解析几何及其在生活科学等方面的应用，激发学生的学习热情，引导学生树立远大理想，崇尚科学。在引导学生用倾斜角的正切值表示直线的斜率时，由于学生毫无三角函数基础，只要求给出会用即可，不能用知识的联系性、思维的连贯性的传统理念，去增加补充三角函数知识，否则就与新课程理念相背
3、离了。 二三维目标1.通过具体图形理解确定直线的几何要素，理解直线倾斜角、斜率的概念，感受直线的方向与倾斜角及斜率之间的对应关系。掌握过两点的直线斜率的计算公式，初步感受解析几何的本质，用代数的方法解决几何的问题，在教学中培养学生数形结合的数学思想。2.培养和提高学生联系、对应、转化等辨证思维能力，形成严谨的学习态度。3.营造轻松、和谐的学习氛围，培养学生的探究能力、合作意识及语言表述能力。三、内容和内容分析本课是北师大版数学必修2第一节直线的倾斜角与斜率的第一课时，是高中解析几何第一节课,主要知识点是直线倾斜角和斜率，它是解析几何的最基本的、也是重要的概念之一，也是刻画直线倾斜程度的几何要素
4、，是用坐标法研究几何图形的解析方法的初次体现。通过本节课对直线倾斜角与斜率的研究能够使学生初步感受到解析几何的本质，步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。因而本节课的数学思想和方法尤显重要四教学重点：直线的倾斜角和斜率的概念，用代数的方法刻画直线斜率的过程及过两点的直线的斜率公式；教学难点：斜率概念的理解和斜率公式的推导。教学方法：通过实例创设教学环境，让学生感悟到知识的生成。五学情分析初中学生已在平面坐标系中对一次函数借助几何图形研究了性质，图形非常熟悉。学生对三角函数的认识相对浅得多，对斜率用倾斜角的正切值表示困难较大，但也要求学生掌握特殊角度正切值。六现代信息技术使用为了有效实现教学目
5、标，考虑到学生的知识水平和理解能力，借助计算机工具和现实生活中的相关实物图片，从激励学生探究入手，讲练结合，直观演示能使教学更富趣味性和生动性。1.利用图片介绍解析几何。2.幻灯展示设问问题、例题、引入中的课件（一，二），利用几何画板演示倾斜角的大小与直线斜率的关系；3. 幻灯展示课堂小结、课后作业及探究。4.新知识学习过程中的探究设问：七导学流程1.利用图片介绍解析几何。2.幻灯展示设问问题、例题、引入中的课件（一，二），利用几何画板演示倾斜角的大小与直线斜率的关系；3. 利用课件演示，引出直线斜率公式4.新知应用5.知识延伸6.幻灯展示课堂小结、课后作业及探究。八.新知识学习过程中的探究设
6、问：确定一条直线的位置需要什么条件？用什么量描述直线的倾斜程度呢？倾斜角概念中的要点有哪些？倾斜角的取值范围？能为任何直线都有倾斜角吗？唯一吗？除了倾斜角还有什么能表示直线的“倾斜程度”？任何直线都有斜率吗？不与轴垂直的直线的斜率除了用外，用直线上的两点的坐标怎样表示呢？用斜率公式求直线的斜率应注意什么？三点共线的实质是什么?九教学过程设计教学环节教师活动学生活动技术支持导入本章内容导入本节内容直线的倾斜角概念引出直线的斜率斜率公式一斜率与倾斜角的关系斜率公式二新知应用知识目标检测能力目标检测在初中学习一次函数、二次函数时，我们建立了坐标系，使平面内的点和实数对(x,y)建立起了一一对应的关系
7、。初步学会用代数方法描述几何问题（直线、抛物线），把几何问题转化成了代数问题并研究它的性质。用这种方法研究几何学，通常就叫做解析法。从而形成了数学的一个分支-解析几何。高中主要学习平面解析几何。平面解析几何除了研究直线及直线的有关性质外，主要研究圆锥曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线）的有关性质。它不仅是高中数学的重要内容之一，在生产或生活中也被广泛应用。如行星运动轨迹。比如探照灯、聚光灯、太阳灶、雷达天线、卫星的天线、射电望远镜等都是利用抛物线的原理制成的。 在科技迅猛发展的今天，有多少发明创造有待我们去完成？！今天我们就开始进入平面解析几何这个新领域。研究非常重要的，又非常基础的直线的有关概念
