1、35二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题35.1二元一次不等式(组)所表示的平面区域1.了解二元一次不等式(组)的概念2.理解二元一次不等式(组)解集的几何意义3会画二元一次不等式(组)所表示的平面区域1二元一次不等式的概念(1)二元一次不等式是指含有两个未知数，且未知数的最高次数为一次的不等式(2)一般形式为AxByC0或AxByC0(0(0)表示开半平面，而AxByC0(0)表示闭半平面，从图象上看它们区别是边界为虚线还是实线画二元一次不等式表示的平面区域学生用书P52画出下列不等式表示的平面区域：(1)2xy100；(2)y2x3.【解】(1)先画出直线2xy100 (画成虚线)取原
2、点(0，0)，代入2xy10，因为200100，所以原点在2xy100表示的平面区域内，不等式2xy100表示的平面区域如图1中阴影部分所示(2)先画出直线2xy30(画成实线)取原点(0，0)，代入2xy3，因为20030表示的平面区域(阴影部分)为()解析：选D.取点A(1，0)代入2xy.有21020，所以点A(1，0)在不等式2xy0表示的区域内，又直线2xy0的斜率k2，所以只有D项满足2在平面直角坐标系中，画出满足下列条件的点表示的区域(1)(x，y)|x20，yR；(2)yx3.解：(1)不等式表示的平面区域如图(1)阴影部分所示，(2)先画出直线yx3，由于直线上的点满足yx3
3、，故将其画成实线取原点(0，0)，代入yx3中，得0030表示直线x0右方的所有点的集合；y0表示直线y0上方的所有点的集合，故不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(2)如图所示，不等式组表示的平面区域为直角三角形，其面积S436.在本例条件下，求不等式组所表示的平面区域内的整点坐标解：如图，当x1时，代入4x3y12，得y，所以整点为(1，2)，(1，1)当x2时，代入4x3y12，得y，所以整点为(2，1)所以区域内整点共有3个，其坐标分别为(1，1)，(1，2)，(2，1)(1)画二元一次不等式组表示平面区域的一般步骤(2)求平面区域面积的方法求平面区域的面积，先画出不等式组表示的平面
4、区域，然后根据区域的形状求面积若画出的平面区域是规则的，则直接利用面积公式求解若平面区域是不规则的，可采用分割的方法，将平面区域分成几个规则图形求解 1.不等式组表示的平面区域是()解析：选C.取特殊点坐标(如：(0，1)，(1，0)等)代入不等式组检验可得C符合2不等式组表示的平面区域的面积为()A4B1C5 D无穷大解析：选B.不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)，ABC的面积即为所求求出点A，B，C的坐标分别为(1，2)，(2，2)，(3，0)，则ABC的面积为S(21)21.3由直线xy20，x2y10和2xy10围成的三角形区域(包括边界)用不等式组可表示为_解析：画出三条直线
5、，并用阴影表示三角形区域，如图所示取原点O(0，0)，并代入xy2得20；代入x2y1得10；代入2xy1得10.结合图形可知，三角形区域用不等式组可表示为答案：含参数的二元一次不等式(组)问题学生用书P54(1)若点P(1，2)，Q(1，1)在直线x3ym0的同侧，则m的取值范围是_(2)记不等式组所表示的平面区域为D.若直线ya(x1)与D有公共点，则a的取值范围是_【解析】(1)因为点P(1，2)，Q(1，1)在直线x3ym0的同侧，所以(132m)(131m)0，即(m5)(m2)0，解得m5或m0，即(a1)20，解得a1.所以a的取值范围是aR|a1答案：aR|a12若不等式组表示
6、的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是_解析：不等式组表示的平面区域可以是一个梯形(如图阴影部分所示)它的两个顶点坐标是(0，5)，(2，7)若此不等式组表示的平面区域为三角形，则数形结合可知，a的取值范围是5，7)答案：5，7)1画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法；特别的，当C0时，常把原点作为此特殊点要注意边界的虚实2画二元一次不等式组所表示的平面区域要注意寻找各个不等式所表示的平面点集的交集，即它们的平面区域的公共部分画二元一次不等式表示的平面区域时，一定要注意边界的虚实当边界不过原点时，代入原点(0，0)定域；当边界过原点时，常常代入(1，0)或(0，
