1、3.1函数的概念与性质 31.1函数及其表示方法第1课时函数的概念课程标准在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域新知初探自主学习突出基础性教材要点知识点一函数的概念1函数的概念一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作yf(x)，xA.2函数的定义域和值域函数yf(x)中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的
2、定义域，所有函数值组成的集合y|yf(x)，xA称为函数的值域状元随笔对函数概念的3点说明(1)当A , B为非空实数集时，符号“ f ：AB ”表示A到B的一个函数(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性(3)符号“f ”表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样知识点二同一函数一般地，如果两个函数的定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数对应的函数值都相等)，则称这两个函数就是同一个函数知识点三常见函数的定义域和值域函数一次函数反比例函数二次函数a0a0对应关系yaxb(a0)ykx(k0)yax2bxc(a0)yax2bxc(a0)定义域R_R值域Ry|
3、y0yy 4acb24a_基础自测1下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是()A.A1，0，1，B0，1，f：A中的数平方B.A0，1，B1，0，1，f：A中的数开方C.AZ，BQ，f：A中的数取倒数D.A平行四边形，BR，f：求A中平行四边形的面积2函数f(x)x1x2的定义域为()A.(1，) B1，)C.1，2) D1，2)2，+3下列各组函数表示同一函数的是()A.yx29x3与yx3B.yx21与yx1C.yx0(x0)与y1(x0)D.yx1，xZ与yx1，xZ4若函数f(x)x+6x1，求f(4)_课堂探究素养提升强化创新性题型1函数的定义经典例题例1根据函数的定义判断下列对
4、应关系是否为从集合A到集合B的函数：(1)A1，2，3，B7，8，9，f(1)f(2)7，f(3)8；状元随笔从本题可以看出函数f(x)的定义域是非空数集A，但值域不一定是非空数集B，也可以是集合B的子集(2)A1，2，3，B4，5，6，对应关系如图所示；状元随笔判断从集合A到集合B的对应是否为函数，一定要以函数的概念为准则，另外也要看A中的元素是否有意义，同时，一定要注意对特殊值的分析(3)AR，By|y0，f：xy|x|；(4)AZ，B1，1，n为奇数时，f(n)1，n为偶数时，f(n)1.方法归纳 (1)判断一个集合A到集合B的对应关系是不是函数关系的方法：A，B必须都是非空数集；A中任
5、意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应注意：A中元素无剩余，B中元素允许有剩余(2)函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”跟踪训练1(1)设Mx|0x2，Ny|0y2，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有()A0个B1个C2个D3个(1)x0，1取不到1，2.y0，3超出了N0，2范围可取一个x值，y有2个对应，不符合题意(2)关键是否符合函数定义x3x，x0，xR；xy，其中y2x，xR，yR.(2)下列对应是否是函数？题型2求函数的定义域教材P87例题1例2求下列函数的定义域
6、：(1)f(x)1x+1；(2)g(x)1x+1x+2.方法归纳求函数的定义域(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：分式的分母不为0；偶次根式的被开方数非负；yx0要求x0.(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“”连接跟踪训练2求下列函数的定义域： (1)f(x)6x23x+2；(2)f(x)x+10xx； (3)f(x)2x+312x+1x.(1)分母不为0(2)偶次根式被开方数0x+10底数
7、不为0分母不为0(3)偶次根式被开方数0分母不为0题型3同一函数例3下面各组函数中为相同函数的是()Af(x)x12，g(x)x1Bf(x)x21，g(x)x+1x1Cf(x)x，g(x)x2xDf(x)x0与g(x)1x0方法归纳判断同一函数的三个步骤和两个注意点(1)判断同一函数的三个步骤(2)两个注意点：在化简解析式时，必须是等价变形；与用哪个字母表示无关跟踪训练3试判断下列函数是否为同一函数(1)f(x)x2xx，g(x)x1；(2)f(x)xx，g(x)xx；(3)f(x)x2，g(x)(x1)2；(4)f(x)|x|，g(x)x2.状元随笔判断两个函数是否为同一函数，要看三要素是否
8、对应相同函数的值域可由定义域及对应关系来确定，因而只要判断定义域和对应关系是否对应相同即可题型4求函数的值域经典例题状元随笔求函数值域的注意事项数形结合求值域一定要注意函数的定义域；值域一定要用集合或区间来表示例4求下列函数的值域(1)y34x，x(1，3；(2)f(x)1x，x3，5；(3)y2xx+1；(4)yx24x5，x1，2，3；(5)yx22x3，x0，3)；(6)y2xx1；(7)f(x)1x2+2.状元随笔(1)用不等式的性质先由x(1，3求4x的取值范围，再求34x的取值范围即为所求(2)先分离常数将函数解析式变形，再求值域(3)将自变量x1，2，3代入解析式求值，即可得值域
9、(4)先配方，然后根据任意实数的平方都是非负数求值域方法归纳求函数值域的方法(1)观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”观察函数的值域如函数y11+x2的值域为y|00，解得x0，x0，解得32x2，且x0.故定义域为32，00，2例3【解析】函数的三要素相同的函数为相同函数，对于选项A，f(x)|x1|与g(x)对应关系不同，故排除选项A，选项B、C中两函数的定义域不同，排除选项B、C，故选D.【答案】D跟踪训练3解析：序号是否相同原因(1)不同定义域不同，f(x)的定义域为x|x0，g(x)的定义域为R(2)不同对应关系不同，f
10、(x)1x，g(x)x(3)不同定义域相同，对应关系不同(4)相同定义域和对应关系相同例4【解析】(1)因为1x3，所以124x4，所以934x7，所以函数y34x，x(1，3的值域是9，7)(2)因为f(x)1x在3，5上单调递减，所以其值域为15，13.(3)因为y2xx+12x+12x+122x+12，所以函数y2xx+1的值域为y|yR且y2 (4)函数的定义域为1，2，3，当x1时，y124152，当x2时，y224251，当x3时，y324352，所以这个函数的值域为1，2， (5)yx22x3(x1)22，由x0，3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为2，6) (6)设
11、tx1，则xt21，且t0，所以y2(t21)t2(t14)2158，由t0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为158，)【解析】(7)方法一因为x222，所以01x2+212，所以f(x)的值域为(0，12.方法二设t是所求值域中的元素，则关于x的方程1x2+2t应该有解，即x21t2应该有解，所以1t20，即12tt0，解得0t12，所以所求值域为(0，12.跟踪训练4解析：(1)将x1，2，3，4，5分别代入y2x1，计算得函数的值域为3，5，7，9，11(2)因为x0，所以x11，即所求函数的值域为1，) (3)因为y1x21+x2121+x2，所以函数的定义域为R，因为x211，所以021+x22.所以y(1，1.所以所求函数的值域为(1，1.(4)yx22x3(x1)24.因为5x2，所以4x11.所以1(x1)216.所以124(x1)23.所以所求函数的值域为12，3.解析：(5)函数f(x)5x+4x15x1+9x159x1，因为x1，所以9x10，所以f(x)5，所以函数f(x)5x+4x1的值域为(，5)5，+
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