8、-直线的倾斜角和斜率。在初中学习了一次函数，大家知道它的图像是一条直线。一确定一条直线位置的几何要素：问：观察所给直线，如何确定直线的位置呢？答：“两点定一线”。问：除此之外还可以用什么来确定呢？学生思考.若为已知常数，为变化值，则直线可视为由平移而来的一系列平行直线，直线的方向是相同的；（课件一）若为已知常数，为变化值，则直线可视为过定点的一系列直线，直线的方向是变化的；由上述情形可看出：确定一条直线的位置还有一个方法：一个点和一个方向；二倾斜角由（课件二）可看出：直线的方向与直线的倾斜程度有关，直线的倾斜程度和直线与轴所成的角度有关，对于任意一条与轴相交的直线，把这个角的顶点放在交点处，规
9、定角的方向为逆时针，即可产生一个能够描述直线倾斜程度的角叫倾斜角。1.倾斜角的定义：对于任意一条与轴相交的直线，把轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线重合时所成的角，叫作直线的倾斜角。记为，则；特殊地：当直线与轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为；2. 倾斜角的取值范围：；三直线的斜率：问：直线的倾斜角可以刻画直线的倾斜程度，除此之外生活中，还可以用什么来刻画直线的“倾斜程度”呢？教师通过图例引导：还可以用“坡度”来刻画道路、楼梯的“倾斜程度”，相当于在水平方向移动一个单位，在铅直方向上升或下降的数值；类似地定义可以得到直线的斜率的概念，不妨先设直线过原点，（1）当时，当点从O到P时，横
10、坐标增加一个单位，纵坐标从0增加到，称为这条直线的斜率; ,直线的斜率也可用来计算。公式1：由于三角函数的知识还不到位，此公式暂属了解阶段，但也应熟记特殊角的正切值：（2）当时，当点从O到P时，横坐标增加一个单位，纵坐标从0减少了，称为这条直线的斜率; （3）当时，这条直线的斜率不存在; 问：若直线不过原点怎么办呢？答：若直线不过原点，则总可以过原点做一条与此直线平行的直线，这两直线的倾斜角是相等的，斜率即可用过原点的这条直线的斜率来表示，方法同上；可以看出：当时，直线的斜率是0;当时，直线的斜率是正的; 倾斜角越大，直线的斜率就越大；当时，直线的斜率不存在；当时，直线的斜率是负的; 倾斜角越
11、大，直线的斜率就越大；问：用倾斜角的正切值可以表示直线的斜率，用直线上点的坐标能表示斜率吗？观察：过原点的直线上的点（1，k）的纵坐标k就是直线的斜率，任取异于原点的点，则其斜率可以用其纵坐标与横坐标之比表示。问：看下图，直线的斜率是多少呢？答：直线的斜率是；问：直线不过原点时，斜率是否还能用直线上点的坐标表示呢？四斜率公式在直线上任取两点，设，则： 问：这个公式是不是任何时候都成立呢？问：任何直线都有斜率吗？问：公式的特点有哪些1. 时公式才成立，时不能用此公式，此时直线的斜率不存在。2. 当时，直线与轴垂直，斜率不存在。3.是直线上的任意两点；3. 公式中的分子分母的下标应是一致的； 4斜
12、率与的顺序无关；5.当直线与平行时，公式依然成立，此时；五应用示例：例1：已知直线的倾斜角，求斜率。解：（1）不存在；例2下图中能表示直线倾斜角的是 （1）（3） ;例3：求过已知两点的直线斜率解：（1）直线的斜率为：；（2）直线AB的斜率为；例4.在平面直角坐标系中画出经过原点且斜率为的直线。解：只须找出点，然后分别与原点连成直线即可。例5.直线的倾斜角为直线与垂直，求的斜率。解：如图：的倾斜角为的斜率分别为：例6.已知点，当 时，直线MN的倾斜角为锐角；当 时，直线MN的倾斜角为直角；当 时，直线MN的倾斜角为钝角；解：当即时，直线MN与轴平行，倾斜角为直角；当即时，若即时，直线MN的倾斜