7、1)定域，不要因疏忽选错区域1下面给出的四点中，位于表示的平面区域内的点是()A(0，2)B(2，0)C(0，2) D(2，0)解析：选C.若一点为不等式组所表示的平面区域内的点，则该点必是不等式组的一个解，故可将选项中的各点代入不等式组进行验证即可，验证可知，选项C中的点满足题意2不等式(xy)(x2y2)0表示的平面区域的大致图形是()解析：选B.原不等式等价于或故原不等式表示的区域由这两个不等式组表示的区域组成平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的形状是_解析：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图易知平面区域为等腰直角三角形答案：等腰直角三角形4在平面直角坐标系中，求
8、不等式组表示的平面区域的面积解：在平面直角坐标系中，作出xy20，xy20和x2三条直线，利用特殊点(0，0)可知可行域如图阴影部分(含边界)所示：所以面积为S424. A基础达标1不等式x2y0表示的平面区域是()解析：选D.取点(1，0)代入x2y，因为12010，所以点(1，0)在不等式x2y0表示的平面区域内，再结合直线x2y0的位置，可确定选D.2不等式组表示的平面区域是()A矩形B三角形C直角梯形 D等腰梯形解析：选D.作出平面区域如图，所以平面区域为等腰梯形3已知点M(x0，y0)与点A(1，2)在直线l：3x2y80的两侧，则()A3x02y00 B3x02y08 D3x02y
9、08解析：选C.因为点M(x0，y0)与点A(1，2)在直线l的两侧，且把点A(1，2)代入，得3122810，即3x02y08.4在平面直角坐标系中，若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为()A5 B1C2 D3解析：选D.由题意知，不等式组所表示的平面区域为一个三角形区域，设为ABC，则A(1，0)，B(0，1)，C(1，1a)，且a1.因为SABC2，所以(1a)12，所以a3.5如图阴影部分用二元一次不等式组表示为()A. B.C. D.解析：选B.由题图易知平面区域在直线2xy0的右下方，在直线xy3的左下方，在直线y1的上方，故选B.直线2xy100与不等式
10、组表示的平面区域的公共点有_个解析：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示因为直线2xy100过点A(5，0)，且其斜率为2，小于直线4x3y20的斜率，故只有一个公共点(5，0)答案：17在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是_解析：不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示平面区域为一个三角形及其内部，三个顶点的坐标分别为(4，0)，(1，1)，所以平面区域的面积为S1.答案：8已知不等式组表示的平面区域为D，若直线ykx1将区域D分成面积相等的两部分，则实数k的值是_解析：区域D如图中的阴影部分所示，直线ykx1经过定点C(0，1)，如果其把区域D划分为面积相等的两个部分
11、，则直线ykx1只要经过AB的中点即可由方程组解得A(1，0)由方程组解得B(2，3)所以AB的中点坐标为，代入直线方程ykx1得，k1，解得k.答案：已知点P(1，2)及其关于原点的对称点均在不等式2xby10表示的平面区域内，试求b的取值范围解：由于点P(1，2)关于原点的对称点的坐标为(1，2)，由题意得，点(1，2)和(1，2)都在不等式2xby10表示的平面区域内，所以整理得解得b0表示的平面区域内，且到直线x2y20的距离等于2，求点P的坐标解：因为点P(a，4)在不等式3xy30表示的平面区域内，所以3a430，所以a.又因为P(a，4)到直线x2y20的距离等于2.所以2，所以|a6|10，所以a16或4，又因为a，所以a16.所以P点坐标为(16，4)14(选做题)画出不等式|x|y|1所表示的平面区域，并求区域面积解：先考虑第一象限(含x，y轴正向)，等价于易作出其表示的平面区域由关系式的特征知该不等式所表示的平面区域如图所示，该区域是边长为的正方形，面积为2.