13、角为锐角；或时，直线MN的倾斜角为钝角；例7.已知三点在同一条直线上，求的值。解：三点共线，或六知识小结：一本节课所学基本知识点有：1.确定直线的要素：由两点或一点和方向确定。2.直线的倾斜角和倾斜角的取值范围；3.直线的斜率的概念，求斜率的三种途径； 1)用截直线所得的纵坐标；2）；3）公式 二感受到的数学思想与数学方法： 数形结合三情感态度热爱生活，善于发现，用于研究和探讨。七作业1.课后探究：（分组讨论）1）经过两点的直线的斜率和倾斜角的变化。2）2；2.书面作业：习题2-1A组1，2，3，4；练习：1，3，4，5；学生观察图片，了解解析几何的起源以学生观察图片，了解平面解析几何研究的内
14、容和重要性。学生观察图片，感悟生活中的数学美。激发学生求知欲，培养学生爱科学的态度。引导学生在直角坐标系中研究直线。探究确定直线位置的几个要素。学生观察得出：直线的倾斜程度与斜线和轴所成的角度有关读教材，明确倾斜角的定义。准确理解概念，发现数学量。培养学生分类讨论的能力学生互相议论，探讨。引导学生讨论得出：过原点的直线的斜率可以用倾斜角的正切值来表示由于三角函数的知识还不到位，这种情况下的斜率直接给出，有待以后解决。引导学生得出：斜率的正负及大小与倾斜角的关系，培养学生分类讨论能力。学生讨论得出结论：过原点的直线的斜率可以用其上一点的纵坐标与横坐标之比表示。培养数形结思想讨论得出任意直线的斜率
15、可以用其上两点的坐标表示。 思考这个公式成立的条件，分析不成立的直线位置。培养严谨的数学思维。口答。熟记特殊角的正切值。考察学生新知识掌握能力及公式的正确性。考察学生应用知识的灵活性。指导学生积极研究，互相合作，培养积极的学习热情好探究能力。 独立思考，知识拓展、巩固。知识延伸，考察学生综合能力。利用powerpoint放图片利用powerpoint演示，教师讲解，引导学生发现生活中的美妙曲线。利用几何画板，演示平面直角坐标系中的不同位置的直线。培养学生研究归纳能力。展示道路、楼梯的图片，观察倾斜程度培养学生归纳，提炼知识的能力。几何画板演示，观察斜率的正负及大小与倾斜角的关系板演：推到斜率公
16、式，分析成立条件，揭示不成立的时的位置特征，学生作笔记。老师板演，学生口述。学生板演感受数学丰富内涵。十.课后反思：本节课设计的教学目标在同学们的配合下完成的很好。这节课在以下几个方面比较成功：1）利用多媒体形象展示，使学生真切感受到生活中的数学模型，达到了全面地、多角度、多层次地认知新概念的目的；激发了学生的学习兴趣、探知欲望，培养了学生热爱生活、热爱科学的情感，很好地体现了新课标的三维目标，注重知识的形成，过程的感悟，情感价值观的培养；2)新知导学设问很好，问题设置合理有层次，使整个教学既有层次感，又流畅自然，学生清楚自己每个阶段的学习目标，对所要学习的新知识关注点相对集中，目的性强；3）
17、直线倾斜角、斜率的相互关系及变化规律，一直以来都是学生的难点和易错点，又是本节课的难点，即便是学习了三角函数知识，这个难点总是很难突破，何况新教材中的三角函数现在还没有学，我利用直线与直线交点的纵坐标的值的变化使其得到很好的化解和突破，并且非常有利于学生理解和记忆；特别是对水平与竖直两种特殊位置的直线的斜率给出了很好的合情合理的解释，同时还培养了学生分类讨论的思想，这应该是本节课的亮点所在。4）斜率公式的推导由过原点的直线到不过原点的直线，由直线上的一点到直线上的两点，逐步递进，升级自然，学生理解起来容易，难度分散，符合学生的认知规律，证实了新课标的递进、螺旋式认知理念是正确的；5）通过直线的倾斜角和斜率的学习，培养了学生的数形结合、分类讨论思想；本节课不足之处是：本节课的容量略大，留给学生活动的时间还不够充分，这一点我还是不太满意，课后探究问题的内容还不够丰富，增加一个趣味性强的探究题，对激发学生的研究热情更有利。